張巍巍

【摘要】極限是高等數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)工具，貫穿于高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，而且課程中很多基本概念都是通過極限的方法給出的，比如函數(shù)的連續(xù)性定義、導(dǎo)數(shù)定義及定積分定義等.本文對(duì)極限計(jì)算過程中遇到的一些典型錯(cuò)誤進(jìn)行剖析總結(jié)，幫助學(xué)生更好地理解和掌握極限的計(jì)算.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);極限計(jì)算;典型錯(cuò)誤

【基金項(xiàng)目】?jī)?nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目（JC2017002）

一、引 言

高等數(shù)學(xué)作為高等院校理工科專業(yè)重要的公共基礎(chǔ)課，為學(xué)生后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)提供了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維方法，為學(xué)生從事專業(yè)工作和進(jìn)行科學(xué)研究奠定了必備的理論基礎(chǔ)，因此學(xué)好高等數(shù)學(xué)是至關(guān)重要的.極限作為高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要研究工具，在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中起到舉足輕重的作用，因此學(xué)好極限顯得尤為重要.本文通過一些具體實(shí)例，結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)，就學(xué)生在極限計(jì)算過程中遇到的一些典型問題進(jìn)行剖析，分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的本質(zhì)原因，最后給出正確的求解方法.

二、典型錯(cuò)誤剖析

（一）對(duì)極限思想理解不透徹，思維不嚴(yán)謹(jǐn)，丟掉極限符號(hào)和過程，計(jì)算極限時(shí)不同時(shí)取極限

例1 求 limx→∞x2-xx2+1.

[STHZ]錯(cuò)解1[STBZ] limx→∞x2-xx2+1=1-1/x1+1/x2=1.

[STHZ]錯(cuò)解2[STBZ] limx→∞x2-xx2+1=lim1-1/x1+1/x2=1.

[STHZ]剖析[STBZ] 第一種錯(cuò)誤是丟掉極限運(yùn)算符號(hào)，沒有運(yùn)算符號(hào)，就無法進(jìn)行運(yùn)算，第二種錯(cuò)誤是丟掉變量的變化過程，因?yàn)樵诓煌淖兓^程下函數(shù)的極限不同.產(chǎn)生以上錯(cuò)誤的主要原因是對(duì)極限思想理解不深刻，思維不嚴(yán)謹(jǐn).為避免產(chǎn)生以上錯(cuò)誤，學(xué)生應(yīng)深刻理解極限過程.極限過程是無限逼近的過程，計(jì)算極限實(shí)際上是在某一變化過程下研究變量的變化趨勢(shì)，因此計(jì)算極限時(shí)既不可丟掉極限運(yùn)算符號(hào)，又不可丟掉變量的變化過程.在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中，要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維方式.

[STHZ]正解[STBZ] limx→∞x2-xx2+1=limx→∞1-1/x1+1/x2=1.

例2 求 limx→∞x2+1cos1x-x2.

錯(cuò)解 limx→∞x2+1cos1x-x2=limx→∞x2+1-x2=1.

剖析 首先可以確定該極限是∞-∞的未定式，上面的計(jì)算過程是先考慮x→∞時(shí)函數(shù)cos1x的變化情況，再研究函數(shù)x2+1-x2的變化情況，這樣會(huì)改變?cè)凶兞恐g的關(guān)系，顯然是錯(cuò)誤的.實(shí)際上，計(jì)算函數(shù)極限是研究當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)x2+1cos1x-x2的變化趨勢(shì)，因此在計(jì)算極限時(shí)要對(duì)所有變量同時(shí)取極限，切記不可分先后次序分別計(jì)算極限.下面給出正確的求解過程.

正解 limx→∞x2+1cos1x-x2=limx→∞x2cos1x-1+cos1x=limx→∞cos1x-1[]1x2+cos1x=limx→∞-12x2[]1x2+cos1x=12.

（二）對(duì)極限的計(jì)算方法理解不準(zhǔn)確、不透徹，忽視方法的使用條件

例3 求limx→0 x3cos21x.

錯(cuò)解 limx→0 x3cos21x=limx→0 x3·limx→0? cos21x=0.

剖析 極限乘法運(yùn)算法則成立的前提條件是每個(gè)函數(shù)的極限都存在，而limx→0 cos21x不存在，所以以上運(yùn)算錯(cuò)誤.本題應(yīng)利用無窮小量與有界函數(shù)乘積是無窮小量的運(yùn)算法則求解.

正解 limx→0 x3cos21x=0.

例4 求limx→0sin x-tan xarctan3x，當(dāng)x→0時(shí)，x～sin x～tan x～arctan x.

[STHZ]錯(cuò)解1 [STBZ]limx→0sin x-tan xarctan3x=limx→0x-xx3=0.

[STHZ]錯(cuò)解2[STBZ] limx→0sin x-tan xarctan3x=limx→0sin x-xx3=limx→0cos x-13x2=limx→0-sin x6x=-16.

剖析 等價(jià)無窮小替換方法的基本原則是因式替換，即分子、分母的因式若為無窮小量，則可以用對(duì)應(yīng)的等價(jià)無窮小去替換.因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，x-x=0為sin x-tan x的高階無窮小，sin x-tan x與sin x-x不是等價(jià)無窮小，所以以上替換錯(cuò)誤.在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)函數(shù)乘積情形可以用相應(yīng)的等價(jià)無窮小分別替換，但遇到代數(shù)和情形時(shí)往往不可對(duì)每一項(xiàng)單獨(dú)替換，建議對(duì)因式整體替換.

正解 limx→0sin x-tan xarctan3x

[ZK（]=limx→0tan x（cos x-1）arctan3x=limx→0x·-12x2x3=-12.[ZK）]

例5 求 limn→∞nn2+π+nn2+2π+…+nn2+nπ.

錯(cuò)解 limn→∞nn2+π+nn2+2π+…+nn2+nπ

=limn→∞nn2+π+limn→∞nn2+2π+…+limn→∞nn2+nπ=0.

剖析 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和為無窮小，但無限個(gè)無窮小的代數(shù)和不一定是無窮小.當(dāng)n→∞時(shí)，上面極限過程實(shí)際上是無限個(gè)無窮小的代數(shù)和，結(jié)果未必是無窮小，所以以上計(jì)算錯(cuò)誤，正確的做法應(yīng)該用夾逼準(zhǔn)則求解.

正解 對(duì)數(shù)列放縮，可得

n2n2+nπ≤nn2+π+nn2+2π+…+nn2+nπ≤n2n2+π，

因?yàn)閘imn→∞n2n2+nπ=limn→∞n2n2+π=1，由夾逼準(zhǔn)則知原數(shù)列極限為1.

例6 求 limx→∞x2+2cos xx2.

錯(cuò)解 由洛必達(dá)法則，可得