馬 輝， 李鴻飛， 俞 昆， 曾 勁

(1.東北大學 機械工程與自動化學院， 遼寧 沈陽 110819; 2.東北大學 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室， 遼寧 沈陽 110819)

滾動軸承是廣泛應用于旋轉(zhuǎn)機械中的重要支承零件，一旦發(fā)生故障將有可能影響整個設備的正常運行，造成重大的經(jīng)濟損失.在滾動軸承漫長的服役期內(nèi)，有可能出現(xiàn)壓痕、剝落、磨損、點蝕等各種局部故障，對含局部故障的滾動軸承進行動力學建模及振動分析具有重要的理論價值和工程意義，因而得到了國內(nèi)外學者的廣泛關注.

Zhang等[1]建立了滾動軸承顯式有限元模型，提供了滾子滾過故障區(qū)的內(nèi)部視角.李國超等[2]建立了滾動軸承的三維有限元模型，將局部缺陷引入健康軸承，研究了其運轉(zhuǎn)及振動特點.Ding等[3]利用顯式有限元方法研究了外圈局部故障尺寸對球軸承振動響應的影響.Liu等[4]基于滾動軸承的二維有限元模型研究了局部故障形狀對球軸承振動波形的影響.Edwin[5]基于商用軟件Algor建立了滾動軸承的二維模型，研究了不同載荷類型下滾子與滾道之間的接觸特性.Singh等[6-7]建立了含外圈線剝落故障的二維滾動軸承顯式有限元模型，通過多種信號處理方法詳細闡述了低速重載下滾子滾過故障區(qū)的過程.Liu等[8]在此模型的基礎上研究了不同缺陷邊緣對故障軸承接觸力和振動水平的影響.Liu等[9]對平面應力、平面應變、三維實體單元所建軸承模型進行了接觸變形、接觸應力方面的對比.Edwin等[10]基于Algor建立了滾動軸承的二維顯式有限元模型，研究了滾子與滾道之間的打滑現(xiàn)象.張宇等[11]用顯式有限元方法計算了球軸承在不同徑向載荷下由加速到恒速過程的動力學響應.常斌全等[12]將滾動體經(jīng)過內(nèi)圈缺陷的過程進行了充分細化，建立了含局部缺陷的軸承的動力學模型.劉靜等[13]考慮軸承滾子的凸度，研究了位移激勵形式和局部故障尺寸對軸承振動特性的影響規(guī)律.

上述研究大致可分為兩類：一類是考慮滾子與滾道之間的非線性接觸而構建的集中質(zhì)量模型，這類模型方程數(shù)量少，求解快，但是無法充分考慮軸承各零件的柔性，且只能得到軸承的振動響應；另一類是顯式有限元模型，這類模型更多關注軸承外圈故障的情況，對軸承內(nèi)圈故障的情況關注較少.有鑒于此，本文將首先建立一種圓柱滾子軸承的二維顯式有限元動力學模型.然后在該模型中分別植入內(nèi)外圈故障，分析故障區(qū)邊緣單元的等效應力，滾子滾過內(nèi)外圈局部缺陷的過程，將仿真所得振動響應與實驗測試結(jié)果進行對比，以驗證模型的有效性.最后研究故障區(qū)平滑程度對軸承振動特性的影響.

1 健康滾動軸承動力學模型

1.1 滾動軸承參數(shù)

為了方便實驗軸承的加工，本文研究過程中選用兩種型號的圓柱滾子軸承：1)對于健康和外圈故障的情況選用外圈無擋邊的N205EM圓柱滾子軸承，具體參數(shù)見表1；2)對于內(nèi)圈故障的情況選用內(nèi)圈無擋邊的NU205EM圓柱滾子軸承，具體參數(shù)見表2.

表1 N205EM軸承零部件幾何尺寸

表2 NU205EM軸承零部件幾何尺寸

若軸承外圈嵌在軸承座里固定不動，內(nèi)圈隨轉(zhuǎn)軸同步轉(zhuǎn)動，則恒轉(zhuǎn)速下軸承的故障特征頻率計算式為[14]

(1)

式中：fo為外圈故障特征頻率；fi為內(nèi)圈故障特征頻率；Z為滾子數(shù)量；fs為轉(zhuǎn)頻；d為滾子直徑；D為軸承節(jié)圓直徑；α為軸承壓力角，本文所用的圓柱滾子軸承的壓力角為0°.

1.2 滾動軸承顯式有限元建模

基于ANSYS/LS-DYNA建立N205EM軸承的二維顯式有限元模型，如圖1所示.整個軸承由Shell163單元建模，該單元由4個節(jié)點組成.軸承內(nèi)圈、外圈、滾子的材料為軸承鋼，密度為7 850 kg/m3，彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3，保持架材料為黃銅，密度為8 920 kg/m3，彈性模量為100 GPa，泊松比為0.36.為避免初始穿透并且更加貼近真實的軸承，滾子與軸承外圈、內(nèi)圈、保持架之間均留有一定間隙.軸承各零件之間的相互作用采用ASS2D算法模擬，阻尼比為2%.將軸承內(nèi)圈最內(nèi)側(cè)的一層單元設為剛體以施加轉(zhuǎn)速，約束軸承外圈最外層節(jié)點的所有自由度，以模擬軸承安裝在軸承座中的情形.

圖1 二維滾動軸承有限元模型

1.3 滾動軸承動力學模型的求解[15]

在LS-DYNA中，本文所建的有限元模型采用中心差分法求解.已知離散化的結(jié)構動力方程為

(2)

(3)

(4)

其中，c為聲速，Ls為特征尺度：

(5)

(6)

式中：E為材料的彈性模量；ρ為材料密度；υ為泊松比；As是殼單元的面積;Li(i=1，2，3，4)是殼單元各邊的長度.

1.4 滾動軸承有限元模型網(wǎng)格收斂性分析

在所建立的健康軸承有限元模型的內(nèi)圈施加轉(zhuǎn)速，前0.05 s為斜坡加載，0.05 s后為恒速700 r/min.保持架的理論轉(zhuǎn)速由下式計算:

(7)

不同網(wǎng)格尺寸下，保持架轉(zhuǎn)速與理論值的對比見圖2.網(wǎng)格尺寸為0.5和0.25 mm時，保持架轉(zhuǎn)速與理論值相符，從運動學的角度證明了本文模型的有效性.兼顧計算效率與求解精度，本文選取網(wǎng)格尺寸為0.5 mm，整個模型由10 363個單元，11 441個節(jié)點組成.

2 含局部故障的滾動軸承動力學建模

2.1 局部故障區(qū)域模擬

本文采用圓周矩形來模擬出現(xiàn)在軸承滾道上的通槽剝落.定義軸承外圈故障如圖3a所示，其中α1，α2分別為故障區(qū)內(nèi)外兩圓弧所對應的圓心角，d1為故障深度，其局部有限元模型見圖3b.定義軸承內(nèi)圈故障如圖3c所示，其中α3，α4分別為故障區(qū)內(nèi)外兩圓弧所對應的圓心角，d2為故障深度，其局部有限元模型如圖3d所示.

圖2 軸承保持架轉(zhuǎn)速變化情況

圖3 軸承故障示意圖

2.2 滾子經(jīng)過故障區(qū)域時的單元等效應力分析

對于外圈故障，滾子由圖3b中的A單元滾入故障區(qū)，由B單元滾出故障區(qū)，在轉(zhuǎn)速為700 r/min 時，提取A，B兩單元的等效應力時程圖，如圖4a所示，包絡分析分別見圖4b和圖4c.可知單元A，B所受等效應力以外圈故障特征頻率的倒數(shù)為時間間隔產(chǎn)生周期性變化，并且總體上看B單元的應力水平比A單元高，說明滾子滾出故障區(qū)比滾入故障區(qū)會產(chǎn)生更加激烈的沖擊和碰撞.

對于內(nèi)圈故障的情況，滾子先經(jīng)過圖3d中的C單元，再經(jīng)過D單元，在轉(zhuǎn)速為2 000 r/min時，C，D兩單元的等效應力時程圖見圖5a，其包絡譜見圖5b和圖5c.譜圖中的頻率成分分別為轉(zhuǎn)頻fs及其倍頻2fs、內(nèi)圈故障特征頻率fi及其倍頻2fi，以及故障特征頻率與轉(zhuǎn)頻的組合頻率.通過計算相應時間段內(nèi)有效值的方法來比較C，D兩單元的應力水平，D單元略高，說明滾子滾出故障區(qū)會產(chǎn)生比滾入故障區(qū)產(chǎn)生更加激烈的沖擊和碰撞，這一點與外圈故障時的情形一致.

圖4 兩單元等效應力(外圈故障)

圖5 兩單元等效應力(內(nèi)圈故障)

2.3 滾子經(jīng)過故障區(qū)域時的接觸應力分析

圖6所示為滾子滾過外圈故障區(qū)的應力云圖.可分為三個過程：1) 滾子滾入故障區(qū)，在滾子與內(nèi)外圈接觸的地方應力非常大，隨后滾子與故障區(qū)左側(cè)邊緣脫離，進入故障區(qū)；2) 滾子陷入故障區(qū)時與內(nèi)外圈幾乎不接觸，作用在軸承內(nèi)圈上的載荷全由其他滾子分擔；3) 隨著內(nèi)圈的轉(zhuǎn)動，陷在故障區(qū)的滾子被保持架帶到故障區(qū)的右側(cè)邊緣，“楔入”內(nèi)外圈之間的夾縫，與故障尖邊發(fā)生碰撞，伴有比滾入故障區(qū)時更大的應力.

圖6 滾子滾過外圈故障區(qū)

圖7為滾子滾過內(nèi)圈故障區(qū)的應力云圖，具體的過程與外圈故障的情形相似，不再贅述.

2.4 含局部故障的滾動軸承動力學模型實驗驗證

本文用到的滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實驗臺和待測軸承見圖8.轉(zhuǎn)軸左端由健康軸承支撐，右端由待測軸承支撐.實驗過程中，采樣頻率設為20 kHz.按圖3b和圖3d分別在N205EM軸承外圈和NU205EM軸承內(nèi)圈上加工圓周矩形的凹槽.

圖7 滾子滾過內(nèi)圈故障區(qū)

圖8 實驗臺、故障軸承

對于外圈故障，當轉(zhuǎn)速為700 r/min時，距軸承外圈外圓1.5 mm，周向位置0°，90°，180°，270°(以x軸正方向為0°，逆時針為正)的4個節(jié)點的加速度信號如圖9a～圖9d所示.0°，180°方向上的節(jié)點加速度信號比較相似，而位于載荷區(qū)的270°的節(jié)點沖擊比較明顯.因此本文選取載荷區(qū)節(jié)點的加速度與實驗進行對比，如圖10所示.實驗與仿真的時域加速度振動信號都很好地反映了由于外圈局部故障的存在而導致的沖擊現(xiàn)象，且本文所用有限元模型充分考慮了軸承各零件的柔性和慣性，所得時域信號的波形與實驗吻合較好.加速度信號的包絡譜中軸承外圈故障特征頻率及其倍頻清晰可見.仿真、實驗、理論(根據(jù)式(1)計算)所得的軸承外圈故障特征頻率對比見表3，由此說明本文所建的有限元模型能夠較準確地模擬外圈故障時的滾動軸承振動特性.

表3 不同方法所得外圈故障特征頻率

圖9 周向節(jié)點加速度對比

圖10 仿真、實驗對比圖(外圈故障)

對于內(nèi)圈故障，當轉(zhuǎn)速為2 000 r/min時，仿真結(jié)果與實驗實測結(jié)果的對比見圖11.軸承內(nèi)圈存在局部故障時，由于受到轉(zhuǎn)頻的調(diào)制作用，包絡譜中可以看到由于故障導致的內(nèi)圈故障特征頻率fi及其倍頻2fi，以及由于轉(zhuǎn)頻調(diào)制而出現(xiàn)的故障特征頻率與轉(zhuǎn)頻fs的組合頻率.仿真、實驗、理論(根據(jù)式(1)計算)所得的軸承內(nèi)圈故障特征頻率對比見表4，二者相近，由此證明了本文所建的有限元模型也可以較為準確地模擬內(nèi)圈故障時的滾動軸承振動特性.

表4 不同方法所得內(nèi)圈故障特征頻率

圖11 仿真、實驗對比圖(內(nèi)圈故障)

3 故障參數(shù)對軸承振動特性的影響

對于外圈故障的情況，假設故障深度d1=0.5 mm，圓心角α1=5°，隨α2增大，故障輪廓越來越平滑.提取不同α2下的軸承振動加速度響應并對其進行包絡分析，如圖12所示.可見，故障輪廓越平滑，滾子滾出故障區(qū)楔進內(nèi)外圈的夾縫越容易，沖擊越小.

對于內(nèi)圈故障的情況，假設故障深度d2=0.5 mm，圓心角α3=5°，提取不同α4下的軸承振動加速度響應并對其進行包絡分析，如圖13所示，幅值總體上呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢.

圖12 不同角度下的節(jié)點加速度(外圈故障)

圖13 不同角度下的節(jié)點加速度(內(nèi)圈故障)

4 結(jié) 論

1) 無論外圈故障還是內(nèi)圈故障，滾子滾出故障區(qū)域時，與故障區(qū)域邊緣接觸，產(chǎn)生更強烈的沖擊和碰撞；

2) 對外圈故障，隨圓心角α2增大，軸承的故障輪廓越來越平滑，由此產(chǎn)生的振動響應越來越小；

3) 內(nèi)圈故障時，隨圓心角α4增大，故障輪廓的變化先以寬度增加占主導，在圓心角超過某一臨界值后，故障輪廓逐漸平滑，因此幅值先大后小.