李紹松，郭孔輝，仇 韜，陳 虹，王國棟，崔高健

（1.長春工業(yè)大學機電工程學院，長春 130012； 2.長春孔輝汽車科技股份有限公司，長春 130000；3.吉林大學，汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130025）

前言

主動前輪轉向系統(tǒng)（active front steering，AFS）在不干預駕駛員轉向輸入的情況下，能夠產生保持車輛穩(wěn)定的橫擺力矩，進而改善車輛的橫擺穩(wěn)定性［1-3］。針對AFS系統(tǒng)，目前已有較多成熟的控制方法，如PID控制、滑模控制、模糊控制和模型預測控制（model predictive control，MPC）［4-7］等。其中，MPC憑借其在處理多目標優(yōu)化及約束問題方面的優(yōu)勢備受學者的青睞。MPC能夠預測系統(tǒng)未來的變化，并根據(jù)既定的性能指標選擇最佳的控制動作［8-9］。MPC的滾動優(yōu)化策略能夠彌補模型失配、畸變、擾動等引起的不確定性，但如果模型的誤差過大，仍會對系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成嚴重的影響［10］。

輪胎是影響車輛動力學穩(wěn)定性的重要因素。當車輛側向加速度較小時，輪胎力處于線性區(qū)域。此時，可以用線性輪胎模型來設計AFS控制器，有利于減少MPC的計算負擔。當車輛的側向加速度較大，或路面附著系數(shù)較低時，輪胎力處于非線性區(qū)域，并開始飽和。線性的輪胎模型不再能反映輪胎力的實際變化趨勢。因此，在設計控制器時采用非線性的輪胎模型是非常必要的［11-12］。然而，非線性MPC需要在線求解帶約束的非線性優(yōu)化問題，計算負擔繁重［13-14］。

線性時變MPC（LTV-MPC）方法通過對非線性模型進行連續(xù)局部線性化，將非線性優(yōu)化問題轉化為時變的線性優(yōu)化問題，降低了系統(tǒng)的計算負擔，被廣泛使用［14-15］。Choi等［16］基于LTV-MPC設計了分層式車輛側向穩(wěn)定性控制器。該方法通過連續(xù)線性化輪胎力，將輪胎的非線性特性反映在擴展的“自行車”模型上。類似的輪胎力線性化方法在文獻［17］和文獻［18］中也有用到。但這些線性化輪胎模型的輪胎力在預測時域內是不變的，在預測層不能描述輪胎力的非線性特性，極限工況下的控制效果并不理想。因此，很多學者通過約束輪胎側偏角或車輛橫擺角速度的方法，保證車輛在極限操縱時的穩(wěn)定性。但是，強制性的穩(wěn)定性約束會導致輪胎力不能被充分利用。Erlien等［19］在研究人機共駕車輛的避撞控制時發(fā)現(xiàn)，強制性執(zhí)行穩(wěn)定性約束可能會與預期的避撞軌跡發(fā)生沖突，提出穩(wěn)定性控制器應允許車輛在穩(wěn)定性約束之外運行，以實現(xiàn)安全避撞。為充分利用輪胎力，在預測時域內考慮輪胎力變化方面，也有了一些研究成果。Brown等［20］根據(jù)上一步求解的輪胎側偏角序列，對當前預測時域內的后輪輪胎力進行線性化，并允許車輛短暫地超出穩(wěn)定性約束。然而，僅使用前一步的輪胎側偏角可能會出現(xiàn)抖動問題。Funke等［21］在此基礎上，提出了一種輪胎側偏角的正則化形式，較好地解決了這一問題，但僅通過上一時刻求解的輪胎側偏角序列來表征當前預測時域內的輪胎側向力，可能會出現(xiàn)較大偏差。

本文中提出了一種新型的LTV-MPC方法，在預測時域內采用時變的輪胎模型描述輪胎力的非線性特性。該方法無需施加強制性的穩(wěn)定性約束，能夠充分利用輪胎力，擴大AFS系統(tǒng)的工作范圍。

1 車輛動力學模型

所使用的車輛模型是簡化的“自行車”模型，如圖1所示。lf和lr分別為車輛質心到前、后軸的距離；Fy，f和Fy，r分別為前、后輪胎的側向力；β為車輛質心側偏角；γ為橫擺角速度；vx和vy分別為車輛的縱向和側向速度；δf為前輪轉角；αf和αr分別為前、后輪的側偏角。

車輛側向和橫擺運動的動力學方程為

式中：m為整車質量；Iz為橫擺轉動慣量，并認為存在近似關系cosδf＝1。

圖1 車輛模型

本文忽略輪胎縱向力的影響，采用純側向滑移工況下的Pacejka輪胎模型［22］計算輪胎的側向力：

式中：μ為路面附著系數(shù)，認為是已知量；a0＝1.5；a1＝0；a2＝1050；a3＝1200；a4＝7；a5＝0；a6＝0.2。

圖2給出了不同路面附著系數(shù)和載荷下的輪胎側向力曲線。

圖2 輪胎的側偏特性

前、后輪胎的側偏角和垂直載荷定義如下：

2 控制器設計

控制策略邏輯結構如圖3所示，包括參考模型、參數(shù)估計模塊、輪胎模型、模型預測控制器和被控車輛，其中被控車輛選用的是CarSim車輛模型。本文中忽略了轉向傳動系統(tǒng)的影響，直接以前輪轉角作為輸入。參考模型根據(jù)駕駛員輸入δf，dri計算出期望橫擺角速度γref。參數(shù)估計模塊用于估計輪胎側偏角αi和輪胎垂直載荷Fz，i（i＝f，r）。輪胎模型根據(jù)輪胎的側偏角和垂直載荷實時得到輪胎側向力及名義側偏剛度，用于輪胎模型的線性化。模型預測控制器優(yōu)化計算出被控車輛的前輪轉角。

圖3 整體控制邏輯

2.1 參考模型的設計

車輛的橫擺角速度與車輛的操縱穩(wěn)定性密切相關，反映了車輛對駕駛員輸入的響應。因此，本文以橫擺角速度為控制目標，設計參考模型［1］如下：

式中：Cf和Cr分別為前、后輪胎的側偏剛度。

2.2 LTI-MPC控制器設計

為驗證所提出的LTV-MPC方法的有效性，首先設計傳統(tǒng)的LTV-MPC（記作LTI-MPC）控制器，進行性能對比分析。

基于Pacejka輪胎模型，對前、后輪胎的側向力在每一采樣時刻進行局部線性化［18］，得到線性化的輪胎力方程如下：

得到LTI-MPC預測模型的狀態(tài)空間方程為

式中：狀態(tài)變量x為橫擺角速度γ；控制輸入u為前輪轉角δf；干擾輸入d包括車輛質心側偏角β、殘余側向力和。輸出矩陣C＝1；狀態(tài)矩陣A、輸入矩陣Bu和干擾輸入矩陣Bd如下：

2.3 LTV-MPC控制器設計

圖4為預測層輪胎側向力線性化示意圖。當輪胎力處于線性區(qū)域時LTI-MPC具有很好的控制效果，但是當輪胎力接近飽和時，LTI-MPC的控制性能就會變差。這是由于LTI-MPC的輪胎模型在當前時刻線性化后，在未來的預測過程中將保持不變。如圖4中所示，k＋1時刻，LTI-MPC認為側偏角處的側向力為，此時側向力與實際值誤差較小。但在k＋P時刻，LTI-MPC認為側偏角處的側向力為，此時側向力已經嚴重偏離了實際值。因此，LTI-MPC在預測時域內會采用偏離實際的輪胎力。

為避免這種情況，在預測時域內對非線性輪胎模型進行了連續(xù)線性化，見圖4，具體如下：

圖4 預測層輪胎側向力線性化

ρk＋i｜k和ξk＋i｜k是和的調節(jié)因子。

將式（9）代入式（1），得到LTV-MPC的預測模型為

將LTV-MPC的預測模型寫成如下狀態(tài)空間形式：

對式（11）連續(xù)系統(tǒng)進行離散化，離散步長為Ts，得到LTV-MPC增量型的離散預測模型為

然后，可以得到預測輸出，這里省略了推導過程。

當輪胎力因外界不確定性因素從線性區(qū)突然進入飽和區(qū)域時，還需要對ρk＋i｜kΔ和ξk＋i｜kΔ這兩項進行調整。

圖5 名義側偏剛度調整

情況1：實際橫擺角速度未跟上期望值。

情況2：實際橫擺角速度大于期望值。

2.4 目標函數(shù)的設計

目標函數(shù)由橫擺角速度跟蹤誤差和控制輸入變化率的加權組合構成：

式中：Γy＝diag（τy）和Γu＝diag（τu）分別為對橫擺角速度跟蹤誤差和控制輸入變化率的加權因子。

以上跟蹤控制問題可以描述為

對于LTI-MPC還需要對輸出y進行約束，以避免車輛發(fā)生嚴重的側滑，約束的設定參照文獻［10］。

本文中采用二次規(guī)劃（QP）方法求解上述帶約束的優(yōu)化問題，定義如下：

式中：x＝ΔU（k）；H為黑塞矩陣；g為梯度向量；E和b為約束矩陣。

3 仿真試驗

搭建Simulink和CarSim聯(lián)合仿真環(huán)境，分別進行雙移線工況和正弦工況試驗，對所提方法進行驗證。在CarSim中選擇B級車作為被控車輛。表1和表2分別給出了被控車輛和MPC控制器的主要參數(shù)。

表1 車輛參數(shù)

表2 MPC控制器參數(shù)

3.1 輪胎模型驗證

輪胎模型的精確性是保證輪胎模型線性化的前提。汽車以80 km／h的車速行駛在附著系數(shù)為0.3的路面上，正弦轉角輸入下Pacejka模型與CarSim輪胎力的仿真結果如圖6所示。其中Fy，f和Fy，r在“自行車”模型中指前后輪的輪胎側向力，在CarSim中是指前后軸的輪胎力。

由圖6可知，前輪輪胎力在波峰處基本保持不變或輕微下降，后輪輪胎力在波峰處下降明顯，說明輪胎力已經飽和，且進入非線性區(qū)。此外，可以看出Pacejka模型與CarSim的輪胎力在波峰處存在一定偏差，但趨勢和幅值基本相同。因此，本文中所建的Pacejka模型能夠滿足控制器設計要求。

圖6 Pacejka模型與CarSim輪胎力對比曲線

3.2 雙移線工況試驗

該試驗中，車輛以60 km／h的速度進行雙移線操縱，路面附著系數(shù)為0.3。

圖7 橫擺角速度響應

圖7為車輛的橫擺角速度響應曲線，其反映了車輛的操縱性和對駕駛員意圖的跟隨情況。從圖中可以看出，在t＝3.6 s時，LTV-MPC控制的車輛橫擺角速度偏差最小，為3.75°／s，無控制的車輛則為8.03°／s。LTI-MPC由于受到穩(wěn)定性約束的影響，其橫擺角速度偏差明顯大于LTV-MPC，為5.70°／s。另外，LTI-MPC控制車輛的橫擺角速度響應延遲比較明顯。無控制的車輛在t＝3.6 s時出現(xiàn)了明顯的波動，這是因為前輪輪胎力已經飽和，見圖8，車輛前軸發(fā)生了側滑。盡管LTV-MPC在t＝3.6 s時與期望值仍存在偏差，但已經充分利用了輪胎力，且能夠避免車輛發(fā)生側滑。

圖8 前軸側向力

由圖8可知，LTV-MPC控制車輛的輪胎力在峰值處能夠一直保持在2 000 N，輪胎力利用率最高。LTI-MPC的輪胎利用率最低，峰值僅為1 700 N。無控制的車輛由于發(fā)生了側滑，輪胎力在峰值處出現(xiàn)了明顯下降。

圖9為質心側偏角響應曲線。車輛的質心側偏角響應是描述車輛穩(wěn)定性的重要指標。從圖9中可以看出，無控制的車輛質心側偏角響應波動最大，峰值為-0.96°，其次是LTV-MPC控制的車輛，峰值為-0.72°。由于受到穩(wěn)定性約束的影響，LTI-MPC控制的車輛質心側偏角變化最小，但這是以犧牲橫擺角速度的跟蹤性能為代價的。圖10為前輪轉角曲線。可以看出，LTI-MPC計算出的轉角更加保守，且明顯滯后于LTV-MPC。

圖9 質心側偏角響應

3.3 正弦工況試驗

為進一步驗證LTV-MPC的有效性，在路面附著系數(shù)為0.4的路面上進行正弦操縱試驗，車速為80 km／h。

圖11為車輛橫擺角速度響應曲線?？梢钥闯鯨TV-MPC控制車輛的橫擺角速度偏差最小，相對于LTI-MPC控制性能明顯提高。圖12為前軸側向力曲線，其結果與雙移線試驗類似。圖13為質心側偏角響應曲線，圖中顯示LTV-MPC控制的車輛質心側偏角最大值為0.41°，明顯小于無控制車輛的最大值0.65°。圖14為前輪轉角曲線，可以得到與雙移線試驗同樣的結論。

圖10 前輪轉角

圖11 橫擺角速度響應

圖12 前軸側向力

圖14 前輪轉角

4 結論

考慮了輪胎的非線性特性，在預測時域內對非線性輪胎模型進行連續(xù)線性化，設計了新型的LTVMPC控制方法，并根據(jù)車輛運動狀態(tài)對輪胎力的預測方向和趨勢進行了修正，拓寬了AFS系統(tǒng)的工作范圍，提高了車輛在極限工況下的穩(wěn)定性。仿真驗證了該方法的有效性和可行性，但是該方法還未進行實車驗證，下一步將繼續(xù)完善控制策略，提高控制器的求解速度，達到實車試驗的要求。