劉文迪 程軍 孫業(yè)偉

摘要：壓縮感知最吸引人的地方在于它直接在采樣的前端能夠以相對于傳統(tǒng)更加低的采樣率采集信號。當然這是由于我們掌握了信息的稀疏屬性，所以當我們知道關于信號的更多先知條件時，那么更加詳細的采取信息的效率，也就有可能增加。本文綜述了壓縮感知基本原理，介紹了信號稀疏表示、理論應用和未來展望等內容以及壓縮感知理論研究現(xiàn)狀和在相關領域的應用。

關鍵詞：壓縮感知;稀疏表示;理論應用;未來展望

引言

隨著科學技術的飛速發(fā)展，社會各領域所需要的信息也逐步增加，信息的采取就是模擬信息源和數(shù)字信息之間的聯(lián)系。傳統(tǒng)的奈奎斯特采取的信息采樣的方法指出，為了準確原始的恢復原始信息，采樣的頻率大于等于信號頻率的兩倍。通過這種方法采集的信息設計，完全可以代表原始信息所要表達的信號，但是采集的信息量過于繁重，這就導致在現(xiàn)實生活中，數(shù)據(jù)的儲存和傳輸需要更多的成本和空間，同時在處理數(shù)據(jù)的過程中，也有可能造成數(shù)據(jù)的丟失，造成信息的巨大浪費。此外，它將帶來巨大的困難和挑戰(zhàn)的收集和處理大量的數(shù)據(jù)和相應的硬件設備，這些困難是當前信息技術領域的最主要的同時，也是未來發(fā)展的方向，所以，為了減少主要信息的保留和不必要信息的儲存，一種新的信息壓縮技術應運而生——壓縮感知技術。

壓縮感知技術，簡單說來就是如果信息具有一定的可壓縮性，或者具有一定的吸收程度，那么就可以通過特定的線性關系，將信息從高維度投影到低維度上，減少數(shù)據(jù)的采集量，同時還能夠表達主要數(shù)據(jù)的信息。令y=Ax， 其中y∈R（m），A∈R（m*n） 是線性測量矩陣，稀疏恢復的主要任務是通過觀測數(shù)據(jù)y和A 來恢復未知數(shù)據(jù)x。顯然該方程組具有許多的不穩(wěn)定因素，也就是方程有許多解。通常假設x 是稀疏的，并假設測量矩陣具有一些良好的性質，則這時候該線性方程組具有唯一解。壓縮感知理論問題的研究涵蓋了許多基礎學科，應用范圍也很廣泛，因此得到了科學界的普遍關注和研究，在短短的時間內，得到了較快的發(fā)展。壓縮感知與圖像處理的結合目前還在發(fā)展階段，技術發(fā)展都還在研究當中，且有待改進，將兩者結合并改進，不僅對壓縮感知，對圖像處理也有更深入的發(fā)展，對社會和人們的需求也能一定程度的滿足。

一、壓縮感知理論框架

壓縮感知技術是數(shù)據(jù)在編碼解碼方面的重大創(chuàng)新，傳統(tǒng)的信息采集和編解碼的過程如圖一所示：編碼始端先對數(shù)據(jù)進行采取，然后再進行轉變，將其中重要數(shù)據(jù)進行壓縮和編碼，最后將編碼的數(shù)據(jù)進行儲存和運輸，最后在進行信號的解碼，就可得到原始信息。解碼的終端只是編碼的逆過程;將接收的信息進行分解和轉化，得到原始壓縮的數(shù)據(jù)。

傳統(tǒng)的編碼還存在一些不足的地方：1）傳統(tǒng)編碼的信號，要求信號的帶寬是信號采取速率的兩倍。這要求軟件承受的帶寬需要更大的承受能力;2） 在信號壓縮過程中，壓縮的信息大部分被丟棄，導致信息在壓縮過程中產生大量的浪費。壓縮感知技術的實現(xiàn)，就與傳統(tǒng)的編碼有所不同，他以遠高于傳統(tǒng)的速率對信息進行自主的測量和編注。并且信息都包含著很少的主要信息。解碼過程并不僅僅是編碼的反過程，這使得采取的信息并不單單是信號本身，而是信息投影到低維的投影值。見圖二，在傳統(tǒng)理論上看來，每一個測量值都對應著一個組合的函數(shù)，也就是測量值都包含一定的信息。解碼過程不是簡單的逆過程，它是一種盲源分離中求逆的方法過程，利用信息可壓縮中的重新構造的方法在概率方面實現(xiàn)信息的重構或者是一定誤差下的近似構造，這樣就使得解碼所需的數(shù)量遠遠小于傳統(tǒng)方法的樣本數(shù)量。

二、信號的稀疏表示

由于壓縮感知技術對可壓縮的數(shù)據(jù)具有適應性，為了達到數(shù)據(jù)的簡化，可以把處理數(shù)據(jù)的模型簡化：信息的數(shù)量為N的離散實值信號為x，記為x（n），其中n屬于{1，2，……N}。由實值信號理論知識可知x可以通過一組Φ的轉置={Φ1，Φ2，…Φm…Φn}的線性組合的辦法來表述。所以x=∑Φkαk（k從1到n），αk=

三、理論應用

壓縮理論技術不僅帶來了信息采取的理論革新，同時還具有廣闊的應用前景，其中包括壓縮技術成像，壓縮編碼醫(yī)學圖像，軍事方面，天文方面、建筑方面等有待取得了很大的成功

3.1 單像素相機

美國萊斯大學成功設計了一款基于壓縮感知的單像素相機，這是在取代傳統(tǒng)相機的實踐中的重大突破。相機的關鍵部件是DMD，它由大量細菌大小的鏡頭組成。在整個系統(tǒng)中，物體的圖像由第一個透鏡打在DMD上，圖像再由第二個透鏡將圖片聚焦在一個像素的傳感器上，再由DMD反射的圖形形成光學信息，在拍攝過程中DMD上的每一個鏡頭通過形成的明暗矩陣快速轉化成偽隨機碼的形式，形成每個變化的像素模型。最后，結合信號和偽隨機碼得到目標的圖像。

3.2 線性編碼

在編碼方面，壓縮感知提供了一個新的方法，讓傳送的信息交錯的傳送進去，這使得輸入的信號，如果有一部分丟失或損害，仍然可以恢復大部分的原始信息，例如，如果將一個線性編碼的2000比特的信息輸入到一個4000比特的信息流中，那么如果有200萬被損害，甚至更多被損壞，那么原始信息仍然可以完美的重現(xiàn)

3.3 磁共振成像（MRI）

在醫(yī)學方面，人們通過對人體病情狀況進行測量，然后輸入電腦，成為數(shù)據(jù)圖像，由于測量的數(shù)據(jù)量比較大，在整個過程中，如果壓縮處理時間過長，對病人的病情會有所耽擱，壓縮感知技術剛好提出了新的方法，加速了信息傳輸?shù)倪^程，能夠在短時間內完成信息圖的轉化，在相同的處理時間內，可以快速得到更好的圖像分情況。

3.4 天文學

在天文學方面，許多星球有多種多樣的頻率信息，使他們在不同的領域內有著稀疏，不同的可壓縮的數(shù)據(jù)，在許多因素方面，比如天氣溫度，氣候濕度等方面嚴重損失原始數(shù)據(jù)的信息。壓縮感知技術仍然通過部分重要的原始設計，可以準確的恢復原始信號，來重現(xiàn)星球的原狀

四、壓縮感知技術未來展望，

文章敘述了壓縮感知，從理論到實際應用的過程，壓縮感知技術對大規(guī)模數(shù)據(jù)和可壓縮的數(shù)據(jù)處理具有很重要的意義。隨著科技的發(fā)展，壓縮感知技術正處于蓬勃發(fā)展時期，除此之外，還有很多問題等待人們及時攻克。例如，第一，轉化數(shù)據(jù)的測量矩陣問題;第二，實現(xiàn)數(shù)據(jù)快速壓縮，恢復質量效率等理論基礎，增強可實施性;第三，如何快速實現(xiàn)壓縮數(shù)據(jù)在硬件和軟件上的實施過程;第四，壓縮數(shù)據(jù)進行傳輸，儲存，壓縮等器械問題.

隨著現(xiàn)如今科技的發(fā)展，在未來發(fā)展中在我個人看來，在這些方面我們應該進一步的研究，第一，在信息數(shù)據(jù)的吸收方面，信息從高維到低維有著密切相關性研究，如果我們能將其引入信息表示，將可能得到的不錯的結果，第二，在數(shù)據(jù)觀察方便，目前大多采用線性的觀察方法，如果考慮到在實際中去除噪聲的方法，并且引入一些非線性的實施，可能得到較好的成果，第三，在優(yōu)化數(shù)據(jù)壓縮方便，如果能夠將信號信息的先驗條件和稀疏性綜合考慮，則有望取得更好的效果，推動壓縮感知技術的發(fā)展。

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