杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)實驗中學校 610100)

通過近幾年全國各地高考試題和模擬題我們發(fā)現(xiàn)有關指對冪幾乎年年必考，其中又以這三者為依托考查比較大小更為盛行，大多數(shù)以小題出現(xiàn)，難度一般不大，但有時也出現(xiàn)在高考選擇題的壓軸題上.下面筆者以一道高三模擬試題為例進行多角度探究，進一步體會涉及關于比較指對冪大小或計算常見方法，與讀者交流.

一、試題呈現(xiàn)

(成都市2019屆高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測理科第6題)

若非零實數(shù)a,b滿足2a=3b，則下列式子一定正確的是( ).

A.b>aB.b|a|

二、多解評析

1.特殊值法

令a=2,則4=3b，易得1b>0.

評析尤其在含有變量的式子對一般性結論成立的式子中，取特殊值法有時堪稱秒殺，但取值的標準還是要依托式子的意義，結構等因素，主要是便于計算和優(yōu)化解答.比如方法一，也可取a=1和a=-1.但出現(xiàn)了b的區(qū)間端點為分數(shù)的情形，所以選取了a=2和a=-2.

2.指數(shù)互化

評析根據(jù)答案的表達關系，選擇了指數(shù)恒等變換，利用冪的乘方將指數(shù)式的字母進行組合，再利用指數(shù)運算得出結果，此法顯得干練簡潔.

3.指對互化

評析指對密不可分，本法利用直接轉(zhuǎn)化為對數(shù)，利用對數(shù)運算性質(zhì)將a,b分離出來，從而達到結論需要的結構模式.本法屬于通性通法，求指數(shù)取對數(shù)，同樣簡潔.

4.作商法

令2a=3b=k,因為a,b非零，所以k>0且k≠1.即a=log2k,b=log3k.

評析由選擇答案可知是涉及比較大小，作商法尤其針對指數(shù)式比較大小是慣用的一種解答思想方法.本法同方法三，利用了消元指對互化實現(xiàn)式子字母的分解，從而達到要得到的式子結構特征，此法具有普遍性，由指數(shù)式涉及求ma與nb這種式子運算和比較關系都可用此法.

5.作差法

評析同法三，作差法是不等式比較大小最基本方法之一，本法在對數(shù)式變換上，注意換底公式的使用，同時結合對數(shù)性質(zhì)確定對數(shù)值的取值范圍.

6.圖象法

由草圖曲線1,2分別為函數(shù)y=3x，y=2x的圖象.當直線y=k分別在y>1和0

評析數(shù)形結合法是判斷不等式成立的又一種有力的手段，尤其構造一些簡單初等函數(shù)圖象可以快速破解相關試題.數(shù)形結合的優(yōu)點形象直觀，一目了然，可以說這道模擬試題此法為上策.

通過以上試題的解答探究，筆者發(fā)現(xiàn)此題與

(2018年全國卷Ⅲ理數(shù)12題)設a=log0.20.3，b=log20.3，則

A．a(chǎn)+b

C．a(chǎn)+b<0

如同姊妹題，正好形成指對函數(shù)的珠聯(lián)璧合.此題留給讀者仿照以上探究思路進行解答.

那么以上兩題能在教材找到相應的題根嗎？回答是肯定的.此上兩題可以認為均來自

普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修一第二章復習參考題B組第2題：

從式子結構上來看，兩題中與成都模擬試題條件幾乎沒變，去掉了等式值限制，但更具有開放性；而2018年全國卷Ⅲ理數(shù)12題雖然以對數(shù)形式給出，但轉(zhuǎn)化成指數(shù)形式結構一樣，明顯在結論上開放性更強.共性是兩題所研究的結果都與教材習題所對應的表達式一樣，的確在開放性上這是兩題真正顯著的體現(xiàn)，也進一步詮釋了高考命題源于教材、活于教材、高于教材的理念.如果我們平時在教學上多留意一下這種具有典型代表性的例題、習題，進行多解多變，相信以上類型試題的解答學生應該相對容易.

變式練習：

A．c>b>aB．b>c>a

C．a(chǎn)>b>cD．b>a>c

2.若a>b>0,0

A.logac

C.accb

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

4.設a,b,c都是正數(shù)，且3a=4b=6c，則以下正確的是( ).

我們深知高三數(shù)學復習時發(fā)現(xiàn)涉及知識點多，范圍廣，每年題目不斷變化更新的同時考查方式也是多種多樣，但數(shù)學考查知識點是相對固定的.因此在復習備考時回歸教材，以教材為根據(jù)地，認真研究例題、習題，進行一題多變，一題多解.在強化數(shù)學思維、方法的訓練的同時把相關板塊知識點進行歸類整理總結，則可以幫助學生梳理知識點，歸類和比較方法的優(yōu)劣，以及找到共性，提高自己的學習能力，從而避免過度刷題，進一步在備考中取得事半功倍的效果.