廣東省佛山市羅定邦中學(xué)

1 原題再現(xiàn)及探究的緣起

題目(2009年高考湖北卷理科第20題)過拋物線y2=2px(p >0)的對稱軸上一點(diǎn)A(a,0)(a >0)的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),自M,N向直線l:x=-a作垂線,垂足分別為M1,N1.

(1)略;(2)記ΔAMM1,ΔAM1N1,ΔANN1的面積分別為S1,S2,S3,是否存在λ,使得對任意的a >0,都有S22=λS1S3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

在文[1]中,鄒生書老師對上述題目進(jìn)行了深入探究.鄒老師先利用特殊位置,發(fā)現(xiàn)定值,接下來將本題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)背景推廣至橢圓及雙曲線上,并獲得了如下的漂亮結(jié)論:

定理過圓錐曲線焦點(diǎn)所在的對稱軸上任一類焦點(diǎn)A的直線與曲線交于M,N兩點(diǎn),自M,N向與點(diǎn)A對應(yīng)的類準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為M1,N1,記ΔAMM1,ΔAM1N1,ΔANN1的面積分別為S1,S2,S3,則恒有S22=4S1S3成立[1].

筆者研讀此文深受啟發(fā),但也提出了如下幾個(gè)疑問:

(1)在文[1]中,利用點(diǎn)作為基本量進(jìn)行求解,能否直接以弦長做為基本量求解呢?

(2)對于橢圓及雙曲線而言,不含焦點(diǎn)的對稱軸上的“類焦點(diǎn)”與“類準(zhǔn)線”是否具有類似的性質(zhì)呢?

(3)通過文[2],我們可知,文[1]中涉及的“類焦點(diǎn)”與“類準(zhǔn)線”的實(shí)質(zhì)是圓錐曲線的“極點(diǎn)與極線”.除了這類特殊位置外,一般的“極點(diǎn)與極線”還有類似的性質(zhì)嗎?

接下來,本文將逐步解決這些問題.

2 新的解題視角

2.1 極坐標(biāo)與參數(shù)方程視角

為了說明該方法,本文先將點(diǎn)A及直線l特殊化.以上面的高考題為例,將點(diǎn)A特殊化為為焦點(diǎn)直線l特殊化為準(zhǔn)線

文獻(xiàn)[3]考慮了如下的解法.如圖1,以焦點(diǎn)A?為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.拋物線對應(yīng)的極坐標(biāo)方程為:對ΔAMM1而言,對ΔANN1而言,則有:對ΔAM1N1而言,則有觀察上式即可得:成立.

圖1

圖2

對于一般情況,因?yàn)闆]有相應(yīng)的幾何意義求得極坐標(biāo)方程.接下來,本文運(yùn)用直線的參數(shù)方程求解.

如圖2,設(shè)直線MN的參數(shù)方程為:(θ為參數(shù)).與拋物線聯(lián)立可得:sin2θt2-2pcosθt-2pa=0.利用韋達(dá)定理可得:

(注意t1>0,t2<0.)

對ΔAMM1而言,對ΔANN1而言,則有:

帶入韋達(dá)定理得:

對ΔAM1N1而言,

則有

觀察上式即可得:S22=4S1S3成立.

由此可知對一般的“類焦點(diǎn)”與“類準(zhǔn)線”,結(jié)論也成立.

總結(jié)上面的解法可知,當(dāng)點(diǎn)A為焦點(diǎn)時(shí),本文提供的解法運(yùn)算量較小,對于拋物線而言,參數(shù)方程對應(yīng)的計(jì)算量也較小,當(dāng)拓廣至橢圓、雙曲線時(shí),運(yùn)算較為繁雜,并不適合用該解法進(jìn)行探究,所以本文接下來從幾何的角度繼續(xù)進(jìn)行探究.

2.2 極點(diǎn)與極線視角

在文[2]中,筆者介紹了“極點(diǎn)”與“極線”的定義.類比至該題可知,本文的“類焦點(diǎn)”與“類準(zhǔn)線”即是一對極點(diǎn)與極線.

極點(diǎn)極線的幾何定義[3]:如圖3,P是不在圓錐曲線上的點(diǎn),過點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于N,連接EG,FH交于M,則直線MN為點(diǎn)P對應(yīng)的極線.

圖3

定理1[4]如圖4,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ的極線為l,過點(diǎn)P任作一割線交Γ 于A,B,交l于Q,則

極點(diǎn)極線的代數(shù)定義[2]:已知圓錐曲線Γ:Ax2+Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,則稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:D(x0+x)+E(y0+y)+F=0 是圓錐曲線Γ的一對極點(diǎn)和極線.其變換原則如下:在圓錐曲線中,以x0x替換x2,以替換xy,以替換x,(另一變量y也是如此.)

圖4

注明極點(diǎn)極線的兩種定義方式的本質(zhì)是相同的,對于本文研究的問題而言,利用代數(shù)定義進(jìn)行判斷,借助幾何定義進(jìn)行證明.

圖5

根據(jù)上面的定義,點(diǎn)A(a,0)(a >0)與直線l:x=-a是關(guān)于拋物線的一組極點(diǎn)與極線,接下來,本文僅討論直線MN斜率存在時(shí)的情況(當(dāng)斜率不存在時(shí),對應(yīng)的面積比顯然成立).如圖5,延長MN與l交于點(diǎn)E,根據(jù)定理1,

易知△ENN1∽△EMM1,所以

令所以即有S3=t2S1,則有

延長N1A與M1M的延長線交于點(diǎn)F,易得ΔANN1∽ΔAMF,所以所以MF=MM1,即有SΔAM1F=2S1,

3 結(jié)論拓展

分析上面的兩個(gè)新的解題視角,我們可將相應(yīng)的性質(zhì)推廣至一般的圓錐曲線上.利用極坐標(biāo)與參數(shù)方程的視角解決一般性問題時(shí),涉及到參數(shù)多,運(yùn)算量大.接下來,本文僅通過極點(diǎn)極線的視角求解.

上面的解答本身就具有一定的一般性,本文以橢圓為例,再展示一下,當(dāng)極點(diǎn)在曲線“外部”時(shí)的情況.

如圖6:設(shè)PM與l交于點(diǎn)E,利用定理1 可得易得:ΔENN1∽ΔEMM1,所以,

圖6

令所以即有S3=t2S1,則有

延長AN1與M1M的延長線交于點(diǎn)F,易得ΔANN1∽ΔAMF,所以所以MF=MM1,即有SΔAM1F=2S1,所以與上式對比即可得:成立.

由此我們可以將文[1]中的結(jié)論推廣如下:

定理2對于圓錐曲線C任意一組極點(diǎn)A/∈C和極線l,過點(diǎn)A的直線與曲線C交于M,N兩點(diǎn),自M,N向l作垂線,垂足分別為M1,N1,記ΔAMM1,ΔAM1N1,ΔANN1的面積分別為S1,S2,S3,則恒有=4S1S3成立.

4 練習(xí)

(1)已知圓C:x2+y2=9,過點(diǎn)A(1,2)作直線與圓C交于點(diǎn)M,N,自M,N向直線l:x+2y=9 作垂線,垂足分別為M1,N1.記ΔAMM1,ΔAM1N1,ΔANN1的面積分別為S1,S2,S3,是否存在λ,使得對任意的a >0,都有=λS1S3成立.若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

答案存在,λ=4.提示:利用代數(shù)定義可知點(diǎn)A與l是圓C的一組極點(diǎn)與極線,根據(jù)上面的定理2,即可得答案.