賴巧芳

(廣東省廣州市廣州大學(xué)附屬中學(xué) 510006)

一、教材分析

利用軸對(duì)稱研究某些最短路徑問題.

二、學(xué)情分析

作為初二的學(xué)生，面對(duì)具有實(shí)際背景的最短路徑問題，會(huì)感到無從下手.對(duì)于直線同側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線上找到一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到這兩點(diǎn)的距離之和最小，一些學(xué)生會(huì)找不到解決問題的思路．

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

(1)能利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決最短路徑問題，體會(huì)圖形變換在解決問題中的作用.

(2)在探索中，感悟﹑應(yīng)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．

2.過程與方法

通過讓學(xué)生經(jīng)歷觀察演示，動(dòng)手操作，自主探究，合作交流等過程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力及數(shù)學(xué)建模能力.

3.情感與態(tài)度

利用多媒體，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣.

四、重難點(diǎn)及其突破措施

1.重點(diǎn)：利用軸對(duì)稱知識(shí)解決兩點(diǎn)之間最短路徑問題

2.難點(diǎn)：如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題

3.突破措施

(1)利用幾何畫板、數(shù)學(xué)視頻顯示將軍飲馬問題的本質(zhì)，在學(xué)生腦海中加深印象.

(2)通過多媒體創(chuàng)設(shè)啟發(fā)性情境，讓學(xué)生積極學(xué)習(xí).

五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)意圖

研究思路及活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖認(rèn)知維度復(fù)習(xí)與“最短”有關(guān)的工具記憶從簡(jiǎn)單問題入手,搭橋梁,構(gòu)建轉(zhuǎn)化路徑理解歸納可以用軸對(duì)稱將問題轉(zhuǎn)化的條件特征,形成策略性知識(shí)理解基于策略性知識(shí),形成畫圖步驟理解在新的問題情境中,判斷是否可以用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化,并實(shí)施畫圖步驟應(yīng)用,分析設(shè)計(jì)一個(gè)與最短路徑有關(guān)的數(shù)學(xué)問題創(chuàng)造

六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

活動(dòng)1 溫故知新，知識(shí)儲(chǔ)備

1.軸對(duì)稱性質(zhì)：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸垂直平分.

2.最值原理：兩點(diǎn)之間，線段最短. 垂線段最短.

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)軸對(duì)稱性質(zhì)，線段公理，為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好知識(shí)上的儲(chǔ)備.利用溫故知新，運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

活動(dòng)2 情境引入

例1如圖，有一位將軍騎著馬從A點(diǎn)的軍營(yíng)出發(fā)，先到河MN邊讓馬喝足水，再返回河岸同側(cè)的B點(diǎn)家中，該如何選擇路線，讓將軍回家的路程最短？

畫一畫，并測(cè)量.展示、追問.

經(jīng)過學(xué)生探討，小組交流，最后師生共同歸納總結(jié)如下：

1.把同側(cè)問題變?yōu)楫悅?cè)問題，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想.

2.利用軸對(duì)稱的方法，化折線段為直線段，再結(jié)合“兩點(diǎn)之間線段最短”的性質(zhì)，就可以解決這類最值問題.

設(shè)計(jì)意圖:及時(shí)小結(jié)體會(huì)軸對(duì)稱的作用.

活動(dòng)3 畫龍點(diǎn)睛

畫圖步驟：1.明確直線和直線同側(cè)的兩點(diǎn)；

2.過其中一個(gè)點(diǎn)作關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn)；

3.連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)，與直線交點(diǎn)即為所求.

設(shè)計(jì)意圖:基于策略性知識(shí)，形成畫圖步驟.

活動(dòng)4 智勇大沖關(guān)

1.如圖，點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)B與點(diǎn)A在直線l的同側(cè)，測(cè)得A′B=20 cm.若點(diǎn)P為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB，則PA+PB的最小值為____.

2.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小.

設(shè)計(jì)意圖:還必須結(jié)合不同的問題背景如特殊三角形、特殊四邊形等.將運(yùn)用這一基本事實(shí)解決具體問題常態(tài)化、系列化，確保學(xué)生對(duì)此類問題的真正理解和掌握.

活動(dòng)5 更進(jìn)一步

例2如圖，一匹馬從S點(diǎn)出發(fā)，先去OP上一處吃草，再去OQ河邊喝水，然后再返回S點(diǎn).該如何選取路線，使得經(jīng)過的總路程最短？

學(xué)生思考交流，教師巡視.

設(shè)計(jì)意圖:在交流中明白作法的合理性，讓學(xué)生真正理解解決問題的方法.在小組合作學(xué)習(xí)中學(xué)生找到解決問題的方法，意在體現(xiàn)學(xué)生的合作意識(shí).幾何畫板演示，讓學(xué)生從數(shù)的角度感知作法的正確性.

活動(dòng)6 舉一反三(略)

活動(dòng)7 課堂小結(jié)

轉(zhuǎn)化關(guān)鍵：

最短路徑問題—軸對(duì)稱性質(zhì)—兩點(diǎn)之間線段最短

研究過程：

大膽嘗試-尋求依據(jù)-小心證明-遷移延伸.

設(shè)計(jì)意圖:從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型.