李悅 沈潔

摘要：

盡管研究者對(duì)于教師知識(shí)分類的研究不盡相同，但“學(xué)科內(nèi)容知識(shí)”（SMK）和“教學(xué)內(nèi)容知識(shí)”（PCK）都是研究核心。在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，SMK和PCK的概念逐漸被精細(xì)化，美國(guó)密歇根大學(xué)的Ball教授及其研究團(tuán)隊(duì)提出的“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)”（簡(jiǎn)稱MKT理論）已成為研究數(shù)學(xué)教師知識(shí)的熱點(diǎn)問題。本文將該理論應(yīng)用于“函數(shù)的奇偶性”的教學(xué)實(shí)踐中，借助視頻分析法來分析一線教師在MKT各個(gè)子類上的表現(xiàn)，為實(shí)際教學(xué)提供新的研究視角，關(guān)注一線教師面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

關(guān)鍵詞：MKT理論;函數(shù)的奇偶性;學(xué)科內(nèi)容知識(shí);教學(xué)內(nèi)容知識(shí)

一、引言

教育的基本要素是教育者、受教育者、教育媒介，三者缺一不可。在學(xué)校教育中，教師是教育的主導(dǎo)者，是保證教育質(zhì)量的關(guān)鍵。優(yōu)秀的教師不僅需要具備深厚的學(xué)科知識(shí)，還需具有專業(yè)的教學(xué)知識(shí)。高質(zhì)量的學(xué)校教育，對(duì)教師的要求更嚴(yán)格，教師不僅要有專業(yè)的學(xué)科知識(shí)，還要又將學(xué)科知識(shí)落實(shí)到實(shí)處的能力。MKT理論將數(shù)學(xué)教師知識(shí)分為六類，分別是：數(shù)學(xué)水平內(nèi)容知識(shí)、一般內(nèi)容知識(shí)、專門內(nèi)容知識(shí)、內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)，內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)以及內(nèi)容與課程知識(shí)。本文以《函數(shù)的奇偶性》教學(xué)為例，以MKT框架為理論基礎(chǔ)，在理清知識(shí)內(nèi)涵和分類的基礎(chǔ)上探尋高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中涉及到的知識(shí)，并將本節(jié)課錄制成錄像，通過課堂教學(xué)錄像將教師與學(xué)生的每一句話轉(zhuǎn)化為課堂文字稿，對(duì)每個(gè)環(huán)節(jié)的細(xì)節(jié)進(jìn)行編碼分析，希望可以促進(jìn)數(shù)學(xué)教師對(duì)教學(xué)的分析、學(xué)生思維的分析以及反思教學(xué)等。

二、研究過程與方法

本文研究的對(duì)象是大連市某高中高一數(shù)學(xué)教師，以其所講授的《函數(shù)的奇偶性》為例。研究者在聽課之前分析該名教師的教案，之后下到課堂聽課，課后與該教師進(jìn)行訪談交流，對(duì)整節(jié)課進(jìn)行錄像并全部轉(zhuǎn)錄成文字，借助MKT理論框架分析教師的MKT情況。

該名教師授課流程如下：

1、 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：教師與學(xué)生共同回憶初中學(xué)習(xí)過的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱知識(shí)，探討在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的變化規(guī)律，從學(xué)生已有的知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)輕松愉快的探索情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2、 觀察歸納，形成概念：從熟悉的知識(shí)轉(zhuǎn)入對(duì)具體函數(shù)y=x＼+2，y=|x|的圖象及數(shù)量規(guī)律的研究，設(shè)計(jì)三個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生從感受圖象特征轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄繑?shù)量規(guī)律。教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生初步得出偶函數(shù)定義，教師進(jìn)一步完善定義，并強(qiáng)調(diào)判斷偶函數(shù)的前提是判斷函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

3、 類比推理，深化理解：類比偶函數(shù)定義，學(xué)生能順利得出奇函數(shù)的定義，此時(shí)教師提高要求讓學(xué)生盡可能用精確的數(shù)學(xué)語言敘述奇函數(shù)的定義，同時(shí)得出奇函數(shù)定義域的特點(diǎn)。

4、 強(qiáng)化定義，深化內(nèi)涵：根據(jù)定義判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，通過對(duì)課堂例題的練習(xí)與講解，師生共同探討得出解此類題的一般過程，使學(xué)生體會(huì)到函數(shù)奇偶性的數(shù)與形的聯(lián)系。

三、MKT各子類表現(xiàn)分析

1、 數(shù)學(xué)水平內(nèi)容知識(shí)（HCK）

HCK代表數(shù)學(xué)水平內(nèi)容知識(shí)，橫向來看，教師應(yīng)了解不同數(shù)學(xué)內(nèi)容在不同課程、不同方面之間的聯(lián)系[1]?？v向來看，教師應(yīng)知道同一知識(shí)在學(xué)生的不同學(xué)段的前后聯(lián)系。本節(jié)課教師從初中的軸對(duì)稱和中心對(duì)稱知識(shí)入手，通過學(xué)生熟知的函數(shù)，y=x＼+2，y=|x|，讓學(xué)生初步感受函數(shù)奇偶性在圖像上的反映。做到了知識(shí)間的承接，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)脈絡(luò)間的聯(lián)系，但缺乏對(duì)知識(shí)的橫向聯(lián)系。

2、 一般內(nèi)容知識(shí)（CCK）

CCK代表一般內(nèi)容知識(shí)，是指針對(duì)所有學(xué)生來說都必須掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，即“純”的數(shù)學(xué)知識(shí)，是跟教師的教學(xué)方法無關(guān)的知識(shí)本身[4]。具有良好的數(shù)學(xué)一般內(nèi)容知識(shí)的教師應(yīng)該充分理解奇、偶函數(shù)的概念及其相關(guān)性質(zhì)。本節(jié)課該名教師熟練掌握函數(shù)的奇偶性的概念，并可以快速的判斷出給定的函數(shù)的奇偶性。

3、 專門內(nèi)容知識(shí)（SCK）

SCK代表專門內(nèi)容知識(shí)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)必備的專業(yè)化、獨(dú)特的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，比教給學(xué)生的知識(shí)更豐富，更深刻[3]。對(duì)于一堂課而言，最重要的是教師要明確本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，并運(yùn)用專門內(nèi)容知識(shí)完成一堂課的教學(xué)目標(biāo)。

該名教師典型例題的選取具有自己的獨(dú)特理解，難度梯度依次遞增，每一道例題都會(huì)引出函數(shù)奇偶性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。在課堂上能夠分析學(xué)生做題錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，當(dāng)學(xué)生給出非常規(guī)的解答時(shí)能迅速做出判斷并給予點(diǎn)評(píng)。

4、 內(nèi)容與教學(xué)知識(shí)（KCT）

KCT是指綜合學(xué)科知識(shí)內(nèi)容和教學(xué)實(shí)踐兩方面的知識(shí)，既具有理論性又具有實(shí)踐性。

該名教師采用學(xué)案式教學(xué)，學(xué)案中的題目雖然全部選自新教材的內(nèi)容，但不拘泥于教材，新教材探索與發(fā)現(xiàn)中不以題目形式出現(xiàn)的思考反問部分，該教師都將其編成數(shù)學(xué)題，選題遍布整本教材包括課后習(xí)題，章末練習(xí)題，全書最后的復(fù)習(xí)題等。教師充分依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平及自己對(duì)教材的解讀對(duì)書上的內(nèi)容進(jìn)行改編，活躍的課堂充分體現(xiàn)了“以學(xué)生為主體”的授課理念，使學(xué)生成為課堂的主人，能夠讓學(xué)生更加深入地思考內(nèi)容，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)出該教師較高的教學(xué)知識(shí)水平。

5、 內(nèi)容與學(xué)生知識(shí)（KCS）

KCS指教師對(duì)學(xué)生在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)能力、思維方式和學(xué)習(xí)困難上的了解程度，對(duì)于學(xué)生的思維方式及錯(cuò)誤的知識(shí)有預(yù)見性，并能采取相應(yīng)的應(yīng)對(duì)措施[2]。

本節(jié)課該教師設(shè)定的教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的概念及其圖像特征，難點(diǎn)是對(duì)函數(shù)奇偶性的判斷。在課堂上教師通過探究式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)y=x＼+2，y=|x|圖像，得出偶函數(shù)的定義。學(xué)生對(duì)于函數(shù)奇偶性的理解與掌握較好，但在判斷函數(shù)奇偶性的時(shí)候，部分同學(xué)會(huì)遺忘判斷函數(shù)的奇偶性需要先判斷函數(shù)的定義域。在強(qiáng)化學(xué)習(xí)部分，教師引導(dǎo)學(xué)生探究函數(shù)奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系，得出如果y=f（x）是偶函數(shù)，那么其在

x>0與x<0時(shí)的單調(diào)性相反;如果y=f（x）是奇函數(shù)，那么其在x>0與x<0時(shí)的單調(diào)性相同。進(jìn)而得出利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小的相關(guān)題型。分析發(fā)現(xiàn)，該名教師無法完全預(yù)測(cè)學(xué)生的課堂表現(xiàn)狀況，但成功預(yù)測(cè)了學(xué)生的難點(diǎn)。

6、 內(nèi)容與課程的知識(shí)（KCC）

KCC是指教師能夠根據(jù)教科書的知識(shí)體系，了解知識(shí)來源。要求教師在理解新課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上深度挖掘教材、熟悉教材，摸清教材編寫者的意圖，同時(shí)也該了解本節(jié)內(nèi)容在教材中占據(jù)的地位及作用。具有良好內(nèi)容與課程知識(shí)的教師，對(duì)教學(xué)內(nèi)容了然于心，對(duì)教學(xué)過程有充分準(zhǔn)備。從課前知識(shí)的預(yù)設(shè)到課程的實(shí)施，再到課后的鞏固與練習(xí)，教師都應(yīng)保持清晰思路。針對(duì)本節(jié)課而言，教師應(yīng)該知道函數(shù)的奇偶性的教學(xué)安排在哪個(gè)學(xué)段，有關(guān)函數(shù)圖像的對(duì)稱性、初中階段學(xué)習(xí)的對(duì)稱關(guān)系在教材中是如編排的，該如何安排函數(shù)奇偶性的發(fā)生與發(fā)展。

本節(jié)課教師從學(xué)生熟知的函數(shù)圖像入手，引導(dǎo)學(xué)生從對(duì)稱的角度思考自變量互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的函數(shù)值的關(guān)系。教師與學(xué)生共同回憶軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的特征，以及給定點(diǎn)坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系不同象限中的數(shù)量關(guān)系，這樣做既有助于理解新知識(shí)，又促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的直觀想象。該教師能夠引導(dǎo)學(xué)生以核心知識(shí)為重點(diǎn)，建立知識(shí)的多元表征，建構(gòu)課程內(nèi)容間的聯(lián)系，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，由于對(duì)課堂探討實(shí)踐及課堂節(jié)奏把握不夠，出現(xiàn)拖堂的情況。從總體上來說，該教師的KCC的知識(shí)水平整體表現(xiàn)較好，但還有一定的提升空間。

四、結(jié)論

本研究利用MKT理論對(duì)高中一線數(shù)學(xué)教師的知識(shí)分析得出，該教師的CCK水平明顯高于HCK，SCK，KCS，KCC，KCT五類水平，教師沒有出現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)錯(cuò)誤，而本節(jié)課的KCS水平明顯低于其余五類的水平。當(dāng)然，決定一堂課的教學(xué)效果的因素不僅只有這些，教師本身的素質(zhì)、人格魅力也都是做好教學(xué)的必要條件，也是教師教學(xué)知識(shí)體系中的重要組成部分。MKT的框架可以用來指導(dǎo)教師上課，也可以用作評(píng)課的一種框架。將MKT理論與課堂教學(xué)緊密聯(lián)系起來，以MKT的視角對(duì)學(xué)科的教學(xué)進(jìn)行研究既具有理論意義，又具有實(shí)際意義。

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基金項(xiàng)目：沈潔 國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目，網(wǎng)絡(luò)通訊中的優(yōu)化模型與近似束方法，61877032.

（作者單位：遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029）