陳江嵩

(浙江省樂清市樂成第一中學(xué) 325600)

隨著評價(jià)機(jī)制改革深入，中考試題的命制也更關(guān)注數(shù)學(xué)思想的滲透及學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，以函數(shù)與幾何為背景的綜合題越來越占據(jù)主導(dǎo).筆者與同行分享參與2018年樂清市中考適應(yīng)性考試綜合題的命制過程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與核心素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，Rt△ABC，CA⊥BC，AC=4，在AB邊上取一點(diǎn)D，使AD=BC，作AD的垂直平分線，交AC邊于點(diǎn)F，交以AB為直徑的⊙O于G，H，設(shè)BC=x.

(1)求證：四邊形AGDH為菱形；

(2)若EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)連結(jié)OF，CG.

①若△AOF為等腰三角形，求⊙O的面積；

本題屬于動態(tài)探案型綜合題，先通過動點(diǎn)B，帶動直角三角形ABC變化，引起直角三角形外接圓的變化，巧妙地將圓與三角形、菱形有機(jī)的結(jié)合在一起.又通過引入另一動點(diǎn)D，通過AD的中垂線的位置改變，引起菱形AGDH的形變，增加題目的探究性.考生在解題過程中始終要抓住變化中的不變量，對邏輯推理能力有較高的要求.但通過(1)(2)小題的鋪墊后，又有利于輔助考生找到這種不變量.總體上，三個(gè)問題看似獨(dú)立，但相互關(guān)聯(lián)，層層深入，逐步遞進(jìn).

二、命制過程

1.命題立意體現(xiàn)知識與能力并重

本題位于試卷最后一題，雙向細(xì)目表要求設(shè)計(jì)一個(gè)與“圖形與幾何”有關(guān)的綜合性探索問題，其問題的解決涉及初中數(shù)學(xué)知識的方方面面，要求注重核心知識的覆蓋面，立足考查圖形基本性質(zhì)與學(xué)生基本能力，包含圖形認(rèn)識、幾何計(jì)算、合情推理及動態(tài)性問題的探索.試題的考查應(yīng)有層次，要設(shè)計(jì)一定量適度綜合，適度開放，以及有一定探索性的試題，使不同學(xué)習(xí)程度的學(xué)生均有機(jī)會發(fā)揮自己的真實(shí)水平.命題組定出方案：從教材中選取合適素材進(jìn)行改編，設(shè)計(jì)動圓與其他圖形相結(jié)合的動態(tài)探究性綜合題，用動點(diǎn)帶動一組線的變化，動中有靜，變中有不變，分層設(shè)問，逐步遞進(jìn)，將三角形、四邊形、圓、三角函數(shù)、方程、軸對稱初中數(shù)學(xué)的核心知識融為一體，要求不同層次學(xué)生能夠通過閱讀理解、推理計(jì)算、分類討論等方式進(jìn)行一定程度地研究，無論是對知識掌握的要求還是對數(shù)學(xué)思考能力、邏輯推理能力都要有較高要求，力求體現(xiàn)了“知識與能力并重，思想與方法交融”的特點(diǎn).

2.素材選取

浙教新版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級上冊第90頁例1：如圖2，等腰三角形ABC的頂角∠BAC為50°，以腰AB為直徑作半圓，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，求弧BD，弧DE和弧AE的度數(shù).

由AB是圓的直徑聯(lián)想到圓周角定理及其推論，嘗試連結(jié)AD，BE，推得AD⊥BC，問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)問題，進(jìn)而求這些弧的度數(shù)，能靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想在提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力上至關(guān)重要.此例題涉及核心知識面廣，設(shè)計(jì)意圖直指數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力診斷，值得深入研究.命題組確定以此例題為素材通過放寬條件或增加動態(tài)元素來編制幾何探索問題.

3.成稿過程

(1)由靜化動提升推理能力需求

由靜化動，動中求定，經(jīng)歷從變化的動態(tài)幾何圖形中探尋等量關(guān)系有助于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，進(jìn)一步考查學(xué)生思維嚴(yán)密性，體現(xiàn)分類討論思想，這是思維層次的飛躍，無疑是邏輯推理能力再提升.以例1為基礎(chǔ)，改變設(shè)置條件讓其中某個(gè)直角三角形三邊確定，將另一個(gè)直角三角形的一個(gè)頂點(diǎn)改為在某條直線上的動點(diǎn)，隨著動點(diǎn)的運(yùn)動，相關(guān)的直角三角形會發(fā)生形變，帶動它的外接圓也隨之改變，這樣此圓與圖中某些線段的交點(diǎn)位置也會發(fā)生改變，根據(jù)這樣的命題思路將幾何問題與相對應(yīng)的幾何圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，形成初稿：

如圖3，在Rt△AEC中，AC⊥EC，EC=3，AC=4，點(diǎn)B是EC延長線上一點(diǎn)，以AB為直徑的⊙O交直線AE于點(diǎn)D，設(shè)BC=x.

①用含x的代數(shù)式表示AD的長；

②若△ABE是等腰三角形，求AD的長.

(2)添加元素適應(yīng)思維層次需求

命題組審查后認(rèn)為初稿雖能體現(xiàn)幾何探索題的基本要求，但作為試卷的最后一題的綜合題，設(shè)問要層層遞進(jìn)，難度成階梯上升，初稿的第①問還需要降低難度，使學(xué)生容易找到切入口.命題組通過討論確定在第①和第②問前再設(shè)計(jì)一個(gè)切入點(diǎn)低的問題，將原來的①和②改為②和③.完成新加入的第①問設(shè)計(jì)后，又感覺問題從整體上還存在一些問題：分類討論思想的考查過多，設(shè)問點(diǎn)牽扯線段AD過多顯得單一，圖形還不夠豐富飽滿，考查的核心知識有重復(fù)，不能夠全面考查學(xué)生的綜合能力，命題組決定做優(yōu)化處理.

在線段上增加一個(gè)動點(diǎn)，并引入垂直元素，讓設(shè)問點(diǎn)間有聯(lián)系且豐富多樣，增強(qiáng)問題的綜合性，考查的思想方法更加多樣，其中還將部分線段隱去，幾何圖形重新做了再調(diào)整，形成了第二稿：

如圖4，Rt△ABC，CA⊥BC，AC=4，在AB邊上取一點(diǎn)D，使AD=BC，作AD的垂直平分線，分別交AC，CB于點(diǎn)F，M，交以AB為直徑的⊙O于G，H，設(shè)BC=x.

①當(dāng)x=3時(shí)，求EH的長；

②若EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

③連結(jié)OF，CG.

(ⅰ)若△AOF為等腰三角形，求⊙O的面積；

(ⅱ)若0

設(shè)置AD=BC的條件，確定線段上的動點(diǎn)D受制于點(diǎn)B的運(yùn)動，由BC

(3)增減線段兼顧全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)美

從知識內(nèi)容上說，第二稿考查的知識內(nèi)容是豐富了一些，但對于一個(gè)綜合題而言只有三角形沒有四邊形問題，總感覺知識的覆蓋面不夠，從關(guān)聯(lián)性上看，第①問對于第②、第③問缺少關(guān)聯(lián).于是命題組建議利用圓的軸對稱性，連結(jié)HA、AG、GD、DH，獲得四邊形AGDH，可以考慮對四邊形AGDH設(shè)問，學(xué)生可以利用第①題的結(jié)論，根據(jù)幾何圖形的特征，尋得線段間的相互關(guān)系和等角間相互轉(zhuǎn)換，為第③問作好鋪墊.根據(jù)以上思路形成第三稿：

如圖5，Rt△ABC，CA⊥BC，AC=4，在AB邊上取一點(diǎn)D，使AD=BC，作AD的垂直平分線，分別交AC，CB于點(diǎn)F，M，交以AB為直徑的⊙O于G，H，設(shè)BC=x.

①求證：四邊形AGDH為菱形；

②若EF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

③連結(jié)OF，CG.

(ⅰ)若△AOF為等腰三角形，求⊙O的面積；

(ⅱ)若0

(4)問題設(shè)問指向明確突顯本質(zhì)

三、體會

基于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)需求合理設(shè)計(jì)問題突顯教育公平.根據(jù)雙向細(xì)目表初步確定考查的核心知識，還要考慮學(xué)生的基本能力和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升，力求知識與能力并重.編制的題目首先要考慮問題的科學(xué)性、適標(biāo)性、有效性和難易性，還要讓編制問題應(yīng)具有解法多樣性.成題后作為編題者自己要認(rèn)真從各個(gè)角度思考，探尋方法的多樣性，探尋方法還不局限于學(xué)生現(xiàn)有知識體系，應(yīng)該要包括學(xué)生后續(xù)要學(xué)的內(nèi)容和思想，甚至那些對初中生不作要求的研究方法，如前述第(3)問中求CG的長可以用不同方法構(gòu)造直角三角形求解，還有可以運(yùn)用余弦定理或托勒密定理求解.比較各種方法，要充分考慮問題設(shè)計(jì)不能出現(xiàn)對已學(xué)過高中內(nèi)容或參加過競賽拓展學(xué)習(xí)的學(xué)生有明顯優(yōu)勢，問題設(shè)計(jì)考慮要基于初中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思想的需求，在試卷的命題設(shè)計(jì)上體現(xiàn)教育公平.如若出現(xiàn)上述不符合命題初心的問題要考慮改變題目的條件與設(shè)問方式，使初中生能夠用他們所學(xué)的知識解決，著重滿足學(xué)生需求的思維.