陳榮三 馬晴霞

【摘要】線性代數(shù)是我國高等院校理工類和經(jīng)管類各專業(yè)的一門必修的公共基礎(chǔ)課程.在“金課”背景下，筆者根據(jù)金課標(biāo)準(zhǔn)和金課建設(shè)目標(biāo)，結(jié)合線性代數(shù)的多年教學(xué)實(shí)踐，對(duì)線性代數(shù)在打造金課過程中的探索和實(shí)踐進(jìn)行了總結(jié)，旨在探索創(chuàng)新線性代數(shù)的教學(xué)模式，進(jìn)一步提高線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量，為新工科背景下的高質(zhì)量人才的培養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù); 金課; 教學(xué)研究

2008年6月，教育部陳寶生部長在“新時(shí)代全國高等學(xué)校本科教育工作會(huì)”上首次提出了“金課”這一重要概念，后來“金課”被成功寫入教育部文件.2018年11月，教育部高等教育司司長吳巖在第十一屆“中國大學(xué)教學(xué)論壇”上做了 “建設(shè)中國金課”的報(bào)告，在報(bào)告中提出了金課的標(biāo)準(zhǔn).金課標(biāo)準(zhǔn)為高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度，簡稱“兩性一度”.所謂高階性就是將知識(shí)、能力和素質(zhì)三者有機(jī)地結(jié)合起來，旨在培養(yǎng)學(xué)生處理復(fù)雜問題的高級(jí)思維能力和綜合能力.相對(duì)于“金課”而言， “水課”具有低階性、陳舊性和不用心的特點(diǎn).吳巖司長在報(bào)告中明確提出了建設(shè)五大“金課”的目標(biāo)，即線下“金課”、線上“金課”、線上線下混合式“金課”、虛擬仿真“金課”和社會(huì)實(shí)踐“金課”.報(bào)告中吳巖司長強(qiáng)調(diào)要調(diào)動(dòng)社會(huì)各方面的積極性，為中國“金課”的建設(shè)提供政策保障、機(jī)制保障、組織保障、經(jīng)費(fèi)保障和評(píng)價(jià)保障.

線性代數(shù)是我國高等院校理工類和經(jīng)管類各專業(yè)的一門必修的公共基礎(chǔ)課程，線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果直接與工科院校的人才培養(yǎng)息息相關(guān).線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容主要包括行列式、矩陣、線性方程組、向量組的線性相關(guān)性、相似矩陣及二次型和線性空間與線性變換.線性代數(shù)的教學(xué)目標(biāo)是通過該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本知識(shí)和基本理論，掌握必要的數(shù)學(xué)運(yùn)算技能和利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行線性代數(shù)計(jì)算的能力.這些基本知識(shí)、理論以及計(jì)算能力對(duì)于學(xué)生日后的科學(xué)研究和實(shí)際工作尤為重要.筆者根據(jù)金課標(biāo)準(zhǔn)和金課建設(shè)目標(biāo)，結(jié)合線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，對(duì)打造線性代數(shù)金課進(jìn)行了探索和實(shí)踐.

一、線上教學(xué)和線下教學(xué)兩種模式

根據(jù)不同專業(yè)實(shí)行分層次教學(xué)，將線性代數(shù)分成A，B，C三個(gè)層次，分別對(duì)應(yīng)56學(xué)時(shí)、40學(xué)時(shí)和32學(xué)時(shí).線性代數(shù)A的教學(xué)目標(biāo)為：通過該課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本知識(shí)和基本理論，掌握必要的數(shù)學(xué)運(yùn)算技能和利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行線性代數(shù)計(jì)算的能力.同時(shí)培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析和解決問題的能力，為學(xué)生后續(xù)其他課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的知識(shí)面，為學(xué)生以后的科學(xué)研究和工作提供一些基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算方法.線性代數(shù)B和C的教學(xué)目標(biāo)為：線性代數(shù)是工科及相關(guān)學(xué)科學(xué)生的一門必修基礎(chǔ)課，在工程技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，也是后續(xù)課程必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).教師不僅需要傳授線性代數(shù)的基本知識(shí)，還需要在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力，比如抽象概括能力、邏輯推理能力、分析問題和解決問題的能力、自主學(xué)習(xí)能力以及創(chuàng)新能力.線性代數(shù)B和C講授內(nèi)容只相差一個(gè)二次型，線性代數(shù)B需要講授二次型，而線性代數(shù)C 不需要講授二次型.線性代數(shù)A采用中國地質(zhì)大學(xué)出版社出版的教材，線性代數(shù)B和C采用同濟(jì)版教材.

從時(shí)間上來分，授課課程可以分成授課前、授課中和授課后;從空間上來分，授課課程可以分成線上授課、線下授課;從學(xué)習(xí)的角度來分，授課課程可以分成授課前預(yù)習(xí)、授課過程中的學(xué)習(xí)和授課后的復(fù)習(xí).打造線性代數(shù)金課必須將線上和線下有機(jī)地結(jié)合起來.線上以學(xué)生自主學(xué)習(xí)為主，難度較大的內(nèi)容以團(tuán)隊(duì)集體協(xié)作學(xué)習(xí)為輔.線下課堂教學(xué)，目的在于激發(fā)學(xué)生的潛力.愛課程“中國大學(xué)MOOC”、超星、智慧樹等網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)是目前比較成熟的線上教學(xué)平臺(tái)，操作容易，適合各個(gè)年齡段的老師.每次上課前，在網(wǎng)上發(fā)布本次課程的學(xué)習(xí)資料，要求學(xué)生對(duì)這些教學(xué)資源進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，使學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)掌握本次課程的基本內(nèi)容，為線下課堂教學(xué)做好充分準(zhǔn)備.教師根據(jù)線上網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況制定線下課堂的教學(xué)內(nèi)容，上課前收集學(xué)生反饋的信息，匯總凝練出學(xué)生的難點(diǎn)，從而精心準(zhǔn)備教學(xué)內(nèi)容.線下課堂教學(xué)分成兩部分：第一部分是疑難解析，針對(duì)課前線上預(yù)習(xí)的難點(diǎn)，逐個(gè)講解，和學(xué)生互動(dòng)，做到基本知識(shí)無死角;第二部分采用研討式教學(xué)法，首先將學(xué)生分成若干個(gè)討論小組，教師事先設(shè)置好若干個(gè)引導(dǎo)性問題，按照課堂學(xué)習(xí)進(jìn)度逐步向?qū)W生提出問題，學(xué)生通過小組內(nèi)的討論和小組之間的討論來鞏固線上學(xué)習(xí)的知識(shí).課堂以啟發(fā)和引導(dǎo)為主，這樣不僅可以增長學(xué)生的知識(shí)、開闊學(xué)生的視野，提高學(xué)生的綜合能力，還有利于建立密切的師生關(guān)系，促進(jìn)教學(xué)相長.研討式教學(xué)法重在教師的“導(dǎo)”，需要教師設(shè)置的問題有一定現(xiàn)實(shí)價(jià)值，貼近學(xué)生的生活，能激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，這就要求教師對(duì)所講授的知識(shí)有全面和深刻的理解，對(duì)學(xué)生所具備的基本知識(shí)和能力有所了解，而且老師必須熟悉現(xiàn)代化的教學(xué)工具和教學(xué)手段.研討式教學(xué)法同時(shí)注重學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，學(xué)生要從“要我學(xué)”轉(zhuǎn)變成“我要學(xué)”，課前必須做好充分的準(zhǔn)備，包括查資料、師生間和同學(xué)間的交流學(xué)習(xí).教師收集的資源需要全面和充分，這樣有利于師生雙方節(jié)約時(shí)間.將以前教師單方面的知識(shí)傳授轉(zhuǎn)變成師生互動(dòng)討論學(xué)習(xí)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生敢于表達(dá)自己的看法，鼓勵(lì)學(xué)生都參與到研討中去，使得研討式教學(xué)既有廣度又有深度.下課后，不同的學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度是不一樣的，需要通過課后線上教學(xué)進(jìn)一步加強(qiáng)和鞏固.教師需要對(duì)課堂研討式教學(xué)的內(nèi)容做詳細(xì)的總結(jié)，對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)做進(jìn)一步講解，必要時(shí)做成視頻，方便學(xué)生回顧復(fù)習(xí)，同時(shí)教師需要布置作業(yè)和練習(xí)，讓學(xué)生熟練掌握所學(xué)知識(shí)點(diǎn).超星學(xué)習(xí)通、QQ和微信是學(xué)生和教師常用的溝通工具，對(duì)于學(xué)生反映的問題，教師可以及時(shí)答疑，真正實(shí)現(xiàn)線下線上有機(jī)結(jié)合.

二、教學(xué)內(nèi)容和專業(yè)的融合

根據(jù)學(xué)生專業(yè)的不同，制定和專業(yè)相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容，采用案例教學(xué)法，每章都設(shè)置實(shí)際案例，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容和專業(yè)的融合.案例教學(xué)法起源于19世紀(jì)20年代，由美國哈佛法學(xué)院前院長克里斯托弗·哥倫布·朗代爾提出.案例教學(xué)法于20世紀(jì)80年代引入我國.案例教學(xué)法就是以案例為基礎(chǔ)，利用一些典型的案例引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入特定事件的場景并學(xué)會(huì)分析問題，旨在發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律并將其反饋給實(shí)踐，最終達(dá)到理論指導(dǎo)實(shí)踐的教學(xué)目的.下面筆者通過幾個(gè)案例來說明線性代數(shù)和其他專業(yè)的融合.

1.線性代數(shù)和計(jì)算數(shù)學(xué)的融合.

對(duì)于一個(gè)偏微分方程的定解問題，如果需要求數(shù)值解，不管是用有限體積法、有限差分法還是有限元法，最后都?xì)w結(jié)成一個(gè)線性方程組的求解問題.我們看下面的物理問題：長度為 1，側(cè)表面絕熱的均勻細(xì)桿，初始溫度已知，細(xì)桿兩端的溫度已知，求桿內(nèi)部的溫度分布函數(shù)u（x，t）.該物理問題可以歸結(jié)成如下一維熱傳導(dǎo)問題的定解問題：

用有限差分法來求解該問題，h表示空間步長，τ表示時(shí)間步長，（xi，tk）表示網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，用uki表示溫度分布函數(shù)u（x，t）在點(diǎn)（xi，tk）處的網(wǎng)格函數(shù)，相當(dāng)于u（x，t）在該點(diǎn)的近似值.關(guān)于時(shí)間的一階偏導(dǎo)數(shù)用中心差商近似，關(guān)于空間的二階偏導(dǎo)數(shù)用中心差商近似，可以得到如下Crank-Nicolson差分格式：

2.線性代數(shù)和管理會(huì)計(jì)專業(yè)的融合

化妝品配制問題：某化妝品制作工廠用原材料A，B，C，D按照不同的配比制作成五種適合不同年齡人群使用的化妝品，編號(hào)為 1—5，具體原料配比如下：

1）問題分析

我們首先分析1號(hào)化妝品的配制問題，2號(hào)化妝品進(jìn)行類似討論.要配制出1號(hào)化妝品，只需要討論3，4，5號(hào)化妝品能否按照某種比例混合后，滿足1號(hào)化妝品對(duì)四種原料的配比要求.在表中求出了五種化妝品的列和（即單位總數(shù)）， 我們假設(shè)要配制133個(gè)單位的1號(hào)化妝品，能否由 3，4，5號(hào)化妝品混合而成？

2）模型假設(shè)

假設(shè)原材料是可分的.

3）符號(hào)說明

我們規(guī)定五種化妝品在表中顯示的原料配比的列和（單位總量）為一份產(chǎn)品， 設(shè)配制1份133個(gè)單位的1號(hào)化妝品需要3，4，5號(hào)化妝品x1份、x2份、x3份.

從而將原材料配制的問題轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組是否有解問題.

三、結(jié)論

線性代數(shù)是我國高等院校理工類和經(jīng)管類各專業(yè)的一門必修的公共基礎(chǔ)課程，在“金課”背景下，打造線性代數(shù)金課的探索與實(shí)踐任重而道遠(yuǎn).本文對(duì)線上教學(xué)和線下教學(xué)兩種模式以及教學(xué)內(nèi)容和專業(yè)的融合進(jìn)行了總結(jié)，旨在探索創(chuàng)新線性代數(shù)的教學(xué)模式，進(jìn)一步提高線性代數(shù)的教學(xué)質(zhì)量，為新工科背景下的高質(zhì)量人才的培養(yǎng)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

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