折翠霞

(陜西省神木第九中學(xué) 719000)

一、數(shù)學(xué)證明題的典型錯(cuò)誤

1.實(shí)際應(yīng)用問題

數(shù)學(xué)證明題本質(zhì)上是抽象公理概念的演繹推理過程.初中階段是學(xué)生抽象思維的發(fā)展期，但此時(shí)學(xué)生仍然未能擺脫“具象思維”的影響，往往更習(xí)慣于依靠過往經(jīng)驗(yàn)、已知事實(shí)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用題的證明.因而，主觀性解答仍然是實(shí)際應(yīng)用問題中的最典型的錯(cuò)誤之一.

例1如圖1所示，某單位的職工要對(duì)A、B兩點(diǎn)之間的距離進(jìn)行測(cè)量，他們首先作出AB的垂線BF，并在BF上選取兩點(diǎn)C和D，令CD=BC，連接AC并延長(zhǎng)與BF的垂線DE相交于E點(diǎn)，此時(shí)，測(cè)量出DE的長(zhǎng)度就等于A、B兩點(diǎn)之間的距離.寫出已知和求證，并進(jìn)行證明.

圖1

而典型的錯(cuò)誤證明如下：

解已知CD=BC，求證AB=DE.∵BC=CD，∴∠D=∠B=90°，又∵DE∥AB,∠ACB=∠ECD，∴△ABC?△EDC，∴AB=DE.

根據(jù)剖析可知，該學(xué)生在解答過程中，一方面在最初進(jìn)行條件羅列時(shí)僅羅列了“BC=CD”這一已知條件，另一方面在求證AB=DE時(shí)，用BC=CD、DE∥AB、∠ACB=∠ECD三個(gè)已知條件，主觀性進(jìn)行推斷出△ABC?△EDC這一結(jié)論.這種錯(cuò)誤解答在實(shí)際應(yīng)用證明題中可謂常態(tài).

2.邏輯推理方面

學(xué)生的邏輯推理能力的培養(yǎng)是新課標(biāo)的重要要求，也是數(shù)學(xué)證明題的主要考查點(diǎn).在實(shí)際的證明題的解題過程中，學(xué)生常常出現(xiàn)邏輯推理過程不嚴(yán)密、思路不清晰等問題.其中，常見錯(cuò)誤主要是循環(huán)論證和偷換命題.循環(huán)論證主要是指學(xué)生將需要論證的命題或者與其類似的等價(jià)命題作為論據(jù)對(duì)命題進(jìn)行推理，而事實(shí)上，這種論據(jù)沒有適當(dāng)?shù)臈l件來予以支撐.而偷換命題主要是學(xué)生對(duì)所學(xué)的命題理解錯(cuò)誤，從而對(duì)命題進(jìn)行錯(cuò)誤的應(yīng)用.

圖2

例2如圖2所示，D點(diǎn)是△ABC的一條邊AB上的一點(diǎn)，DF與△ABC的另一條邊AC相交于E點(diǎn)，已知DE=FE,AE=CE,判斷AB與CF的位置關(guān)系并說明理由.

而典型的錯(cuò)誤證明過程如下：

解1∵DE=FE,AE=CE，∴AD=CF.∵AD=CF,DE=FE,AE=CE，∴△ADE?△CEF.∵∠AED和∠CEF互為對(duì)頂角，∴AD∥CF.又∵A、B、D三點(diǎn)共線，∴AB∥CF.

根據(jù)解1剖析可知，該學(xué)生在證明過程中出現(xiàn)了“循環(huán)論證”的錯(cuò)誤.一方面，學(xué)生并未對(duì)題干中所隱含的條件進(jìn)行深度挖掘，另一方面，學(xué)生也缺乏對(duì)全等三角形認(rèn)定定理等知識(shí)的梳理.因此，學(xué)生在證明過程中將AD=CF變成了證明△ADE?△CEF的“論據(jù)”，而事實(shí)上，AD=CF這一結(jié)論在證明△ADE?△CEF之后方可推出.

解2∵DE=FE,AE=CE且∠AED和∠CEF互為對(duì)頂角，∴△ADE?△CEF，∵△ADE?△CEF，∴AD∥CF.又∵A、B、D三點(diǎn)共線,∴AB∥CF.

根據(jù)解2剖析可知，該學(xué)生的解題錯(cuò)誤主要體現(xiàn)在“∵△ADE?△CEF，∴AB∥CF”這一步驟.其中，“△ADE?△CEF”無法直接證明“AD∥CF”，而需要通過△ADE?△CEF推導(dǎo)出“∠DAE=∠ECF”，隨后通過“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”定理推導(dǎo)出“AD∥CF”，繼而得出“AB∥CF”的結(jié)論.而該學(xué)生對(duì)“全等三角形性質(zhì)”、“平行線判定定理”理解不夠透徹，從而出現(xiàn)“偷換命題”的錯(cuò)誤.

二、數(shù)學(xué)證明題的糾錯(cuò)方式

1.題目解答要具有針對(duì)性

實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)，首先要讓學(xué)生能更加準(zhǔn)確的理解證明題中所運(yùn)用到的定理和概念等.因此，有針對(duì)性地進(jìn)行題目解答是糾正學(xué)生典型錯(cuò)誤的最主要的方法，它讓學(xué)生意識(shí)到自身的“缺陷”，并對(duì)其進(jìn)行“修補(bǔ)”.

如例1中，學(xué)生對(duì)全等三角形判定定理中的ASA(邊角邊)理解不夠透徹，此時(shí)，一方面，教師應(yīng)尊重學(xué)生的“主人翁”地位，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究“角邊角”中的兩“角”是對(duì)頂角和直角，“邊”是這兩個(gè)角的夾邊，讓學(xué)生意識(shí)到自身在定理理解方面的“漏洞”，從而有針對(duì)性地進(jìn)行“修復(fù)”；另一方面教師可以將SAS(邊角邊)定理與ASA(角邊角)定理進(jìn)行類比，讓學(xué)生充分分析兩者的異同，隨后提供適量的、與學(xué)生能力相符的證明練習(xí)題，幫助學(xué)生夯實(shí)知識(shí)基礎(chǔ)，提高學(xué)生的定理應(yīng)用能力.

2.注重培養(yǎng)邏輯推理能力

初中學(xué)生正處于“具體思維”向“抽象思維”轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵時(shí)期，此時(shí)，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生的邏輯推理能力的培養(yǎng).而其中，證明題的解答是提升學(xué)生的邏輯推理能力的有效方法.證明題中往往包含有“條件”和“結(jié)論”兩個(gè)部分.其中，“條件”是已知的、需要被肯定的對(duì)象，“結(jié)論”是未知的、被肯定或者被否定的某種性質(zhì).因此，教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生梳理證明題的題干，發(fā)掘證明題中或明顯、或隱含的“條件”，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)分析、認(rèn)真思考、逐步探索，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)得出“結(jié)論”，繼而開發(fā)學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生的邏輯推理能力.

例3如圖3所示，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，且AD=AE，∠BDC=∠CEB.求證：BD=CE.

圖3

通過對(duì)題目的梳理分析可知，題中的“顯性”條件有兩個(gè)，分別是∠BDC=∠CEB和AD=AE，而“隱性”條件是∠BAE=∠CAD，而題中的結(jié)論是BD=CE.此時(shí)，通過羅列出∠BAE=∠CAD、AD=AE、∠BAE=∠CAD三個(gè)已知條件，可以發(fā)現(xiàn)，如果通過∠BDC=∠CEB推出∠ADC=∠AEB，就可以用ASA(角邊角)定理判定△ADC?△AEB.此時(shí)再來證明BD=CE已經(jīng)輕而易舉.