廣東省恩平市年樂夫人學(xué)校

1 原題呈現(xiàn)

題目如圖,拋物線y=ax2+bx+x與x軸的交點(diǎn)為A(-6,0),與y軸的交點(diǎn)為C(0,3),且經(jīng)過點(diǎn)G(-2,3).

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作平行于y軸的直線與AC交于點(diǎn)Q,設(shè)ΔCPQ的面積為S,求S的最大值;

圖1

(3)若點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一交點(diǎn),點(diǎn)D、M在線段AB上,點(diǎn)N在線段AC上,∠DCB=∠CDB,CD是MN的垂直平分線,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

2 題目分析

本題考查的知識(shí)主要有,待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的基本性質(zhì)和綜合應(yīng)用,三角形中位線、等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).在(2)中設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),用代數(shù)式表示出PQ的長(zhǎng),然后引導(dǎo)學(xué)生求ΔCPQ的面積,實(shí)際上就是求S梯形QP OC與SΔP OC的差.同時(shí)注意函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.在(3)中推算出DM=DN=12BC是解題的突破口.

3 題目解答

(1)把A、C、G三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式,可得

點(diǎn)評(píng)本題考查知識(shí)點(diǎn)較多,綜合性質(zhì)很強(qiáng).在解題時(shí),先利用待定系數(shù)法,把A、C、G三點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式.

(2)因?yàn)镃(0,3),所以,可設(shè)直線AC解析式為y=kx+3.把A點(diǎn)坐標(biāo)代入,可得0=-6k+3,解得所以直線AC解析式為

點(diǎn)評(píng)在(2)中設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),用代數(shù)式表示出PQ的長(zhǎng),然后引導(dǎo)學(xué)生求ΔCPQ的面積,實(shí)際上就是求S梯形QP OC 與SΔPOC的差.再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值.

點(diǎn)評(píng)第(3)問由條件可求得可求得點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)及坐標(biāo)有∠DCB = ∠CDB和CD是MN的垂直平分線,可證明DN//BC 得出DN為ΔABC的中位線,所以從而得點(diǎn)M的坐標(biāo).

4 變式訓(xùn)練

變式訓(xùn)練1在(2)的條件下,延長(zhǎng)直線PQ 交拋物線于點(diǎn)M,線段MQ 會(huì)不會(huì)存在最大值,若存在,請(qǐng)把它求出來;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解析設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo),表示出MQ的長(zhǎng).yMQ=根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),得出線段MQ的最大值45.

變式訓(xùn)練2若點(diǎn)A,C的坐標(biāo)改為A(-3,0),與y軸的交點(diǎn)為在(2)的條件下,當(dāng)ΔCPQ為等腰三角形時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析因?yàn)樗?以∠ACO = 60°,因?yàn)镻Q 平行于y軸,所以∠CQP = 120°.若ΔCPQ為等腰三角形,則PQ = CO,因?yàn)椤螿PC = ∠QCP,∠QPC = ∠PCO,所以∠QCP = ∠PCO = 30°,所以PO =1,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)就求出來了.

變式訓(xùn)練3在線段OA 上是否存在點(diǎn)P,使∠PCB為直角? 若存在,請(qǐng)求出來;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解若∠PCB為直角,則∠PCO = ∠CBO.因?yàn)椤螦OC = ∠COB = 90°,所以ΔPOC ∽= ΔCOB,所以所以所以

5 教學(xué)反思

變式訓(xùn)練指在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式以及問題從不同角度、不同情形、不同背景做出有效變化,使其條件或結(jié)論的形式發(fā)生變化而本質(zhì)特征卻不變,從而達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的目的.教師要注重引導(dǎo)學(xué)生通過一題多解、一題多變、多題歸一等變式訓(xùn)練,鞏固和深化學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解,增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性、變通性、選擇性和獨(dú)創(chuàng)性,幫助學(xué)生從題海中跳出來,切實(shí)提高課堂教學(xué)效果.

總之,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是“經(jīng)”,策略是建立在良好雙基之上的“緯”.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,注意典型問題的變式訓(xùn)練,把學(xué)生的思維逐步引向深入,然后注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透和解題策略的指導(dǎo),才能切實(shí)提高中考復(fù)習(xí)效率.