廣東省佛山市順德區(qū)北滘鎮(zhèn)莘村中學(xué)

題目在直角坐標系xoy中,直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),以坐標原點O為極點,x軸的正半軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為:

(1)求曲線C的直角坐標方程與直線l的普通方程;

課堂實錄

課堂上,學(xué)生甲用2分鐘左右在一體機板書完畢,(學(xué)生展示的答案與標準答案差不多)接下來是學(xué)生自我點評、師生對話片段.

學(xué)生甲:第(1)問比較容易,我就不再點評.(聽到這句話,老師微微一笑,并沒有打斷該同學(xué))現(xiàn)在請大家一起來看看第(2)問,第二問的難點是寫出新的直線參數(shù)方程的“標準”形式:即直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù)),將其代入圓的普通方程,再利用“套路”,即化為關(guān)于t的一元二次方程,再利用韋達定理解決.

師曰:展示得非常好,講評也非常到位.現(xiàn)在老師問你幾個問題.

學(xué)生甲:因為原直線的參數(shù)不經(jīng)過點P,不符合“套路”.

教師聽完后,點了點頭,繼續(xù)追問,

師問2:這兩個參數(shù)方程本質(zhì)一樣嗎?

學(xué)生甲:略微思考答,一樣,都是表示同一條直線,只不過選定的點不同.

師問3:這條直線的斜率是什么?可以快速確定嗎?

師繼續(xù)追問.

師問4:能夠從參數(shù)方程本身,快速“看”出斜率呢?

學(xué)生甲:······

見到學(xué)生答不上來,教師提示了一下學(xué)生思考參數(shù)方程的標準形式的特征,這時臺下有同學(xué)說,可以利用傾斜角快速判斷.學(xué)生甲恍然大悟,繼續(xù)回答,

教師表揚了一下該同學(xué),并示意該同學(xué)留在臺上,繼續(xù)追問:

學(xué)生甲:······

學(xué)生很迷惑地看著老師,不得其解,教師只好繼續(xù)引導(dǎo),師曰:實際上直線l的參數(shù)方程

這時學(xué)生甲徹底“斷片”了,不過臺下有部分學(xué)生反應(yīng)過了,幫她做了回答:不是.

教師繼續(xù)追問,

師問6:為什么不是呢?

教師伸出大拇指,表揚了下臺下的同學(xué),繼續(xù)追問:

師問7:如果你是老師,還可以如何改編這道題呢?

這時立即有個同學(xué)舉手回答了:老師,我覺得可以把條件中直線l的參數(shù)方程為:(t為參數(shù))修改為:(t為參數(shù)),這樣解題時必須先把這個式子轉(zhuǎn)為標準形式.這時全班同學(xué)如有所悟,紛紛點頭.

師曰:非常好.實際上,老師翻閱了下你們的答卷,絕大部分學(xué)生(包括學(xué)生甲)是直接將題干中的直線l的參數(shù)方程代入化簡求解的,從而導(dǎo)致后面幾乎沒有得到分數(shù).學(xué)生甲功底不錯,很快就根據(jù)出錯的問題很快就糾正了過來,說明一輪復(fù)習(xí)下來,她的基礎(chǔ)知識比較牢固,但是缺陷也是有的,那就是解題能力還有待提升,對問題沒有深入歸納和總結(jié),這也正是我們二輪復(fù)習(xí)的重點,即提升學(xué)生的解題能力、拓展學(xué)生的解題視野.

圖1

看到同學(xué)們所有所思地點點頭,教師繼續(xù)因勢利導(dǎo),值得高興和遺憾的是,這個同學(xué)解題懂得了“套路”,卻忽略問題本質(zhì)的思考和探究.實際上,若我們畫出圖形是有機會彌補這個致命缺陷的,但這個同學(xué)用了套路以為圖也就那樣,白白失去了一個“自我救贖”的機會.大家來看看這個圖,教師隨手快速畫出了草圖.

師曰:由圖1可知,點P 顯然在圓的內(nèi)部,所以根據(jù)直線的參數(shù)方程的幾何意義,t1,t2的值異號,而根據(jù)大部分同學(xué)的解法:

這顯然與參數(shù)t的幾何意義不符合,可以促使我們回過頭檢查下問題所在.這時候大部分同學(xué)包括在臺上的甲同學(xué)都徹底明白了,這個教育片段也可以說取得了一定的成功.

這個教學(xué)片斷因為教師在課堂上設(shè)置了比較好的鋪墊,恰到好處的問題,不斷地追問,幫助學(xué)生一步步追尋問題的“真相”,所幸的是教師充當?shù)闹皇且粋€導(dǎo)演,至始至終沒有代越庖俎,就算是最為“驚險”的地方也是想法讓學(xué)生自行探究和感悟,就像帶領(lǐng)學(xué)生坐在游樂場過山車的車廂上,親自感受,自然印象深刻,筆者認為這個片段的精彩之處在于教師的“逼問”和思維的碰撞,整個過程只有十分鐘不到,卻也能一氣呵成,學(xué)生也有所收獲.這個片段與真正“智慧靈動”課堂還有一定的差距,請讀者諸君批評指正.

一節(jié)課也好,一個成功的教育片段也好,上得再好,如果課外不鞏固,對于數(shù)學(xué)而言也是傷不起的,就像再精彩的廣告,雖然能夠當場吸引住人,但是過后大都會忘記,至少不會對其進行深入思考,更遑論總結(jié)升華呢? 授人以魚不如授人以漁.

補充練習(xí)

(1)求直線的普通方程;

(2)化參數(shù)方程為標準形式.

A.30°B.60°C.-45°D.135°

(1)求圓C的直角坐標方程;

(2)設(shè)圓C 與直線l 交于點A,B,若點P的坐標為(1,2),求|PA|+|PB|的最小值.

C的交點為A,B,設(shè)M為弦AB的中點.(1)已知P(1,4),求|MP|;

(2)若P(x,y)在曲線C 上,求ΔABP的面積最大值并求出此時的點P 坐標.

參考答案1.(1)4x + 3y - 50 = 0; (2)(t為參數(shù)).2.D.3.(1)x2+(y-3)2=9;點P的坐標