廣東省東莞市東莞高級中學

高中數(shù)學新課程標準特別強調(diào)培養(yǎng)學生的六大核心素養(yǎng)(即數(shù)學抽象能力、邏輯推理能力、數(shù)學建模能力、直觀想象能力、數(shù)學運算能力、數(shù)據(jù)分析能力).課堂是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的主要陣地,問題是課堂的重要教學形式,合理有效的設問會大大提升課堂的效率,提高學生解決問題的能力,促進思維的發(fā)展,激發(fā)學習的興趣.那么,如何合理有效的設計數(shù)學問題呢? 本文以“直線的點斜式方程”一課為例,就高中數(shù)學課堂“設問”策略,淺談自己的一些思考,望能起到拋磚引玉的效果.

1 導向設問,達成目標

目標是教學的起點和歸宿,是課堂教學設計的基本依據(jù).課堂的設問應以目標為導向,問題的設計應圍繞目標來進行和展開.導向設問即從教學的內(nèi)容出發(fā),緊扣教學目標,強化教學重點,突破教學難點,有方向性的設計問題,引領學生,達成目標.在推導直線的點斜式方程時,我做了如下問題串設計:

問題1(1)過已知點A(-1,3)的直線有多少條? (2)斜率為-2的直線有多少條? (3)過已知點A(-1,3),且斜率為-2的直線有多少條?

設問意圖讓學生了解確定一條直線所需要的條件,定性的把握直線的情況.

問題2在平面直角坐標系中作出該直線,問:這條直線還經(jīng)過哪些點? 試找出五個點?

設問意圖因斜率為-2的直線所對的傾斜角不是特殊角,無法通過角度準確作出直線,以此引導學生再找一點,由兩點來作出該直線的圖象,從而訓練學生的數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析能力.再借助圖象,學生可以憑直觀感覺找出五個點,或也可借助斜率公式求出五個點,以此訓練學生的直觀想象能力和邏輯推理能力.

問題3這些點有何共同特征? 我們能否用一個等式來反映這些點滿足的關系?

設問意圖參照作圖找另一點過程,通過小組討論,歸納出這些點都在斜率為-2的直線上,再將點一般化,借助斜率公式,建立起任意點的坐標之間的關系,得到滿足條件的一般等式.通過設問,讓學生體會由特殊到一般的解題思想.

問題4這個等式關系是否可以刻畫出這條直線上所有的點?為什么?

設問意圖引出用方程表示直線所需滿足的條件,并讓學生總結由直線建立方程的一般步驟.

問題5若直線l 經(jīng)過點P0(x0,y0),斜率為k,則直線l的方程形式如何?

設問意圖在參照問題1(3)求直線方程的思路下,讓學生觸類旁通的推導出直線點斜式方程的一般形式,再次強化由特殊到一般的解題思路.

導向設問,要求教師既要從整體上把握教材設計意圖,深耕教材,挖掘本質(zhì),準確領會問題所蘊含的思想,又要深度研習課程標準,深刻理解課程標準要求,明確問題與教材的關系,并能找到問題與學生學習心理、習慣的聯(lián)系.同時,教師還要能準確把握目標,清楚不同的教學目標的作用和要求,明確其與學生發(fā)展的關系,以使問題具有更強的導向性.問題設計完成后,要與問題進行對話,不斷進行斟酌、修改、校正,直至問題有明確的導向性.實踐證明,問題的導向性越明確,學生的求知欲望就越高,教學目標達成度就越好.

2 適切設問,關注能力

適切設問是指問題的設計要切合學生學習的實際情況,以學生已掌握的知識為依據(jù),以學生的思維水平和探究能力為依托來設計問題.問題既要有一定的難度,又要讓學生通過努力能夠被解決,問題設計既要關注學生目前的能力水平,又要讓當前的能力得到發(fā)展和提升.

在得出直線的點斜式方程后,為加深學生對方程形式的認識和和理解,我設計了如下問題串:

問題6為什么將方程y-y1= k(x-x1)定義為直線的點斜式方程?

問題7過平面內(nèi)某一點的所有直線是否都能用點斜式方程表示?點斜式方程的適用條件是什么?

問題8若直線的斜率不存在,該直線方程形式如何?

問題9x軸和y軸所在的直線方程形式是怎樣的? 這兩個方程是否是直線的點斜式方程?

問題10若直線l 經(jīng)過點P0(x0,y0),斜率為k,則直線l的方程形式如何?

問題11直線l的斜截式方程和一次函數(shù)有何異同?

設問解析已推得的點斜式方程形式是學生認識的起點和基礎,但由于又是新知,學生對方程形式記憶不清,感受不深,問題6的設計引導學生觀察出“點”和“斜”兩個獨立的條件,有助于加深對方程形式的認識和記憶,問題設計符合學生認知需求,也不難解決.問題7、8是對點斜式方程形式的深度理解,有一定的難度,困難在于學生能否想到直線的斜率不存在這一特殊情況,能否正確寫出斜率不存在時的直線方程,但之前在學習直線的傾斜角和斜率時已探討過斜率不存在的情況,在這一基礎下,通過小組討論的形式,學生不難解決這個問題,這一問題的解決,又為設點斜式方程需要考慮斜率存在和不存在兩種情況的學習作好鋪墊,從而可進一步提升學生全面思考問題的能力.問題9是對問題6、8的鞏固認識,學生可以自行解決.問題7 至9的設計從斜率的角度來對方程的形式作了加深認識,問題10 則從點的特殊性來對方程的形式作了拓展認識,并進一步引出問題11,引導學生對比辨析初中的一次函數(shù),使得初高知識前后映襯,讓學習融會貫通,既有助于知識的自然形成,又有利于能力的自然發(fā)展.

學生是探究解決問題的主體,問題設計太難,學生無法開展探究,問題無法得到解決,能力無法得到發(fā)展.問題設計過易,學生缺少思維活動,思維活力不能被激發(fā),能力無法得到提升.所以,問題的設計要有適切性,即在設計問題時,老師必須充分了解學生的起點狀態(tài),準確把握學生的學習需求,在學生的“最近發(fā)展區(qū)”設計問題,才能真正的發(fā)展學生的能力.

3 層遞設問,發(fā)展思維

層遞設問是根據(jù)學生漸進式的認知規(guī)律,由淺入深、由易到難、逐層遞進的設計問題.在處理教學中的一些難點問題時,我們可以通過層遞設問的方式,設計具有一定內(nèi)在邏輯聯(lián)系和一定層次關系的問題,以“問題串”的形式,引導學生通過自主、合作和探究的方式逐步解決問題,引領學生進行系列的、連續(xù)的思維活動逐步提升思維.

在推導出直線的點斜式方程后,學生對直線的方程這一概念認識其實還是模糊不清的,為什么能用方程表示直線呢? 用方程表示直線要滿足怎樣的條件? 這就涉及到曲線與方程概念的本質(zhì)問題,這一問題既是本節(jié)課的教學難點之一,也是以后所學曲線與方程的難點之一.為解決這個問題,讓學生更好的理解直線與方程的關系,當學生求得問題1(3)的直線方程為后,我在課堂上設計了如下追問:

追問1 直線上的所有點都滿足上述方程嗎? 通過觀察,學生發(fā)現(xiàn):點A(-1,3)不滿足.

追問2 上述方程能否表示該直線,為什么?

通過小組討論,學生得出結論:不能表示,因為直線上的點A(-1,3)不是上述方程的解.

追問3 如何處理上述方程,才能使所得方程表示該直線?為什么? 通過合作探究,學生得出結論:方程y-3 = -2[x-(-1)]可表示該直線的方程,因為A(-1,3)此時也滿足這個方程.即方程y -3 = -2[x-(-1)]的所有解構成的點都在直線l 上,且直線l 上的任意一點的坐標(x,y)都是方程y-3=-2[x-(-1)]的解.

追問4 上述兩個方程的區(qū)別在哪里?

追問5 用方程刻畫直線需滿足的條件是什么?

通過自由討論,學生形成結論:方程的所有解構成的點都在直線上,且直線上的任意一點的坐標(x,y)都是方程的解.

追問6 用方程刻畫直線的實質(zhì)是什么?

通過師生共同辨析,形成結論:直線上的點可用數(shù)的形式來反映,即數(shù)形結合思想.直線上的點的坐標和方程的解之間建立起一個一一對應關系,它們是同一問題兩種不同的反映形式,一個是圖形特征,一個是代數(shù)關系.

層遞設問不僅要考慮問題之間的邏輯關系,還要考慮學生思維發(fā)展的特點,問題的層次性要求設問是逐漸的向著突破難點的方向進行,問題的遞進性要求設問難度跨度適合學生的能力水平.合理精準的層遞設問,切合學生的認知規(guī)律和思維發(fā)展特點,既能循序漸進的引導學生思維的發(fā)展,又能逐步加深學生對數(shù)學本質(zhì)的認識.

4 探究設問,激發(fā)興趣

探究設問是指問題的設計要有探究性,設問能夠激發(fā)學生的探究熱情,能夠引領學生進行自主探索,通過小組討論,學生能夠發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律和結論.在熟識直線的點斜式方程后,為進一步了解方程中的“點”和“斜”兩個獨立的條件對直線的影響,并導出平行直線系方程和共點直線系方程,我作了如下探究設計:

探究1 在同一平面直角坐標系中作出直線y = 2x,y =2x+1,y = 2x-1,y = 2x+2,y = 2x-2,這些方程表示的直線有什么共同特點? 你能用一個方程表示它們嗎?

探究2 在同一平面直角坐標系中作出直線y = 2,y =x+2,y = -x+2,y = 3x+2,y = -3x+2,這些方程表示的直線有什么共同特點? 你能用一個方程表示它們嗎?

探究3從以上的兩個探究中,你可以得出怎樣的一般性結論?

探究反饋探究1中,學生通過作圖觀察,主要形成兩個結論,一是五條直線都平行,二是相鄰兩平行直線間的距離都相等,探究2中,也主要形成兩個結論:一是五條直線都過點(0,2),二是直線y = x+2和y = -x+2 垂直.老師對探究1、2中的兩個結論一繼續(xù)進行引導探究,學生經(jīng)討論得出平行直線系方程y = 2x+b和共點直線系方程y = k+2,同時對兩個結論二進行設問:如何求兩平行直線間的距離? (為后續(xù)學習做鋪墊)如何證明兩條直線垂直? (引導學生運用上節(jié)知識k1·k2= -1 解決問題).探究3的開放性比較強,老師作好具體指引:對方程y-y1= k(x-x1)進行討論,學生得出結論:若只有k 確定,則該方程表示一系列平行的直線,若只有點(x1,y1)確定,則該方程表示過點(x1,y1)的一系列直線(直線x = x1除外),若k和點(x1,y1)都確定,則該方程表示的直線唯一確定.通過這一探究設問,引導學生開展探究活動,進一步加深了對直線點斜式方程的理解,既訓練了學生思維,又激發(fā)了學習興趣.

探究設問要求設計的問題兼具開放性和指向性,開放性照顧到全體學生的學習感受,讓不同層次的學生通過探究活動發(fā)現(xiàn)不同結論,收獲不同學習體驗,有助于調(diào)動學生的學習積極性,有益于激發(fā)學生的探究欲望,也有利于學生發(fā)散思維的培養(yǎng),指向性促使探究過程緊緊圍繞課堂教學目標展開,引領學生向著達成目標而開展探究活動,最終促使教學目標圓滿完成.

5 結束語

《學記》有云:“善問者如撞鐘,叩之以小者則小鳴,叩之以大者則大鳴;待其以容,然后盡其聲”.問題是數(shù)學課堂的重要形式,設問也是一門藝術,考驗著教師的功底和能力.從導向性、適切性、層遞性和探究性四個維度出發(fā),合理有效的進行課堂設問,對達成教學目標,培養(yǎng)學生思維,發(fā)展學生能力,提升學習興趣,有著十分重要的實際意義.