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        基于非單調(diào)Lyapunov函數(shù)的區(qū)間二型控制器設(shè)計(jì)

        2020-04-09 02:51:42周紹生
        關(guān)鍵詞:閉環(huán)不確定性區(qū)間

        張 君,周紹生

        (杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,浙江 杭州 310018)

        0 引 言

        區(qū)間二型模糊系統(tǒng)不僅提高了系統(tǒng)處理參數(shù)不確定性的能力而且簡(jiǎn)化了計(jì)算,得到越來越多學(xué)者的關(guān)注。目前,對(duì)于區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的研究主要集中在降低結(jié)果的保守性上。使用傳統(tǒng)的二次型Lyapunov函數(shù)得到的結(jié)果具有很大保守性,文獻(xiàn)[1]利用模糊Lyapunov函數(shù)的方法使系統(tǒng)的保守性得到顯著改善。文獻(xiàn)[2]針對(duì)一類模糊系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,首次采用k步差分的方法來降低結(jié)果的保守性。文獻(xiàn)[3]采用non-PDC方法對(duì)系統(tǒng)的H∞性能進(jìn)行分析,雖然增加了控制器設(shè)計(jì)的靈活性,但是也增加了系統(tǒng)的保守性。考慮系統(tǒng)中不確定性足跡信息對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的影響,文獻(xiàn)[4]研究了一類具有前件不匹配的區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)[5]通過引入輔助矩陣來降低控制器設(shè)計(jì)的保守性,對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出反饋進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[6]采用非單調(diào)Lyapunov函數(shù)的方法對(duì)一型離散模糊系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì),但是沒有考慮系統(tǒng)的不確定性。文獻(xiàn)[7]通過構(gòu)建非二次Lyapunov函數(shù),使用non-PDC方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì),一定程度上降低了控制器設(shè)計(jì)的保守性。本文考慮模糊系統(tǒng)中的不確定性,將非單調(diào)Lyapunov函數(shù)方法應(yīng)用到區(qū)間二型模糊系統(tǒng)中,并使用兩步差分法對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析,以線性矩陣不等式的形式給出滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

        1 系統(tǒng)描述

        考慮具有不確定性的區(qū)間二型離散T-S模糊系統(tǒng),其IF-THEN規(guī)則描述形式如下:

        x(k+1)=(Ai+ΔAi)x(k)+(Bi+ΔBi)u(k)

        (1)

        具有不確定性的區(qū)間二型離散T-S模糊系統(tǒng)描述為:

        (2)

        (3)

        式中,H,E1i,E2i為已知合適維數(shù)的矩陣,F(xiàn)(k)∈Rn為未知的非線性時(shí)變矩陣且滿足F(k)F(k)T≤I。

        使用平行分布補(bǔ)償方法設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器,其IF-THEN控制規(guī)則描述為:

        u(k)=Kjx(k)

        (4)

        式中,Kj∈Rm×n為第j(j=1,2,…,s)個(gè)控制規(guī)則的反饋增益,故系統(tǒng)的控制規(guī)則表述為:

        (5)

        [Ac(k)+HF(k)Ec(k)]x(k)=

        Acl(k)x(k)

        (6)

        那么系統(tǒng)在原點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

        2 主要結(jié)果

        利用非單調(diào)Lyapunov函數(shù)方法,給出區(qū)間二型T-S模糊系統(tǒng)(6)狀態(tài)反饋控制存在的充分條件。

        定理考慮閉環(huán)系統(tǒng)(6),使系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定的充分條件是:對(duì)于給定標(biāo)量ε1>0,ε2>0,且對(duì)于任意i,j,g,l∈{1,2,…,s},存在正定矩陣P和Pijgl,矩陣G,Nj和Nl,滿足下列不等式成立:

        (7)

        其中:

        證明選擇如下Lyapunov函數(shù):

        (8)

        (9)

        (10)

        為保證閉環(huán)模糊系統(tǒng)(6)全局漸近穩(wěn)定,則需滿足下列不等式成立:

        (11)

        (12)

        將式(3)、式(6)分別代入式(11)、式(12),可得:

        (13)

        (14)

        由式(6)可知:Ac(k)=A(k)+B(k)K(k),Ec(k)=E1(k)+E2(k)K(k),對(duì)式(13)、式(14)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得:

        (15)

        (16)

        (17)

        (18)

        因此,若不等式(7)成立,則有Δ2V(x)<0,由此進(jìn)一步得出閉環(huán)模糊系統(tǒng)(6)是全局漸近穩(wěn)定的。證畢。

        3 數(shù)值實(shí)例

        例1當(dāng)s=2時(shí),系統(tǒng)(6)中各參數(shù)矩陣的選擇如下:

        ε1=0.900,ε2=1.000。

        區(qū)間二型隸屬函數(shù)的表達(dá)式如下:

        根據(jù)定理中的穩(wěn)定性條件對(duì)LMI進(jìn)行求解,得到可行解:

        給定仿真參數(shù)的初始值:x1(0)=-0.5,x2(0)=0.6,閉環(huán)狀態(tài)響應(yīng)仿真結(jié)果如圖1所示。

        圖1 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)軌線

        由圖1可以看出:相同初始條件下,在控制器的作用下,隨著時(shí)間t的增加,閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)逐漸趨近于0,因此,閉環(huán)系統(tǒng)是全局漸近穩(wěn)定的。

        例2系統(tǒng)矩陣選取如下:

        a和b用于表示穩(wěn)定可行區(qū)域的可變?cè)?,?2.0≤a≤0,0.5≤b≤2.0。利用MATLAB中LMI工具箱對(duì)定理和文獻(xiàn)[7]中的穩(wěn)定性區(qū)域進(jìn)行求解,本文采用兩步差分方法和文獻(xiàn)[7]采用非二次方法的可行域比較結(jié)果如圖2所示。

        圖2 文獻(xiàn)[7]與本文可行域?qū)Ρ冉Y(jié)果

        由圖2可以看出:本文采用的兩步差分的方法相較于文獻(xiàn)[7]中采用單步的非二次方法的可行域更大,所以,兩步差分的方法在一定程度上增加了系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的可行域范圍,有效降低系統(tǒng)的保守性。

        4 結(jié)束語

        本文針對(duì)區(qū)間二型離散T-S模糊控制系統(tǒng),考慮系統(tǒng)中結(jié)構(gòu)不確定性的因素,給出具有不確定性的區(qū)間二型離散T-S模糊系統(tǒng)在控制器作用下漸進(jìn)穩(wěn)定的充分條件,為區(qū)間二型T-S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和控制器設(shè)計(jì)提供新的思路。后續(xù)將對(duì)系統(tǒng)H2性能等問題進(jìn)行相關(guān)研究。

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