寇 亮

(甘肅省岷縣城郊初級(jí)中學(xué) 748400)

隨著基礎(chǔ)教育課程改革的不斷深入，人們?cè)絹碓疥P(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)建模就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的六個(gè)方面之一.

求三角形面積的問題是幾何問題中常見的問題之一，可用的方法也很多，比如三角形面積公式、割補(bǔ)、等積變形、三角函數(shù)等.本文介紹的方法是二次函數(shù)問題中實(shí)用的一種求面積的方法——鉛垂法.

一、知識(shí)必備

1.三角形面積公式

2.“割補(bǔ)法”求面積

一些不規(guī)則圖形或者不便直接計(jì)算面積的圖形，一般采用“割補(bǔ)法”將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形或可直接計(jì)算面積的圖形來處理.俗稱做“做加法”或“做減法”.

二、方法提煉

1.基本模型

證明過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E, 過點(diǎn)A作AF⊥CE于點(diǎn)F,則有

(鉛垂法求三角形面積的計(jì)算方法在解答題中并不能直接使用，需要加以推導(dǎo).)

2.模型變式

當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖4所示，上述計(jì)算模型還適用嗎？

證明如圖5，過點(diǎn)C作AD⊥x軸于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D, 則有

通過上述推理證明，說明無論C與A、B的相對(duì)位置如何，這種鉛垂法求三角形面積的方法總是適用的，這類題目的構(gòu)圖方法、證明過程、以及最終結(jié)論是基本一致的.這一點(diǎn)體現(xiàn)了一些數(shù)學(xué)題目“萬變不離其蹤”的特點(diǎn)或者說同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中“以不變應(yīng)萬變”的學(xué)習(xí)方法.

3.模型升級(jí)

鉛垂法求三角形面積的方法其實(shí)質(zhì)是割補(bǔ)，重點(diǎn)不在三角形的三個(gè)點(diǎn)位置，而是取兩個(gè)點(diǎn)作水平寬之后，能求出其對(duì)應(yīng)的鉛垂高！

(1)如圖6，取AB作水平寬，過點(diǎn)C作CD⊥x軸交AB于點(diǎn)D，則CD即對(duì)應(yīng)的鉛垂高.

(2)如圖7，取AC作水平寬，過點(diǎn)B作BD⊥x軸交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，BD即對(duì)應(yīng)的鉛垂高.

(3)如圖8，取BC作水平寬，過點(diǎn)A作鉛垂高為AD.甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高.

三、實(shí)戰(zhàn)演練

例題(2018年定西)如圖9，已知二次函數(shù)y=ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,3),與x軸分別交于點(diǎn)A,點(diǎn)B(3,0).點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)y=ax2+2x+c的解析式；

(2)連接PO，PC，并把△POC沿y軸翻折，得到四邊形POP′C，若四邊形POP′C為菱形，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ACPB的面積最大？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積.

解(1)將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得

(2)若四邊形POP′C為菱形，則點(diǎn)P在線段CO的垂直平分線上，如圖10，連接PP′，則PE⊥CO，垂足為E.

(3)如圖11，P在拋物線上，設(shè)P(m，-m2+2m+3)，設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，將B和C的坐標(biāo)代入解析式,可得

直線BC的函數(shù)解析為y=-x+3.

作PF⊥x軸于F，交BC于Q，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m，-m+3)，

PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m．

當(dāng)y=0時(shí)，-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，OA=1，AB=3-(-1)=4，

S四邊形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

總之，二次函數(shù)綜合題中用鉛垂法求三角形面積的時(shí)候，關(guān)鍵是要抓住確定邊，最好是沿著動(dòng)點(diǎn)去做垂線，作完垂線之后再去確定鉛垂高和水平寬，這樣便于操作.在總結(jié)規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過習(xí)題加以鞏固，才能達(dá)到較好的學(xué)習(xí)效果.