呂勝利 李靜鉑

【摘要】 復合函數(shù)在一點的極限與連續(xù)性與構成復合函數(shù)的內層函數(shù)及外層函數(shù)在同一點的屬性有直接的關系，本文舉例分析由兩個函數(shù)所構成的復合函數(shù)在一點的極限與連續(xù)性與這兩個函數(shù)各自在同一點的極限與連續(xù)性的關系.

【關鍵詞】 復合函數(shù);函數(shù)的連續(xù)性;函數(shù)在一點的極限

1 引言

函數(shù)極限與連續(xù)性是高等數(shù)學的基本概念，函數(shù)的極限運算也是中學數(shù)學要求掌握的一種基本的運算能力，而連續(xù)性的意義對于中學生也是直觀顯見的.本文從高等數(shù)學的基本理論出發(fā)，分析復合函數(shù)在一點的極限與連續(xù)性的不同情況.根據(jù)函數(shù)在一點連續(xù)的定義，一個函數(shù)在一點有極限是函數(shù)在該點連續(xù)的必要但非充分條件，而如果一個函數(shù)在一點連續(xù)，則這個函數(shù)在這一點的極限等于該點的函數(shù)值.對于復合函數(shù)，根據(jù)內層函數(shù)與外層函數(shù)連續(xù)性的不同情況，復合函數(shù)在一點是否有極限、極限的計算以及是否連續(xù)也有各種不同的情況.本文對這些情況給出具體的舉例分析，希望對中學數(shù)學及大學數(shù)學的教學提供一些直觀的素材.下面給出函數(shù)在一點的極限及函數(shù)的連續(xù)性的基本概念與相關定理.

2 基本概念與定理

4 結語

根據(jù)以上分析可以看到，復合函數(shù)在一點的極限值與內層函數(shù)及外層函數(shù)的連續(xù)性有直接關系.我們可以給出以下結論：對于復合函數(shù)y=f[g（x）]，有U°（x0）Df。g， 且g（x0）=u0，若復合函數(shù)y=f[g（x）]在x=x0處不連續(xù)，則函數(shù)u=g（x）在x=x0處不連續(xù)或函數(shù)y=f（u）在u=u0處不連續(xù).這一結論可以看作定理3的逆否命題.另外，從不同情況的分析可以看到，若函數(shù)在一點連續(xù)，在求函數(shù)在該點的極限時，極限符號與函數(shù)符號可以交換.

【參考文獻】

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