2019年12月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2516設x，y，z均為正數(shù)，求證：

(湖北省公安縣第一中學 楊先義 434300)

證明記A=xyz(x3+y3+z3)，

B=xyz(x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2)，

C=x4y2+x2y4+y4z2+y2z4+z4x2+z2x4．

原不等式

?64(x+y+z)3xyz≤27((x+y)(y+z)(z+x))2

?64A+30B+276x2y2z2≤54A+27C+54(x3y3+y3z3+z3x3)+162x2y2z2

?10A+30B+114x2y2z2≤27C+54(x3y3+y3z3+z3x3)．

(1)

易證，

引理1：設a，b>0，則a3+b3≥ab(a+b)．

引理2：設a，b>0，則a4+b4≥ab(a2+b2)．

由引理1，有

2(x3y3+y3z3+z3x3)

=x3(y3+z3)+y3(z3+x3)+z3(x3+y3)

≥x3yz(y+z)+y3zx(z+x)+z3xy(x+y)=B

?54(x3y3+y3z3+z3x3)≥27B．

(2)

由引理2，有

C=x2(y4+z4)+y2(z4+x4)+z2(x4+y4)

≥x2yz(y2+z2)+y2zx(z2+x2)+z2xy(x2+y2)

=B

?3C≥3B.

(3)

又C=x4(y2+z2)+y4(z2+x2)+z4(x2+y2)

≥x4·2yz+y4·2zx+z4·2xy=2A

?5C≥10A．

(4)

顯然有C≥6x2y2z2?19C≥114x2y2z2．

(5)

(2)+(3)+(4)+(5)，即得(1)，因此原不等式獲證．

圖1

(北京市朝陽區(qū)芳草地國際學校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

證明如圖2，過點B2作B2G∥E2C2，交AC2的延長線于點G.

圖2

則有∠GB2C2=∠B2C2E2.

因為⊙O的弦B1C1∥B2C2，且B1C1=B2C2，

易證∠AC1B1=∠AC2B2=90°.

因為C2F2⊥AO2于點F2，

所以∠O2C2F2=∠O2AC2.

所以∠GB2C2=∠O2AC2.

所以Rt△B2C2G∽Rt△AC2O2.

①

②

③

④

由③+④得

當且僅當⊙O的弦B1C1與B2C2合并為⊙O的直徑BC時，不等式中的等號成立.

2518設P是△ABC內的任意點,三條邊長、外接圓半徑與內切圓半徑、點P到三邊BC，CA，AB的距離分別為a,b,c,R,r,x,y,z則有

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

證明首先證鏈中第一個不等式，

即鏈中第一個不等式成立.

再證鏈中第二、第三、第四個不等式，

?a2+b2+c2≥bc+ca+ab

?(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2≥0，

即鏈中第二、第三、第四個不等式均成立.

接下來證鏈中第五、第六個不等式，

即鏈中第五、第六個不等式成立.

接下來證明鏈中第七個不等式，注意到有，

即鏈中第七個不等式成立.

最后證明鏈中第八個不等式，

由三角形面積公式立得，

那么就有

即鏈中第八個不等式成立.至此定理全部獲證.

2519在△ABC中，AB>AC>BC，D，E，F(xiàn)，G四點分別在射線AB，CB，AC，BC上，且滿足AD=CE=AC及AF=BG=AB，證明：△BDE的外心O1和△CFG的外心O2到點A的距離相等.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

證明如圖，連接O1D，O1B，O2C，O2F及DC，F(xiàn)B.

由題設AD=AC，AB=AF知

DB=CF且DC∥FB，

由上式和題設AC=CE，AF=BG知

由DC∥FB知∠DCE=∠FBG，

綜上得△DCE∽ △FBG，

因此∠DEC=∠FGB，即∠DEB=∠CGF.

因O1，O2分別為△BDE和△CFG的外心，

故△DO1B和△CO2F都是等腰三角形.

根據(jù)圓心角與圓周角的關系得

∠DO1B= 2∠DEB，∠CO2F= 2∠CGF，

從而有∠DO1B=∠CO2F.

又因這兩個等腰三角形的底邊相等，

即DB=CF，故△DO1B≌△CO2F，

從而有O1B=O2F，∠O1BA=∠O2FA.

又因AB=AF，故△O1AB≌△O2AF，

從而有O1A=O2A.

2520設△ABC的三邊長、相應旁切圓半徑、外接圓半徑、內切圓半徑和半周長分別為a，b，c，ra，rb，rc，R，r和p, 則有

等號當且僅當△ABC為正三角形時成立.

(安徽省太和縣第二小學 任迪慧)

(1)

(2)

(3)

(1)+(2)+(3)整理得

2020年1月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2521在△ABC中，設三內角A,B,C所對的三邊長分別為a,b,c，三角形面積為Δ，求證：

(1)

(河南質量工程職業(yè)學院 李永利 467000)

2522如圖，凸四邊形ABCD內接于圓O，對角線AC,BD相交于點P，△ABP，△DCP的外接圓相交于P,Q，△ADP，△BCP的外接圓相交于P,G,求證：O,P,G,Q四點共圓.

(安徽省岳西縣湯池中學 楊續(xù)亮 蘇岳祥 246620)

2523已知a、b、c為正實數(shù)，試證：

(*)

(浙江湖州市雙林中學 李建潮 313012)

2524設點O,Ia,Ib,Ic分別為△ABC的外心和旁心，R為其外接圓的半徑，證明： 6R≥OIa+OIb+OIc.

(安徽省樅陽縣宏實中學 江保兵 246700)

2525設x,y為實數(shù)，滿足 (x-4)2+(y-4)2=4 ，求xy的最大值和最小值.

(武漢職業(yè)技術學院商學院 鄒 峰 430074)