宋良生，駱吉安，彭冬亮

(杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

純方位定位以其作用距離遠(yuǎn)、隱蔽性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)成為被動(dòng)目標(biāo)定位的必要手段[1]。在現(xiàn)代化電子對(duì)抗戰(zhàn)中，觀測器能測得目標(biāo)數(shù)據(jù)類型十分有限，而目標(biāo)的方位角是其中較為可靠的一種參數(shù)[2]。因此，單站純方位目標(biāo)定位的研究具有十分重要的意義。單站純方位目標(biāo)定位需要通過觀測器對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行連續(xù)測量，獲取不同時(shí)刻的方位角和俯仰角信息，進(jìn)而估計(jì)目標(biāo)位置[3]。單站純方位目標(biāo)定位系統(tǒng)按各自的運(yùn)動(dòng)關(guān)系主要可分為固定單站對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行定位、運(yùn)動(dòng)單站對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行定位、運(yùn)動(dòng)單站對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行定位。針對(duì)運(yùn)動(dòng)單站對(duì)靜止目標(biāo)進(jìn)行定位，國內(nèi)外學(xué)者提出了多種方法，如偽線性估計(jì)(Pseudo-Linear Estimation, PLE)算法[4]、工具變量(Instrument Variable, IV)算法[5]等。文獻(xiàn)[6]分析了PLE算法，該算法計(jì)算簡單，但結(jié)果有偏估計(jì)，且偏差不隨測量次數(shù)的增加而減少。文獻(xiàn)[7]提出一種基于IV的封閉式三維無源被動(dòng)純方位定位算法，明顯改善了PLE算法的偏差，并在二維平面內(nèi)，構(gòu)造了加權(quán)工具變量(Weighted Instrument Variable，WIV)估計(jì)器，仿真結(jié)果證明該估計(jì)器的定位效果比PLE估計(jì)器有較大的提高。

觀測器在進(jìn)行目標(biāo)定位時(shí)，大部分情況都假設(shè)觀測器位置準(zhǔn)確已知。而實(shí)際應(yīng)用中，觀測器位置存在誤差，進(jìn)而影響目標(biāo)定位的精度[8]?，F(xiàn)有文獻(xiàn)主要考慮觀測器位置狀態(tài)存在誤差的問題，在觀測器高度未知情況下的目標(biāo)定位問題考慮較少。本文在觀測器高度未知情況下，圍繞運(yùn)動(dòng)單站對(duì)靜止目標(biāo)進(jìn)行定位的情況展開研究。

1 問題描述

圖1 觀測器-目標(biāo)相對(duì)幾何關(guān)系示意圖

圖1中，方位角θk∈(θ0,θ1,…,θN-1)、俯仰角φk∈(φ0,φ1,…,φN-1)與觀測器位置和目標(biāo)位置有關(guān)，它們的非線性方程分別為：

(1)

(2)

式中，tan-1以arctan 2作為計(jì)算公式，dk∈(d0,…,dN-1)，其計(jì)算公式為：

(3)

(4)

(5)

通過上述問題描述，需要利用2N個(gè)方位角和俯仰角非線性測量方程對(duì)N+2個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，但是，利用傳統(tǒng)的單站三維純方位目標(biāo)定位算法如偽線性估計(jì)等方法得不到高精度的定位結(jié)果。實(shí)際上，觀測器相對(duì)目標(biāo)的高度是一個(gè)連續(xù)變化的過程，有規(guī)律可循。假設(shè)Δzk隨時(shí)間均勻變化，則觀測器相對(duì)目標(biāo)高度的狀態(tài)方程為：

Δzk=Δz0+Tsvr,z

(6)

式中，Δz0表示觀測器未知高度的初始值，Ts=kT/(N-1)表示定時(shí)采樣的時(shí)間，N表示觀測次數(shù)，T表示采樣周期。

觀測器及目標(biāo)的待估計(jì)狀態(tài)方程Ik表示為：

Ik=Fkη

(7)

式中，F(xiàn)k表示目標(biāo)位置、觀測器高度及z軸方向速度的待估計(jì)狀態(tài)矩陣，η表示估計(jì)向量，具體表示如下：

(8)

(9)

2 三維工具變量算法

本文通過構(gòu)造權(quán)值矩陣，采用WIV算法來獲取高度未知條件下單站純方位目標(biāo)定位最優(yōu)估計(jì)。WIV算法的具體推導(dǎo)過程如下。

方位角和俯仰角的方程為非線性，故需對(duì)其進(jìn)行偽線性化處理，根據(jù)幾何關(guān)系可證明式(1)、式(2)等價(jià)于線性方程：

pxsinθk-pycosθk=rx,ksinθk-ry,kcosθk

(10)

pxcosθksinφk+pysinθksinφk=rx,kcosθksinφk+ry,ksinθksinφk+Δzkcosφk

(11)

又因?yàn)榉轿唤钦鎸?shí)值θk和俯仰角真實(shí)值φk均未知，故將式(4)、式(5)、式(6)代入式(10)、式(11)，整理得到偽線性方程：

(12)

(13)

再將式(12)、式(13)表示為矩陣形式：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

在不考慮測量噪聲的情況下，式(14)改寫為：

(22)

由式(22)可求取偽線性最小二乘估計(jì)[6]：

(23)

對(duì)式(23)取數(shù)學(xué)期望得：

(24)

(25)

式中，工具變量G具體表示如下：

(26)

(27)

(28)

則含工具變量的偽線性最小二乘估計(jì)值[7]為：

(29)

對(duì)上式取數(shù)學(xué)期望得：

(30)

由式(30)可知工具變量估計(jì)為無偏估計(jì)。

(31)

(32)

在誤差向量為c最小時(shí)，求得權(quán)值矩陣W[7]為：

W=E(ccT)=E(wwT)=BKBT

(33)

式中，協(xié)方差矩陣K及系數(shù)矩陣B具體表示為：

(34)

B=diag(g0,…,gN-1,d0,…,dN-1)

(35)

式中，gk∈{g0,…,gN-1}，其計(jì)算公式為：

(36)

則權(quán)值矩陣W可寫為：

(37)

再將權(quán)值矩陣W代入式(25)，可得：

(38)

則加權(quán)工具變量偽線性最小二乘估計(jì)：

(39)

3 仿真結(jié)果與分析

圖2 目標(biāo)位置RMSE

圖3 觀測器高度RMSE

圖4 觀測器垂直方向速度RMSE

從圖2-4可以看出：WIV算法的RMSE比PLE算法和IV算法更接近CRLB。以550個(gè)采樣時(shí)刻為例，3種算法的估計(jì)值接近CRLB的程度如表1所示。

表1 各算法估計(jì)值RMSE接近CRLB程度

綜上所述，在觀測器高度未知情況下，隨著測量噪聲增大，PLE算法所得估計(jì)值RMSE遠(yuǎn)大于IV算法和WIV算法所得估計(jì)值的RMSE。其原因在于PLE算法是有偏估計(jì)，其均方根誤差不會(huì)隨著測量次數(shù)增加而接近CRLB。IV算法的RMSE曲線雖然能接近CRLB，但不夠穩(wěn)定。相比于PLE算法和IV算法，WIV算法的估計(jì)效果最穩(wěn)定，估計(jì)精度最高。

4 結(jié)束語

本文提出一種基于加權(quán)工具變量的擴(kuò)維目標(biāo)定位算法。在觀測器高度未知條件下，通過構(gòu)造觀測器高度隨時(shí)間均勻變化的狀態(tài)模型，將需要對(duì)大量未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的問題轉(zhuǎn)化為對(duì)地面目標(biāo)位置、觀測器高度以及觀測器垂直方向速度聯(lián)合估計(jì)的問題，并結(jié)合方位角和俯仰角非線性方程，構(gòu)造新的偽線性測量方程及權(quán)值矩陣，進(jìn)一步提高待估計(jì)參數(shù)的估計(jì)精度。本文算法適用于觀測器高度隨時(shí)間均勻變化的場景。但是，文中未驗(yàn)證算法在其他場景下的目標(biāo)定位效果，如觀測器隨時(shí)間非均勻變化的場景等，下一步將對(duì)算法在不同場景下的應(yīng)用展開研究。