章 淳，石 廳，李嚴(yán)鵬

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(Networked Control System, NCSs)是一類通過網(wǎng)絡(luò)形成閉環(huán)反饋的控制系統(tǒng)。相比傳統(tǒng)控制系統(tǒng)，NCSs具有成本低、易擴(kuò)展、可實(shí)現(xiàn)資源共享等優(yōu)點(diǎn)，使其成為國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)[1]。但是，數(shù)據(jù)丟包、帶寬受限等問題對(duì)NCSs的控制性能有很大影響。針對(duì)帶寬受限問題，通過引入事件觸發(fā)機(jī)制來減少信息傳送次數(shù)，以降低帶寬占用。例如：文獻(xiàn)[2]研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中事件觸發(fā)與帶寬調(diào)度的協(xié)調(diào)問題。文獻(xiàn)[3-4]研究多種針對(duì)狀態(tài)反饋控制器的事件觸發(fā)機(jī)制。文獻(xiàn)[5]針對(duì)有干擾的線性系統(tǒng)，研究事件觸發(fā)機(jī)制和狀態(tài)反饋控制以及輸出反饋控制問題。然而，NCSs作為一類離散數(shù)字控制系統(tǒng)通常需要采用量化器，上述研究未考慮NCSs的量化問題。針對(duì)NCSs的量化問題，文獻(xiàn)[6-7]采用靜態(tài)量化器，研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)下事件觸發(fā)機(jī)制與控制增益協(xié)同設(shè)計(jì)的問題。

跟蹤控制作為控制系統(tǒng)研究的一個(gè)重要方向，一直是研究的熱點(diǎn)[8]。但是，在NCSs下研究鎮(zhèn)定問題較多，跟蹤問題很少。文獻(xiàn)[9]針對(duì)帶有擾動(dòng)的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了使系統(tǒng)有界穩(wěn)定的H∞輸出跟蹤控制器。文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了使系統(tǒng)具有H∞性能指標(biāo)的事件觸發(fā)條件和輸出跟蹤控制器。以上研究?jī)H考慮保證系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤的跟蹤控制問題，為進(jìn)一步提高NCSs的綜合性能以及系統(tǒng)的跟蹤控制性能，本文在已有研究的基礎(chǔ)上，研究基于事件觸發(fā)和量化的跟蹤控制方法。主要針對(duì)NCS的跟蹤控制問題，提出一種結(jié)合事件觸發(fā)機(jī)制和量化控制的設(shè)計(jì)方法。

1 問題描述

被控對(duì)象是一個(gè)離散時(shí)間線性系統(tǒng)：

(1)

式中，x(k)∈Rn，u(k)∈Rm，y(k)∈Rp分別為被控對(duì)象的狀態(tài)變量、控制輸入、控制輸出。A∈Rn×n,B∈Rn×m，C∈Rp×n均為系統(tǒng)的參數(shù)矩陣。參考系統(tǒng)描述如下：

(2)

式中，xr(k)∈Rq和yr(k)∈Rp分別為參考系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸出向量；Ar,Cr為參考模型的參數(shù)矩陣。本文目的是設(shè)計(jì)控制器使系統(tǒng)(1)的輸出y(k)跟蹤參考信號(hào)yr(k)。

本文研究的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)如圖1所示。

圖1 事件觸發(fā)下的量化跟蹤控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

(3)

(4)

(5)

定義誤差變量e(k)為：

e(k)(k)-ξ(k),k∈{k,k+1,…,k-1},∈N

(6)

在k時(shí)刻觸發(fā)事件，誤差變量e(k)=0。通過式(5)和式(6)可得：

(7)

(8)

(9)

式(9)改寫為：

(10)

式中，Λf(k)=diag{1+Δ1(k),1+Δ2(k),…,1+Δn(k)},Δi(k)∈{-δ,δ},i∈1,2,…,n。

為了讓y(k)以期望的跟蹤性能跟蹤參考信號(hào)yr(k)，構(gòu)造狀態(tài)反饋控制器：

(11)

(12)

聯(lián)立式(1)、式(2)和式(12)，得到以下增廣閉環(huán)系統(tǒng)：

(13)

為了優(yōu)化控制性能，選取如下二次性能指標(biāo)函數(shù)：

(14)

式中，Q∈Rp×p,R∈Rm×m，且均是正定對(duì)稱矩陣。本文設(shè)計(jì)的目的進(jìn)一步描述為：設(shè)計(jì)控制器(11)，使網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(1)跟蹤參考系統(tǒng)(2)，并且使二次性能指標(biāo)函數(shù)(14)的性能最優(yōu)化。

2 主要結(jié)果

對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)(13)進(jìn)行分析，構(gòu)建Lyapunov函數(shù)V(k)=ξT(k)Pξ(k)。其中，P∈R(n+q)×(n+q)為對(duì)稱正定矩陣。通過解決以下優(yōu)化問題來解決問題1。

(15)

滿足條件：

(16)

定理1對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng)(13)，給定觸發(fā)參數(shù)σ∈R+，量化密度ρ，權(quán)重矩陣Q∈Rn×n，R∈Rm×m。若存在正定矩陣S∈R(n+q)×(n+q)，M∈R(n+q)×(n+q)，W∈R(n+q)×(n+q)，矩陣V∈Rm×(n+q)使得以下問題有解：

(17)

滿足條件：

(18)

(19)

則問題1中的狀態(tài)反饋增益以及事件觸發(fā)條件矩陣分別為K=VS-1,Π=W-1。

證明對(duì)Lyapunov函數(shù)進(jìn)行差分計(jì)算：

(20)

對(duì)式(20)使用定義1，得到：

(21)

對(duì)于Π>0，存在(P-1-Π-1)TΠ(P-1-Π-1)≥0，其等價(jià)于

-P-1ΠP-1≤-2P-1+Π-1

(22)

對(duì)矩陣(21)前乘和后乘矩陣diag{P-1,P-1,I,I,I,I}，并結(jié)合式(22)得到：

(23)

將P-1=S，KP-1=V，Π-1=W代入式(23)可得式(18)，對(duì)線性矩陣不等式(19)使用定義1得P

本文中的參考信號(hào)由參考系統(tǒng)(2)產(chǎn)生，定理1為系統(tǒng)(1)能實(shí)現(xiàn)跟蹤參考信號(hào)的充分條件。即當(dāng)參考系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(1)得到的閉環(huán)系統(tǒng)(13)滿足條件(17)并有解時(shí)，參考系統(tǒng)(2)產(chǎn)生的參考信號(hào)就能被系統(tǒng)(1)跟蹤。證畢。

3 數(shù)值仿真

通過一個(gè)數(shù)值仿真對(duì)定理1的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。選取控制系統(tǒng)為：

(24)

跟蹤參考模型為：

(25)

表1 不同ρ和σ下的Revent和trace(M)

從表1可以看出：隨著σ增大，Revent會(huì)變小，trace(M)會(huì)變大；量化密度ρ增大時(shí)，Revent和trace(M)均會(huì)相對(duì)增大。

其次，研究量化密度和觸發(fā)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能的影響，結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 不同觸發(fā)參數(shù)下的跟蹤輸出

圖3 不同量化密度下的系統(tǒng)跟蹤輸出

表2 不同方法下，系統(tǒng)傳輸率與最大跟蹤誤差比較

圖2中，觸發(fā)參數(shù)越小，系統(tǒng)的跟蹤誤差越小，跟蹤速度越快。圖3中，量化密度越大，跟蹤誤差越小，跟蹤效果越好。取量化密度ρ=0.8，觸發(fā)參數(shù)σ=0.1，將本文結(jié)果與文獻(xiàn)[9-10]進(jìn)行比較，結(jié)果如表2所示。

由表2可以看出：本文結(jié)合事件觸發(fā)與量化器的設(shè)計(jì)方法，相比文獻(xiàn)[9]，顯著提高了傳輸率以及帶寬利用率；相比文獻(xiàn)[10]，本文有效減少了觸發(fā)次數(shù)，提高了帶寬利用率，并減小跟蹤誤差，對(duì)跟蹤性能有一定改進(jìn)。

綜上所述，當(dāng)觸發(fā)參數(shù)變小時(shí)，觸發(fā)次數(shù)增多，系統(tǒng)狀態(tài)量的更新次數(shù)增多且接近所跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)量，跟蹤到參考系統(tǒng)的相應(yīng)更快，因此，系統(tǒng)的跟蹤性能更好；當(dāng)量化密度變大時(shí)，量化誤差變小，量化精度越高，系統(tǒng)狀態(tài)量更接近所跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)量，跟蹤誤差更小，系統(tǒng)的跟蹤性能更好。但是，在改變觸發(fā)參數(shù)以及量化密度提高跟蹤效果的同時(shí)，會(huì)影響系統(tǒng)的性能水平和通信率。因此，需選取合適的量化密度和觸發(fā)參數(shù)，在有較好的跟蹤控制效果的同時(shí)，使系統(tǒng)的傳輸率Revent和穩(wěn)定時(shí)的控制性能trace(P)達(dá)到平衡。

4 結(jié)束語

本文通過結(jié)合事件觸發(fā)與量化器，研究網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)下跟蹤控制問題。和以往文獻(xiàn)相比，本文使用的事件觸發(fā)與量化器可通過調(diào)整參數(shù)對(duì)網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行合理調(diào)配，更好地協(xié)調(diào)控制性能與調(diào)度網(wǎng)絡(luò)資源之間的關(guān)系，并一定程度上改進(jìn)了跟蹤誤差。但是，在工業(yè)生產(chǎn)等應(yīng)用中，系統(tǒng)往往受到外部因素的干擾，因此，有必要研究外部擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)以及跟蹤誤差的影響。