胡曉倩

(重慶市沙坪壩小學(xué) 重慶 400030)

2014年秋天，一個偶然的機(jī)會，我有幸參與了某辦學(xué)單位組織的有關(guān)“學(xué)習(xí)價值”的討論會。討論過程中，學(xué)生家長與教師們各抒己見，期間，有部分家長提到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值，他們固執(zhí)地認(rèn)為：生活中用到的數(shù)學(xué)只是簡單的算術(shù)知識。數(shù)學(xué)給予的一切純粹是智力游戲，無任何實際意義。我不禁思考：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)到底要教給學(xué)生什么？難道僅僅是為了學(xué)習(xí)課本上的數(shù)學(xué)知識？僅僅是為了應(yīng)付某次考試？僅僅是為了會解答某類難題？

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：數(shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會學(xué)生必要的數(shù)學(xué)知識，但絕對不僅僅以教會數(shù)學(xué)知識為目標(biāo)，更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過程中了解數(shù)學(xué)文化，獲得數(shù)學(xué)思維。于是，我開始了關(guān)于“數(shù)學(xué)文化之?dāng)?shù)學(xué)思維”的探索與研究[1]。

一、什么是數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維從廣義上講內(nèi)涵十分豐富，我通俗地把數(shù)學(xué)思維理解為“將具體的數(shù)學(xué)知識都忘掉以后剩下的東西”。

數(shù)學(xué)學(xué)科能給予我們很多數(shù)學(xué)知識。知識和技能固然能幫助我們解決一些實際問題，但數(shù)學(xué)更大的價值在于，它提供了一種不同于日常思維的新思維方式。數(shù)學(xué)的思維方式為我們正確認(rèn)識客觀世界提供了新的工具和視角，它使我們批判地閱讀，識別謬誤，探查偏見，估計風(fēng)險，并提出變通的辦法，從而增進(jìn)我們的認(rèn)識能力和理性力量。

小學(xué)階段，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目標(biāo)之一是讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)思維，從而具備用數(shù)學(xué)思維方法處理、解決問題的能力，從數(shù)學(xué)角度看問題的能力。

二、數(shù)學(xué)思維的分類

數(shù)學(xué)的基本思維主要指：數(shù)學(xué)抽象思維，數(shù)學(xué)推理思維，數(shù)學(xué)建模思維。

人類通過數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科；通過數(shù)學(xué)推理，進(jìn)一步得到大量結(jié)論，數(shù)學(xué)科學(xué)得以發(fā)展；通過數(shù)學(xué)建模，把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生巨大的效益，反過來又促進(jìn)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。

由上述數(shù)學(xué)思維演變、派生、發(fā)展出來的思維還有很多，如分類思維、歸納思維、優(yōu)化思維、轉(zhuǎn)換思維、有限與無限思維等。

三、數(shù)學(xué)思維在小學(xué)數(shù)學(xué)實際教學(xué)中的應(yīng)用

《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)思維蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)知識的形成，發(fā)展和應(yīng)用過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。在義務(wù)教育階段應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容逐步滲透數(shù)學(xué)的基本思維[1]。

案例1：數(shù)學(xué)抽象思維之集合思維。西南師范出版社《數(shù)學(xué)文化讀本》三年級上冊P64-68“一共訂了幾種雜志”[2]。

天天訂了《紅領(lǐng)巾》《作文大本營》《小哥白尼》《少年先鋒報》《漫畫世界》5本雜志，波波訂了《小哥白尼》《幽默大師》《漫畫世界》《數(shù)學(xué)探秘》4本雜志，他們一共訂了幾種雜志？

師：我們可以把天天訂的5種雜志看作一個集合，每一種雜志都是其中一個元素，這個集合由5個元素組成。波波訂的雜志是另一個集合，它由4個元素組成。

師：兩個集合里有元素重復(fù)，不能用“5+4=9（種）”直接相加求兩人所訂雜志種類的總和。

生：我明白了，看起來共訂了5+4=9（種），但有2種雜志重復(fù)計算了，所以只訂了9-2=7（種）。

學(xué)生通過教師的引導(dǎo)，直觀觀察思考，感知數(shù)學(xué)文化中專門研究集合的數(shù)學(xué)理論——集合論。數(shù)學(xué)知識中有很多集合思維。比如，正方形是長和寬相等的特殊長方形。我們可以把全體長方形看作一個集合，把全體正方形看作一個集合，它們的關(guān)系又是怎樣的集合關(guān)系？

在這里，教師需要當(dāng)好引導(dǎo)者，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思維和方法，得到必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練。

簡單的集合思維，能感悟到同類物體具有相同的特性。在課堂活動中，體驗用集合圖表示概念之間的關(guān)系，這樣的活動能初步培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考問題，達(dá)到逐步滲透集合思維的目的。

案例2：數(shù)學(xué)推理思維之一逆向思維。西南師范出版社《數(shù)學(xué)文化讀本》三年級上冊P69-72“李白買酒與逆向思維”[2]。

李白街上走，提壺去買酒。遇店加一倍，見花飲八口。三遇店和花，喝光壺中酒。請君猜一猜，壺中原有酒。

師：畫圖表示是一種非常重要的分析方法，特別是只知道結(jié)果，不知道起始條件的情況。

酒店×2→花鋪－8→酒店×2→花鋪－8→酒店×2→花鋪－8=0（喝光了）

生1：我們可以從結(jié)果開始，一步一步倒推回去。

生2：結(jié)果是遇到花鋪3喝了8口喝光了，那么在花鋪3之前就還有8口酒。

師：孩子們，對于這種知道結(jié)果和每一步變化過程的題目，可以從結(jié)果開始，逆向推回去。

這種思維方式，叫做逆向思維，也叫求異思維。用逆向思維方式解題在數(shù)學(xué)中很常見。它是從問題的相反面進(jìn)行深入探索，對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生敢于“反其道而思之”，讓思維向?qū)α⒚娴姆较虬l(fā)展，樹立新思維，創(chuàng)立新形象。讓學(xué)生明白：當(dāng)大家都朝著一個固定的思維方向思考問題時，而你卻獨自朝相反的方向思索，這樣的思維方式非常可取。

企業(yè)知識型員工無論是成就需要、控制源還是自我效能感的人格預(yù)測變量，對人際關(guān)系的預(yù)測均高于對任務(wù)績效和工作奉獻(xiàn)的預(yù)測，分析原因可能是由于我國傳統(tǒng)文化一貫重視人際關(guān)系，與人為善。工作環(huán)境要融洽，不要嚴(yán)格；人際關(guān)系要簡單，不要復(fù)雜，這樣的企業(yè)文化將有利于員工把精力投入到工作中，提高工作績效，創(chuàng)造更多勞動成果。而知識型員工要求獲得尊重的需求非常強(qiáng)烈，建議企業(yè)的管理者積極創(chuàng)造“以人為本”的企業(yè)文化，尊重員工、平等溝通，注重人情味，做到事業(yè)留人、感情留人和文化留人。給予員工家庭歸屬感，幫助員工職業(yè)成長，創(chuàng)造和諧、健康、團(tuán)結(jié)的企業(yè)文化環(huán)境。

司馬光砸缸就是一例逆向思維的實例。有人落水，常規(guī)的思維模式是“救人離水”，而司馬光面對緊急險情，運用了逆向思維，果斷地用石頭把缸砸破，“讓水離人”，救了小伙伴性命。教學(xué)中讓學(xué)生感悟，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結(jié)論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化。

案例3：數(shù)學(xué)抽象思維之一分類思維。西南師范出版社《數(shù)學(xué)文化讀本》三年級下冊P42-45“我是家務(wù)小能手”[2]。

妮妮當(dāng)家，任務(wù)：整理好晾曬的衣服，倒垃圾。爸爸媽媽和自己的衣服堆放在一起，不知如何下手？垃圾怎么倒才環(huán)保？生1：先把爸爸媽媽和妮妮的衣服分開疊好。師：又該如何放進(jìn)衣柜？

生2：把各自的上衣和上衣放一起，褲子和褲子放一起，裙子和裙子放一起……

生3：為了減少環(huán)境污染，變廢為寶，垃圾也要分類處理。

生4：紙類、玻璃、塑料、金屬等可以回收，放進(jìn)回收垃圾箱；剩菜、剩飯等屬于廚余丟進(jìn)廚房垃圾箱……

簡單的分類活動，能感悟到同類物體具有相同的特性。在分類活動中，體驗分類結(jié)果在單一標(biāo)準(zhǔn)下的一致性，這樣的活動能初步培養(yǎng)學(xué)生有條理地思考問題，養(yǎng)成整理物品的習(xí)慣。

四、由數(shù)學(xué)思維內(nèi)化出數(shù)學(xué)思考方法

數(shù)學(xué)思維比一般的數(shù)學(xué)概念具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。數(shù)學(xué)思維是與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考方法的精神實質(zhì)與理論基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思考方法則是實施有關(guān)的數(shù)學(xué)思維的技術(shù)與操作程式。

案例4：我和學(xué)生探討“龍龍和爸爸各買一雙皮鞋共用去720元，龍龍的皮鞋價格是爸爸皮鞋價格的80%，龍龍和爸爸的皮鞋各多少元？”經(jīng)過充分的思考和嘗試后，學(xué)生給出了豐富的答案。

生1：爸爸的皮鞋價格為單位“1”，720÷(1+80%)=400（元），從而得到龍龍的皮鞋價格，720-400=320（元）；

生2 ： 用方程解答， 設(shè)爸爸的皮鞋價格為x 元，80%x+x=720，x=400因此龍龍的皮鞋價格，720-400=320（元）；

生3：龍龍的皮鞋價格是爸爸皮鞋價格的80%，龍龍的皮鞋價格與爸爸皮鞋價格的比為4：5，720÷(4+5)=80，爸爸的皮鞋價格80×5=400元，龍龍的皮鞋價格80×4=320（元）；

師：比較三種方法，你更欣賞哪一種思路？為什么？這一思路給了你哪些有益的啟示？

……

三種方法都能順利解決問題，但細(xì)細(xì)琢磨，期間的差別值得玩味。方法一是找到與數(shù)量相對應(yīng)的百分率，因為是未知單位“1”，所以用已知數(shù)量除以對應(yīng)百分率，從而求出單位“1”的量，此種解題方法的關(guān)鍵在于確定單位“1”；方法二是建立在等量關(guān)系上的方程列式，其間蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)建模思維派生出來的方程思維，數(shù)學(xué)建模的初步意識等，都彰顯了數(shù)學(xué)思考的魅力；方法三反映出解題者的綜合解題能力，巧妙地抓住了“龍龍的皮鞋價格”與“爸爸的皮鞋價格”之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，巧妙地從兩個數(shù)量比的角度審視問題結(jié)構(gòu)，反映出學(xué)生良好的“題感”及善于從數(shù)學(xué)角度觀察、分析、解決問題的意識和能力。教師還及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，在比較中分析每一思路背后的數(shù)學(xué)思考方式，在比較中優(yōu)化，進(jìn)而在認(rèn)同中內(nèi)化為自己的數(shù)學(xué)思考。

這樣的例子還有很多，又如，在給學(xué)生講解等差數(shù)列求和公式時，提到“數(shù)學(xué)家高斯10歲時算出布特納給學(xué)生們出的將1到100的所有整數(shù)加起來的算術(shù)題。布特納剛敘述完題目，高斯就算出了正確答案，而其他孩子都算錯了。”一個10歲的孩子，能獨立發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列求和的數(shù)學(xué)方法實屬不易，更能反映出高斯從小就注意把握更本質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，以及其所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)抽象方法、符號化、模型化及化歸的數(shù)學(xué)思維等。學(xué)生們驚嘆：原來，從數(shù)學(xué)的角度觀察和思考問題，可以獲得如此簡潔的方法。一種對數(shù)學(xué)思考方式的認(rèn)同及數(shù)學(xué)文化的熏陶深深地潤澤著學(xué)生的心田。

現(xiàn)代教育觀點認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)。是師生之間、生生之間數(shù)學(xué)思維交往與共同發(fā)展的過程。數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，它們是基礎(chǔ)知識的靈魂，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思維，并使它們落實到學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中能讓學(xué)生了解和體會數(shù)學(xué)文化，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，如此，我們的學(xué)生除了學(xué)會課本上的數(shù)學(xué)知識以外，還將得到很多，很多。