鄧 琴

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

1 預(yù)備知識(shí)及相關(guān)引理

為了敘述方便，用A表示絕對(duì)常數(shù)，在不同地方可以表示不同的常數(shù)。

記

(1)

式中，γk(k=1,2,3,…)為對(duì)數(shù)系數(shù)。

為了證明Hayman猜測(cè)，需要以下2個(gè)引理。

(2)

(3)

引理2[7]設(shè)f(z)∈S，γk是對(duì)數(shù)系數(shù)，0

(4)

2 Hayman猜測(cè)的證明

(5)

證明設(shè)f(z)∈S，根據(jù)式(1)可得：

(6)

對(duì)于一個(gè)任意的參數(shù)t，|t|=1，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)

(7)

令

(8)

式中，

(9)

(10)

利用式(7)、式(8)和式(9)，有：

(11)

式中，

(12)

由文獻(xiàn)[7]可得{βk}是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列，且滿(mǎn)足下面2個(gè)不等式

(13)

(14)

比較式(11)兩邊關(guān)于z的同次冪系數(shù)并取模，有：

(15)

利用引理2，有

(16)

(17)

利用引理1和式(17)，從式(9)和式(10)可得：

(18)

(19)

3 結(jié)束語(yǔ)

Hayman猜測(cè)是Goluzin問(wèn)題中一個(gè)比較古老的經(jīng)典問(wèn)題。本文通過(guò)定理1說(shuō)明了Hayman猜測(cè)是正確的，并采取一個(gè)非常簡(jiǎn)單的方法——Milin方法成功地證明了該定理。