彭 杰 ，楊小光 ，尚守鋒

（1.電子信息測試技術(shù)安徽省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 蚌埠 233010；2.中國電子科技集團(tuán)公司第四十一研究所，安徽 蚌埠 233010）

1 引言

微位移技術(shù)，作為精密機(jī)械與儀器的關(guān)鍵技術(shù)之一，近年來隨著微電子技術(shù)、宇航、生物工程等學(xué)科的發(fā)展而迅速發(fā)展起來。柔性機(jī)構(gòu)是實(shí)現(xiàn)微位移技術(shù)的關(guān)鍵機(jī)構(gòu)，由于其體積小、無間隙、無機(jī)械摩擦、運(yùn)動(dòng)平滑、運(yùn)動(dòng)靈敏度高、精度高，被廣泛應(yīng)用于微動(dòng)機(jī)器人、陀螺儀、加速度計(jì)、精密天平等儀器設(shè)備中。

柔性機(jī)構(gòu)按其結(jié)構(gòu)形式可分為柔性板機(jī)構(gòu)和柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)。柔性板是一種厚度均勻、具有一定變形能力的板類構(gòu)件，而柔性鉸鏈?zhǔn)窃诰哂幸欢ê穸瘸叽绲娜嵝园迳霞庸こ鎏囟ㄐ螤钋锌诘娜嵝詷?gòu)件[1]。文獻(xiàn)[2-4]對(duì)各種形狀柔性鉸鏈的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度進(jìn)行了計(jì)算與分析，但缺乏相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。文獻(xiàn)[5]根據(jù)直梁理論推導(dǎo)出了柔性曲梁方程，但是忽略了翹曲的影響。文獻(xiàn)[6]采用偽剛體法[7]對(duì)新型曲線柔性板進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，得出了柔性板受純扭載荷時(shí)的變形，與有限元分析結(jié)果十分接近。文獻(xiàn)[8]對(duì)柔性薄板構(gòu)件的大位移理論進(jìn)行了分析，推導(dǎo)出了翹曲位移的近似表達(dá)式。文獻(xiàn)[9]對(duì)由柔性板組成的雙平行四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了仿真分析，得出了輸出位移，但缺乏實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；文獻(xiàn)[1]利用半梁模型法、偽剛體模型法和有限元法對(duì)柔性板機(jī)構(gòu)的最大位移進(jìn)行了分析，但是沒有相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)理論和仿真結(jié)果進(jìn)行支撐；同時(shí)這里的模型并沒有考慮柔性板的截面突變情況。雖然有眾多的方法可以分析柔性板的性能，但由于假設(shè)條件不同、數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)方法不同，導(dǎo)致到目前為止還沒有一種模型可以作為基準(zhǔn)[10]。

相比于柔性鉸鏈機(jī)構(gòu)，尺寸相當(dāng)?shù)娜嵝园鍣C(jī)構(gòu)可以獲得更大的運(yùn)動(dòng)范圍[11]。為了獲得更大的運(yùn)動(dòng)范圍，以簡單實(shí)用的由變截面柔性板組成的柔性板機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，對(duì)其輸入輸出關(guān)系進(jìn)行了理論計(jì)算，得出了一定受力條件下柔性板機(jī)構(gòu)的輸出位移。采用有限元仿真分析獲得了柔性板機(jī)構(gòu)的輸出位移，并用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論計(jì)算的可行性。同時(shí)也分析了柔性板機(jī)構(gòu)各關(guān)鍵參數(shù)對(duì)其輸出位移的影響，為后續(xù)柔性板機(jī)構(gòu)關(guān)鍵參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了指導(dǎo)。

2 理論計(jì)算

柔性板機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖，如圖1所示。參數(shù)為：最小厚度t，切割半徑R，曲柄長度L，彈性模量E，寬度b。在力F的作用下，柔性板機(jī)構(gòu)會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的位移。

圖1 柔性板機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagrammatic Sketch of Flexure Plate Mechanism

由圖可知，柔性板機(jī)構(gòu)的上部相當(dāng)于剛體，起導(dǎo)向作用。左右兩個(gè)柔性板會(huì)產(chǎn)生相同的變形，因此受力相同，故左右兩個(gè)柔性板各受到F/2的力。

只取柔性板機(jī)構(gòu)的一半進(jìn)行分析，以右半部的柔性板進(jìn)行分析。考慮到上下對(duì)稱性，只取柔性板的一半分析，分析示意圖，如圖2所示。

圖2 柔性板分析示意圖Fig.2 Analysis Sketch of Flexure Plate

該柔性板在F/2力的作用下，B截面會(huì)在力的方向上產(chǎn)生一定的位移。由于結(jié)構(gòu)的上下對(duì)稱性，因此柔性板機(jī)構(gòu)上部的剛體產(chǎn)生的位移為。

考慮到OB段是變截面，現(xiàn)將OB段分為OA段和AB段，分別計(jì)算它們引起的截面B的位移，最后進(jìn)行疊加即可求出截面B的總位移。

（1）對(duì)于OA段：

如圖2所示，在任意距離O截面x（0≤x≤R）的截面內(nèi)，受到的彎矩為：

式中：I（x）—截面的慣性矩。

該截面處的位移為：

將直角坐標(biāo)公式轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)公式：令：

將式（5）、式（6）代入式（4）得：

則截面A處的轉(zhuǎn)角為：

直接積分無法得出該位移，可采用龍貝格算法（Romberg）對(duì)其進(jìn)行數(shù)值積分求出。

由OA段引起的截面B的位移為：

（2）對(duì)于AB段：

這一段相當(dāng)于一端固定、另一端自由的懸臂梁，可采用材料力學(xué)公式直接計(jì)算出AB段引起的截面B的位移：

（3）對(duì)于OB段：

因此，截面B的總位移為：

柔性板機(jī)構(gòu)采用40Cr材料，其彈性模量E=200GPa，其他相關(guān)參數(shù)為：最小厚度t=0.5mm，切割半徑R=1mm，曲柄長度L=20mm，寬度b=6mm，力F=0.7071N。根據(jù)參數(shù)，代入上述理論，計(jì)算出柔性板機(jī)構(gòu)的總位移為21.318μm。

3 有限元仿真分析

根據(jù)上述參數(shù)，在Pro/E三維繪圖軟件中對(duì)柔性板機(jī)構(gòu)進(jìn)行三維建模，保存為stp格式后，導(dǎo)入ANSYSWorkbench軟件中。網(wǎng)格劃分時(shí)，網(wǎng)格單元采用高精度的六面體結(jié)構(gòu)單元，先對(duì)源面進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后通過掃掠（Sweep）的方式對(duì)整個(gè)三維模型劃分網(wǎng)格。對(duì)模型的底部施加固定約束，對(duì)模型的右上平面施加0.7071N的力。模型加載后，求解得出柔性板機(jī)構(gòu)的位移圖，如圖3所示。從圖中可以看出，（1）柔性板機(jī)構(gòu)的輸出位移為21.023μm，理論計(jì)算值為21.318μm，理論值與仿真值誤差為1.4%；（2）柔性板機(jī)構(gòu)的變形呈現(xiàn)“S”狀，其位移從底部到上部逐漸增大。

圖3 柔性板機(jī)構(gòu)的位移圖Fig.3 Displace of Flexure Plate Mechanism

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)柔性板機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)，制作出的柔性板機(jī)構(gòu)實(shí)物，如圖4所示。

圖4 柔性板機(jī)構(gòu)圖Fig.4 Sketch of Flexure Plate Mechanism

將該柔性板機(jī)構(gòu)裝入光纖熔接機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)原理為：柔性板機(jī)構(gòu)通過精密V槽座及精密V槽帶動(dòng)光纖運(yùn)動(dòng)，通過光纖在屏幕上的移動(dòng)量計(jì)算出光纖的實(shí)際位移，進(jìn)而得出柔性板機(jī)構(gòu)的輸出位移，如圖5所示。

光纖實(shí)際的運(yùn)動(dòng)位移（單位：μm）可根據(jù)下式計(jì)算：

式中：d1—光纖的實(shí)際直徑，d1=125μm；

d2—光纖在屏幕上的直徑，d2=38.9mm；

D—光纖在屏幕上的移動(dòng)量，通過測量得出，mm。

圖5 光纖位置示意圖Fig.5 Diagrammatic Sketch of Fiber Position

采用測力計(jì)對(duì)柔性板機(jī)構(gòu)的受力面垂直施加1N的力，由于力的方向與柔性板機(jī)構(gòu)傾斜方向的夾角為45°，因此該1N的力中只有0.7071N作用于柔性板機(jī)構(gòu)上，這個(gè)力與理論計(jì)算施加力、有限元仿真加載力是一致的。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 光纖在屏幕上的移動(dòng)量（mm）Tab.1 Moving Displacement of Fiber on Screen（mm）

根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將40個(gè)數(shù)據(jù)求平均值得，D=7.0725mm。代入上述公式得，光纖實(shí)際運(yùn)動(dòng)的位移S=22.727μm，因此柔性板機(jī)構(gòu)的輸出位移為22.727μm。

理論計(jì)算值為21.318μm，與實(shí)驗(yàn)值22.727μm的誤差為7.5%，誤差很小，因此認(rèn)為柔性板機(jī)構(gòu)輸出位移的理論計(jì)算方法是行之有效的。

5 各關(guān)鍵參數(shù)對(duì)其輸出位移的影響

對(duì)柔性板機(jī)構(gòu)輸出位移的理論計(jì)算方法進(jìn)行分析，可以看出在一定外力F作用下影響其輸出位移的主要參數(shù)為：切割半徑R，最小厚度t，曲柄長度L，寬度b以及彈性模量E。由于材料采用40Cr，彈性模量E為定值，故只討論其他4種參數(shù)對(duì)柔性板機(jī)構(gòu)輸出位移的影響。

柔性板機(jī)構(gòu)各關(guān)鍵參數(shù)對(duì)其輸出位移的影響，如圖6所示?？梢钥闯鲚敵鑫灰齐S著切割半徑、曲柄長度的增加而增加，隨著最小厚度、寬度的增加而減小，并且最小厚度、曲柄長度對(duì)柔性板機(jī)構(gòu)輸出位移的影響要明顯大于切割半徑和寬度的影響。

圖6 柔性板機(jī)構(gòu)各關(guān)鍵參數(shù)對(duì)其輸出位移的影響Fig.6 Effect of Key Parameters on Output Displacement of Flexure Plate Mechanism

6 結(jié)論

（1）柔性板機(jī)構(gòu)受力作用后，其變形呈現(xiàn)“S”狀，其位移從底部到上部逐漸增大。（2）理論計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果誤差為1.4%，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差為7.5%，誤差很小，因此認(rèn)為柔性板機(jī)構(gòu)輸出位移的理論計(jì)算方法是有效的。（3）柔性板機(jī)構(gòu)的輸出位移隨切割半徑、曲柄長度的增加而增加，隨最小厚度、寬度的增加而減小，并且最小厚度、曲柄長度對(duì)柔性板機(jī)構(gòu)輸出位移的影響要明顯大于切割半徑和寬度的影響。（4）理論計(jì)算方法為后續(xù)柔性板機(jī)構(gòu)相關(guān)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了指導(dǎo)，為研究運(yùn)動(dòng)范圍更大的柔性板機(jī)構(gòu)提供了技術(shù)支撐。（5）理論計(jì)算和仿真分析并未考慮柔性板機(jī)構(gòu)的拉伸變形和彎曲變形，而實(shí)驗(yàn)中施加的力會(huì)對(duì)柔性板機(jī)構(gòu)造成拉伸和彎曲變形，因此會(huì)造成誤差；同時(shí)，實(shí)驗(yàn)中的測量誤差對(duì)最后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也會(huì)造成誤差。