楊 婷

(安徽省臨泉第二中學(xué) 236400)

一、函數(shù)的求解定義域題型

函數(shù)的定義域和值域是高考大綱中有所要求的，這部分的題目綜合性比較強(qiáng)，一般都是與其他類型的題目相結(jié)合.所以，同學(xué)們需要掌握最基本的求解函數(shù)定義域和值域的方法，這樣才能在其他題目中靈活運(yùn)用，輔助解答大題.

若A是函數(shù)y=f(x)的定義域，則對于A中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應(yīng)，我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域.

試比較下列兩個函數(shù)的定義域與值域：(1)f(x)=(x-1)(x-1)+1，x∈{-1,0, 1, 2, 3}；(2)f(x)= (x-1) (x-1)+1.第一小題的函數(shù)的定義域?yàn)閧-1, 0, 1, 2, 3}，因?yàn)閒(-1)=(-1-1)×(-1-1)=5，同理f(0)=2,f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，所以這個函數(shù)的值域?yàn)閧1, 2, 5}.第二小題的函數(shù)的定義城為R，因?yàn)?x-1) (x-1)+1≥1，所以這個函數(shù)的值域?yàn)閧y|y≥1}.

評注這類函數(shù)問題都相對比較簡單也是函數(shù)問題最基礎(chǔ)的知識，主要就是考查學(xué)生對于題目的解析能力，同時也是為了讓學(xué)生在做題的時候能夠養(yǎng)成仔細(xì)審題的習(xí)慣，只要認(rèn)真看題，按照正常的解題步驟進(jìn)行解答，基本上都能解出正確答案，主要還是要細(xì)心和謹(jǐn)慎.

二、函數(shù)的實(shí)物構(gòu)圖分析題

函數(shù)的實(shí)物構(gòu)圖分析題是有一定難度的題目，更多的考查學(xué)生對于函數(shù)關(guān)系的理解程度，讓學(xué)生從純文字的表述中進(jìn)行相關(guān)信息的分析，這類題目還是需要多做相關(guān)題型，積累做題經(jīng)驗(yàn)，練出一定的手感，這樣在遇到類似問題時可以有一個比較準(zhǔn)確的思維框架幫助理解題目.

一座鋼索結(jié)構(gòu)橋的立柱PC與QD的高度都是60m，A,C間距離為200m，B,D間距離為250m，C,D間距離為2000m，E,F間距離為10m，P點(diǎn)與A點(diǎn)間、Q點(diǎn)與B點(diǎn)間分別用直線式橋索相連結(jié)，立柱PC,QD間可以近似看作是拋物線式鋼索PEQ相連結(jié).現(xiàn)有一只江鷗從A點(diǎn)沿著鋼索AP,PEQ,QB走向B點(diǎn),試寫出從A點(diǎn)走到B點(diǎn)江鷗距離橋面的高度與移動的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系.

我們可以作一個坐標(biāo)圖，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，橋面AB為x軸，過A點(diǎn)且垂直于AB的直線為y軸.建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，C(200,0)，P(200,60)，E(1200,10)，D(2200,0)，Q(2200,60)，B(2450,0).

設(shè)直線段PA滿足關(guān)系式y(tǒng)=kx,那么由60=k×200，得k=0.3,即有y=0.3x，0≤x≤200.設(shè)直線段QB滿足關(guān)系式y(tǒng)=lx+b，那么由0=2450l+b和60-2200l+b得l=-0.24，b=588，即有y=-0.24x+588，2200≤x≤2450.

評注這類關(guān)于函數(shù)的題目都有一些難度，更多的是考查學(xué)生們對于題目的理解能力，以及如何從文字中獲取數(shù)據(jù)間的相關(guān)函數(shù)關(guān)系.這就要求同學(xué)們作出坐標(biāo)圖，借助坐標(biāo)圖理解數(shù)字間的關(guān)系，得到準(zhǔn)確的函數(shù)關(guān)系，從而構(gòu)建函數(shù)組進(jìn)行運(yùn)算.

三、函數(shù)的綜合應(yīng)用題

函數(shù)的綜合應(yīng)用題難度比較大，一般是綜合性很強(qiáng)的題型，一般下設(shè)幾個小題，難度層層遞進(jìn)，并且題目要求的函數(shù)工具也比較多，可能包含了冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，以及函數(shù)單調(diào)性等等的多方面知識，對考生掌握函數(shù)的熟練度要求很高.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺(x∈N*)的收入函數(shù)為R(x)=3000x-20x2(單位:元),其成本函數(shù)為C(x)=500x+4000(單位:元)，利潤是收入與成本之差.(1)求利潤函數(shù)P(x)及邊際利潤函數(shù)MP(x);(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相同的最大值?

我們來看看求解過程：由題意知，x∈[1,100]，且x∈N*.(1)P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-(500x+4000)=-20x2+2500x-4000，MP(x)=P(x+1)-P(x)=-20(x+1)2+2500(x+1)-4000-[-20x2+2500x-4000]=2480-40x.(2)P(x)=-20(x-125/2)2+74125.P(x)的最大值為74120(元).因?yàn)镸P(x)=2480-40x是減函數(shù),所以當(dāng)x=1時,MP(x)的最大值為2440(元).因此，利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)不具有相同的最大值.除此之外，我們可以得出邊際利潤函數(shù)MP(x)在當(dāng)x=1時取最大值,說明生產(chǎn)第二臺與生產(chǎn)第一臺的總利潤差最大，即第二臺報警系統(tǒng)利潤最大.MP(x)=2480-40x是減函數(shù)，說明隨著產(chǎn)量的增加每臺利潤與前一臺利潤相比在減少.

評注函數(shù)綜合應(yīng)用題相對難度大一些，考察的范圍也較大，但是，其實(shí)題目所運(yùn)用到的公式還是比較基礎(chǔ)的.這也要求學(xué)生能夠熟練掌握各種函數(shù)的基本運(yùn)算方式以及它們對應(yīng)的運(yùn)算特點(diǎn)，以便在運(yùn)用到大題的時候能夠準(zhǔn)確且靈活地使用.