(廣東省廣州市增城區(qū)荔城中學(xué) 511316)

楊偉達(dá) (廣東省廣州市花都區(qū)第二中學(xué) 510820)

每年高考題無不例外都會引起許多數(shù)學(xué)同行的高度關(guān)注和熱議. 2017年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ第20題就引起筆者極大興趣. 細(xì)細(xì)琢磨不難發(fā)現(xiàn)，該試題依托數(shù)據(jù)運算，蘊含著“變與不變”的味道，本文旨在探索題型的規(guī)律，總結(jié)解題方法，以拋磚引玉.

1 題目再現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程.

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點P2且與橢圓C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

考點分析本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓相結(jié)合的綜合問題. 從知識層面看，此題考點覆蓋了解析幾何的核心知識，包括橢圓方程、點在橢圓上、橢圓的性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓位置關(guān)系、一元二次方程及判別式、韋達(dá)定理、斜率公式等；從思想層面看，本題考查了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等；從能力要求層面看，考查了數(shù)據(jù)處理能力.學(xué)生需具備較高的轉(zhuǎn)化問題能力、處理復(fù)雜表達(dá)式的運算求解能力，還需要有穩(wěn)定的心理素質(zhì).

2 思路探究及解答過程

·題目已知條件是什么？結(jié)論是什么？未知量是什么？嘗試用自己的語言表述

首先，求橢圓方程其實就是求兩個基本量a,b的問題.四個定點中恰有三個在橢圓上，需要利用橢圓的對稱性進行數(shù)據(jù)排除處理；其次，直線AB方程的選取、直線AB與拋物線相交、2條動直線P2A和P2B的斜率如何用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示.

·常見相關(guān)類型題目及解題思路

處理有關(guān)直線與圓錐曲線相交問題常見的方法是聯(lián)立方程組，利用方程組求解.

·思維障礙

本題涉及四個點如何排除一點，學(xué)生沒有見過此題型，一時無從下手；其次，該題看似是熟悉的題型卻涉及3條動直線和2個動點，它們?nèi)绾伪硎?，特別是動直線AB方程的選取；再次，直線與橢圓相交需要聯(lián)立方程組，消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，涉及字母較多、運算繁雜，學(xué)生只能望題興嘆.

解法1(1) 由于P3，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P3，P4兩點.

當(dāng)直線方程選取點斜式時，學(xué)生自然而然能想到解法.其詳細(xì)解答過程如下.

化簡為y0=kx0-2k-1,代入直線方程y-y0=k(x-x0),可得y+1=k(x-2),所以直線恒過定點(2,-1).

點評解題過程中，由于直線方程選取點斜式，涉及字母較多、運算繁雜，其方法及解題過程與前一種解題過程基本一樣，不存在另外解法.縱向比較：選取直線斜截式方程顯然更方便.

3 解題后反思

3.1 “變”的模樣

·數(shù)據(jù)處理說話

本題第(1)問有別于往年的高考題，不似往年利用圓錐曲線的離心率求軌跡問題，而是利用橢圓的對稱性進行數(shù)據(jù)排除處理，處理后三個定點逐個代入橢圓方程，分別求出2個基本量a,b的值.第(2)問由于直線l方程未標(biāo)明，所以學(xué)生在直線方程的選取方面需要智慧,未知數(shù)盡可能少，方便消元，減少繁雜.

·變更條件、編寫題組

高考題?？汲Ｐ拢恳荒甑母呖碱}都會有不一樣的新面孔.如何把新面孔落實到課堂教學(xué)中？當(dāng)前有一種被稱為有效教學(xué)的就是變更條件、編寫變式題，然后進行題組化訓(xùn)練.其目的是讓學(xué)生熟悉考試題型，在短時間內(nèi)記住題型的解題方法，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)是很有幫助的.

① 題設(shè)條件不變，改變結(jié)論的設(shè)問方式.

(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)直線l定點(2, -1)，且與橢圓C相交于A，B兩點. 求證：直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值.(答案：定值為-1.)

② 將題設(shè)條件的橢圓改為雙曲線或拋物線，更改一些條件的數(shù)值，設(shè)問和結(jié)論不變.

(1)求雙曲線C的方程.(2)設(shè)不平行于x軸的直線l不經(jīng)過點P2，且與雙曲線C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為0，證明：直線l過定點.(答案：定點為(0，-3))

變式3已知拋物線C：y=ax2，點P(1,1)是拋物線C上一點 .

(1)求拋物線C的方程.(2)設(shè)直線l不經(jīng)過點P且與拋物線C相交于A，B兩點.若直線PA與直線PB的斜率的和為-1，證明：直線l過定點.(答案：定點為 (-1，2))

3.2 “不變”的味道

·不變的通性通法

直線與圓錐曲線的交點問題常常通過聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用求判別式、韋達(dá)定理逐一顯現(xiàn).這種“獨木橋”式的通性通法在高考中重點考查，不過選取不同的直線方程時會導(dǎo)致解題過程繁簡的差異，特別是在消元和運算求解能力上的要求就更高，涉及字母較多，需要消元，且伴隨繁雜的運算，這些常常是學(xué)生高考得分的絆腳石.顯然，運算能力仍然是高中數(shù)學(xué)重點考查的內(nèi)容之一，也是高考中突顯選拔、分層功能的重要體現(xiàn).因此，在課堂教學(xué)中學(xué)生應(yīng)加強這方面的訓(xùn)練，才能有更好的成績.

·不變的題設(shè)條件

在歷年高考題中，學(xué)生面對“突如其來”的題設(shè)需要找到關(guān)鍵詞、突破口、拆解的技巧.這些是解題教學(xué)中的審題部分.俗話說，“萬變不離其宗”.盡管每一年高考試題都是新面孔，但它們都可以在教材中找到熟悉的影子. 比如在解析幾何的教材中可以找到有關(guān)斜率和距離這兩個核心知識塊.形式如下：

①不變的斜率(k為斜率)

k1±k2=m(m為常數(shù))分別來自人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》選修2-1第81頁練習(xí)第5題、選修2-1第74頁練習(xí)第3題.

②不變的距離(d為距離)

d1±d2=m(m為常數(shù))分別來自人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書》選修2-1第38頁橢圓定義、第52頁雙曲線定義.

總之,在課堂教學(xué)中,對于經(jīng)典的試題教師應(yīng)該對學(xué)生多一點引導(dǎo).從不同角度去思考問題,就會得到不同的啟示,出現(xiàn)各種各樣的解法和反思,從而提高學(xué)生的解題能力.