韓子星 鹿棲苑 王洋洋

（華北理工大學數(shù)學建模創(chuàng)新實驗室 河北 唐山 063210）

引言

假設鼓的形狀為圓柱體，繩子固定點的位置位于鼓側(cè)邊的中心；假設裝置固定良好，不易散架，鼓的材質(zhì)均勻一致；假設所有人拉繩子的力相同且均為恒力；忽略鼓與水平面夾角對拉力在豎直方向上的分量的影響。

1 模型準備

轉(zhuǎn)動是機械運動的一種基本形式，它是指運動物體上，除轉(zhuǎn)動軸上各點外，其他各點都繞同一轉(zhuǎn)動軸線作大小不同的圓周運動[1]。

在題目中給出的數(shù)據(jù)中,可以大致確定它們的轉(zhuǎn)軸，并將它們進行分類[2]。

（1）第一類：第1、4、7組，只有第一個人的發(fā)力時機或用力大小與其他人不同，所以轉(zhuǎn)軸為過鼓的中心且平行于第3、7號隊員連線，如圖1(a）所示。

（2）第二類：第2、5組，只有第1、2個人與其他人的行為不同，但1，2號隊員之間相同,因此轉(zhuǎn)軸平行于3、4號選手的角平分線，如圖1(b)所示。

（3）第三類：第3、6、9組，只有1、4兩人相同且與其他人不同，則轉(zhuǎn)軸平行于4、5號隊員的角平分線，如圖1(c)所示。

（4）第四類：第8組，對稱性弱，不易看出。

基于以上分類，進行求解，所求傾角如表1所列。

表1 鼓面傾角

2 策略調(diào)整

如圖4所示，設球沿著第1、2位隊員之間1:2的方向所在豎直面內(nèi)移動，為了把球調(diào)整成豎直,需要在下次接到球時鼓面往反方向傾斜0.5°，即要鼓繞著圖中的軸線旋轉(zhuǎn)使得第1、2位隊員之間1:2的方向上升0.5°。這需要使合力矩始終沿著轉(zhuǎn)軸的方向[3]。

要使得鼓始終繞著軸旋轉(zhuǎn)，合力矩必須始終垂直于軸，即沿軸方向的分量零。為了使此分量恒為零，需要h和α的系數(shù)均為零[4]。

求得一組滿足上述條件的解如下，

假設鼓面初始時刻是水平的，初始位置較繩子水平時下降0.15m，將以上數(shù)據(jù)代入平動公式中，即

得到傾角公式為

根據(jù)（3）式可得如下圖像，

由圖可知，速度v1在前0.1s時隨時間增大而增大。當t=0.0423s時的速度恰好能使球上升至0.4m處。當t=0.062時，v1較前者更大，故滿足使球上升至少40cm的要求，則該策略合理[5]。

3 結(jié)束語

本文就同心協(xié)力鼓在轉(zhuǎn)動情況下的“同心協(xié)力”策略的研究，基于四類不同發(fā)力情況，建立三維物理模型，根據(jù)2019年全國大學生數(shù)學建模競賽B題的數(shù)據(jù)，計算得出了不同情況下的鼓面傾角。后續(xù)又進行了策略的調(diào)整，使其能滿足球上升至少40cm的要求。本文所建立的三維物理模型，利用數(shù)學物理方法，較為準確地分析了“同心鼓”游戲在理想條件以及鼓轉(zhuǎn)動條件下的物理過程，能為游戲參與者提供指導性意見，幫助參與者取得更好成績。