李繼偉 汪 城 羅 帥

(1.紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院, 浙江 紹興 312000;2.廣州城市職業(yè)學(xué)院, 廣東 廣州 510405)

0 引言

工程實(shí)踐中廣泛應(yīng)用變截面梁[1-2]，例如，大跨度預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)梁橋以及鋼構(gòu)橋等常用的橋梁結(jié)構(gòu)形式，為了使結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化更加合理，一般將支座附近的梁高加大，而跨中附近的梁高取得較小，從而形成變高度梁[3-5].這些變截面梁結(jié)構(gòu)在服役期間，由于諸如外物碰撞、疲勞積累和環(huán)境腐蝕等因素的影響，將不斷積累損傷[6-10].結(jié)構(gòu)某部分的損傷可能會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)整體迅速破壞，并由此造成嚴(yán)重后果.因而，對結(jié)構(gòu)損傷的早期預(yù)測顯得尤為重要.傳統(tǒng)的檢測損傷的方法是可視化或局部化的實(shí)驗(yàn)方法，如超聲或超聲波方法、磁場方法、雷達(dá)成像和渦流及溫度場等方法.但這些方法只能檢測結(jié)構(gòu)表面及附近的損傷，且工作量大、耗費(fèi)高[11-12]，導(dǎo)致基于結(jié)構(gòu)靜動力響應(yīng)的損傷識別方法迅速發(fā)展.

近幾十年來，在變截面梁損傷識別方法的研究方面，許多學(xué)者進(jìn)行了有益的工作，提出許多方法.馮侃[13]等提出基于振動的變剛度復(fù)雜梁結(jié)構(gòu)的損傷檢測方法.徐勇華[14]等提出基于撓度影響線的變截面梁損傷識別探究.周俐俐[15]等利用曲率模態(tài)和柔度曲率對變截面鋼梁進(jìn)行多損傷靜態(tài)識別.黃健[16]等探究了離散小波變換在變截面梁損傷識別中的研究應(yīng)用.小波變換和曲率模態(tài)對于解決一些動力響應(yīng)的問題具有識別精度高的優(yōu)點(diǎn)，但對于靜力響應(yīng)問題還沒有較為簡單準(zhǔn)確的方法解決.為了解決這個問題，本文引入基于結(jié)構(gòu)剛度靈敏度的損傷識別方法，可以根據(jù)損傷因子的降低導(dǎo)致剛度矩陣的變化來識別結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的損傷情況，以一個變截面簡支梁結(jié)構(gòu)為例驗(yàn)證該方法.結(jié)果表明, 本文方法是可行的.

1 變截面梁的單元剛度矩陣

對于高度線性變化的變截面梁單元，如圖1所示，假設(shè)其長度為L，寬度為b，大截面梁高為h，小截面梁高為k·h，彈性模量為E.

圖1 高度線性變化的變截面梁單元縱面

根據(jù)有限單元法基本原理可以得到變截面梁的單元剛度矩陣[2]為：

(1)

依據(jù)拼接的方法，將圖1所示的變截面梁單元等效為高度為h的矩形截面時，可以得到含截面慣性矩I的高度線性變化的變截面梁的單元剛度矩陣ke為：

(2)

從式(2)中可以看出能引起變截面梁的單元剛度矩陣發(fā)生變化的主要是因?yàn)閼T性矩的降低，從而導(dǎo)致變截面梁結(jié)構(gòu)發(fā)生損傷破壞，所以這里可以稱慣性矩I為損傷因子.

2 利用能量原理建立整體剛度矩陣

對于含有n個結(jié)點(diǎn)的變截面梁結(jié)構(gòu)，每個結(jié)點(diǎn)有2個自由度(這里忽略軸向變形)，因此結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為2×n階，其整體結(jié)構(gòu)的位移向量U可以表示為：

U=[V1θ1…Viθi…Vnθn]T

(3)

式(3)中的V和θ分別表示變截面梁結(jié)構(gòu)在靜力荷載作用下的豎向位移和彎曲變形量，下標(biāo)表示單元節(jié)點(diǎn)編號，上標(biāo)T表示為矩陣的轉(zhuǎn)置(下同).在整體結(jié)構(gòu)的位移向量中提取對應(yīng)的單元位移分量d，即：

(4)

式(4)中S為提取矩陣，其表達(dá)式為：

(5)

式(5)中下標(biāo)為元素所在的行與列，省略部分均為零元素.

對于變截面梁單元i，其彈性應(yīng)變能(標(biāo)量形式)在局部坐標(biāo)下寫成內(nèi)積的形式為：

(6)

將式(4)代入式(6)中可得變截面梁單元i在整體坐標(biāo)下的彈性應(yīng)變能Pi為：

(7)

根據(jù)能量守恒得到變截面梁結(jié)構(gòu)在整體坐標(biāo)下的彈性應(yīng)變能P為：

(8)

綜合式(7)和式(8)可以得到集成后的變截面梁結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣K為：

(9)

3 利用損傷因子的變化量對結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別

由結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程有：

K·U=F

(10)

式(10)中的F表示為變截面梁結(jié)構(gòu)所承受的結(jié)點(diǎn)力向量；綜合式(2)，式(5)和式(9)可知，結(jié)構(gòu)靜力平衡方程中含有各個單元的截面慣性矩Ii(損傷因子)，于是對式(10)左右兩邊分別對其求導(dǎo)可得：

(11)

由式(11)整理得到變截面梁單元i的靈敏度矩陣為：

(12)

將式(12)累加得到：

(13)

當(dāng)結(jié)構(gòu)構(gòu)件發(fā)生損傷后，結(jié)構(gòu)的靜力平衡方程為：

(K-ΔK)·(U+ΔU)=F

(14)

式(14)中的ΔK為結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣總的損失量，其表達(dá)式為：

(15)

式(15)中的ΔIi表示當(dāng)結(jié)構(gòu)各構(gòu)件發(fā)生損傷時，相應(yīng)的各構(gòu)件的損傷因子的損失量，所以其表達(dá)式為：

ΔIi=Ii·αi

(16)

式(16)中的αi為各單元i的損傷系數(shù)，綜合式(10)和式(14)可以得到結(jié)構(gòu)位移向量的增量ΔU為：

ΔU=(K-ΔK)-1·F-K-1·F

(17)

又由Taylor級數(shù)展開的矩陣形式表達(dá)有：

(18)

取式(18)中的一階線性部分得到：

(19)

將式(13)代入式(19)中得到：

(20)

將式(20)寫成向量形式可以表示為：

(21)

考慮實(shí)際情況下，損傷因子即結(jié)構(gòu)構(gòu)件的截面慣性矩不可能為負(fù)值，所以結(jié)構(gòu)損傷后其變化量ΔIj也不會為負(fù)值；于是由式(21)可以得到：

(22)

將式(17)代入式(22)中得到：

{(K-ΔK)-1·F-K-1·F}

(23)

綜合式(16)和式(23)，利用最小二乘法，最終可以得到各單元的損傷系數(shù).

4 算例

以圖2所示的變截面簡支梁結(jié)構(gòu)為例，驗(yàn)證本文所提的損傷識別方法.該結(jié)構(gòu)的基本參數(shù)為：彈性模量E=2.0×105MPa，跨度L=10 m，寬度b=10 m，跨中高度h0=0.1 m，支座處梁高h(yuǎn)1=1.0 m.可能的靜力加載點(diǎn)也見圖2中.考慮三種加載方式，方式1：F1=10 kN,F2=0,F3=0;方式2：F1=10 kN,F2=10 kN,F3=0; 方式3：

F1=10 kN,F2=10 kN,F3=10 kN.顯然，這3種加載方式是線性無關(guān)的.討論3種損傷情況，列于表1中.

表1 變截面簡支梁結(jié)構(gòu)3種損傷情況

損傷情況1損傷情況2損傷情況單元編號損傷程度(%) 單元編號損傷程度(%) 單元編號損傷程度(%)1410 25 2301010 10351815 1840

圖2 變截面簡支梁結(jié)構(gòu)及其靜力加載

對于第一種單個單元損傷情況，三種加載方式下識別出的結(jié)果是完全相同的(這是由于我們設(shè)定的加載方式所造成的損傷情況是相同的).其結(jié)果為：單元14發(fā)生損傷且其損傷程度計(jì)算值α14=11%，其余各單元的損傷程度計(jì)算值均為0，所以本文所敘述的方法對于在靜力加載下，能夠十分精確地對變截面梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷定位.

對于第二種多單元小損傷情況，不考慮測量誤差時三種加載方式下所得到的各單元損傷程度如圖3所示，其中單元2、單元10和單元18損傷程度計(jì)算值為α2=5%，α10=11%，α18=18%，和設(shè)定值基本一致.

由圖2和圖3可見，本文所敘述的方法不僅能十分精確地對變截面梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷定位，還可以對于一些能感覺到甚至肉眼無法發(fā)現(xiàn)的較小程度的損傷結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的損傷程度進(jìn)行比較準(zhǔn)確的識別.對于第三種多單元大損傷情況，不考慮測量誤差時三種加載方式下所得到的各單元損傷程度如圖4所示，其中單元2、單元10和單元18損傷程度計(jì)算值為α2=43%，α10=54%，α18=67%和設(shè)定值相差比較大.

圖3 單元2、單元10和單元18剛度損傷5%、10%和15%時的識別結(jié)果

圖4 單元2、單元10和單元18剛度損傷30%、35%和40%時的識別結(jié)果

由圖4可見，本文所敘述的識別方法對于損傷程度比較大的結(jié)構(gòu)或構(gòu)件，計(jì)算得到的損傷系數(shù)與設(shè)定的損傷系數(shù)比較發(fā)現(xiàn)這種只考慮一階靈敏度矩陣的損傷識別方法，其識別的精度還有待進(jìn)一步提高.

5 結(jié)論

本文利用對結(jié)構(gòu)靜力平衡方程的損傷因子求導(dǎo)推導(dǎo)了單元剛度的靈敏度矩陣公式，依此建立了基于剛度靈敏度矩陣的結(jié)構(gòu)損傷識別方法.算例結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的可行性.本文方法計(jì)算簡單，易于計(jì)算機(jī)編程而且對連續(xù)材料均適用，橋梁結(jié)構(gòu)中的變截面梁通常為高強(qiáng)混凝土且工作在彈性階段，因此本方法對小損傷情況是適用的，但對于結(jié)構(gòu)發(fā)生大損傷的情況則存在著識別結(jié)果誤差較大的缺點(diǎn)，但考慮到工程實(shí)踐中結(jié)構(gòu)在保證安全適用的原則下可容許發(fā)生損傷的范圍較小，所以本文方法仍具有較廣的應(yīng)用空間.