廣東省東莞市常平中學(xué)初中部

基本圖形一般是指在教材中描述圖形定義、公理、定理的圖形,以及一些具有代表性的例題和習(xí)題中的圖形.解析基本圖形,能夠幫助學(xué)生快速找到幾何綜合題的解題突破口,攻破教學(xué)難點,提升解題效率,發(fā)展學(xué)生的幾何直觀和邏輯推理能力.

1 提出問題

1.1 題目呈現(xiàn)

問題1如圖1,正方形ABCD中,E是對角線BD上一點,連接CE,過點E作EF⊥CE交AB于點F,求證:EF =EC.

圖1

這是八年級下冊《平行四邊形》期末復(fù)習(xí)中的一道練習(xí)題,在規(guī)定時間里全班48名學(xué)生僅有3人成功解答.其實本題的證明過程不算復(fù)雜,只要學(xué)生對正方形的軸對稱性有一定的感知,對此前學(xué)習(xí)正方形的性質(zhì)時解決過的一些基本圖形有所印象,比較容易想到的是添加一條輔助線構(gòu)造一對軸對稱的全等基本圖形的解題思路,如圖2,圖3.

圖2

圖3

以圖2為例,連接AE,易證ΔABE∽= ΔCBE(或ΔDEA∽= ΔDEC),得到EA=EC,∠1=∠2,然后由四邊形EFBC內(nèi)角和得出∠4+∠3 = 180°,再轉(zhuǎn)化出∠1 = ∠3,進(jìn)而EA=EF,最后等量代換證得EF=EC.

1.2 障礙分析

通過交流發(fā)現(xiàn),最初多數(shù)學(xué)生陷入了證明“ΔBFE∽= ΔDEC”的誤區(qū),找不齊全等的條件,一部分學(xué)生想到了添加輔助線,嘗試“連接FC,然后努力證等角對等邊”,朝這兩個方向努力的學(xué)生都感到條件“EF⊥EC”難以利用.說明學(xué)生對這類需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形的問題缺乏解題經(jīng)驗,對題目中隱含的基本圖形(如圖4,圖5)表征的識別存在較大困難,無法利用過往經(jīng)驗,造成解題效率低下.

圖4

圖5

2 利用基本圖形分析法的解題教學(xué)

解析基本圖形是中考壓軸幾何綜合題的重要解題技巧,為此筆者設(shè)計了一節(jié)添加輔助線,構(gòu)造三角形全等基本圖形的幾何證明習(xí)題課,旨在幫助學(xué)生掌握解析基本圖形的解題方法,形成轉(zhuǎn)化核心模型的解題意識.

2.1 三角形全等的基本圖形應(yīng)用舉例

習(xí)題課圍繞兩類三角形全等的基本圖形展開,第一類采用啟發(fā)引導(dǎo),第二類采用探究發(fā)現(xiàn)的方式.

題組1

(1)如圖6,已知AB//CD,點O是BD的中點,求證:ΔABO∽= ΔCDO.

(2)如圖7,ΔABC中,AB=AC,E是AC延長線上的一點,D是AB上一點,且CE=BD,連接DE,交BC于點F,求證:DF=EF.

圖6

圖7

題組2

(1)如圖8,AB=AC,AD平分∠BAC,求證:ΔABD∽= ΔACD.

(2)如圖9,ΔABC中,AD是角平分線,∠ABD=2∠C,求證:AC=AB+BD.

圖8

圖9

題組1的教學(xué)中,多數(shù)學(xué)生一開始未能發(fā)現(xiàn)圖6就是隱含在圖7中的基本圖形,通過引導(dǎo)學(xué)生觀察圖7中有無圖6的若干表征,一些學(xué)生終于懂得圍繞著以F點為頂點的一對對頂角構(gòu)造8 字全等形,通過合作交流,學(xué)生們又找出了幾種不同的做法,如圖10,過點D作AE的平行線,或者如圖11,過E點作AB的平行線,然后證一個小的等腰三角形和一對8 字形全等,也可以如圖12,分別過點D,點E作BC的垂線段,然后證兩次全等.

圖10

圖11

圖12

題組2的教學(xué)中,學(xué)生懂得了在圖9中找尋圖8的表征,約有三分之一的學(xué)生在規(guī)定時間里找到了添加輔助線構(gòu)造圖8這種對折全等形的辦法,如圖13,圖14.

圖13

圖14

兩個題組學(xué)完后,要求學(xué)生總結(jié)反思,在圖形中具有怎樣的表征時,可以嘗試構(gòu)造8 字全等形,具有怎樣的表征時,可以嘗試構(gòu)造對折全等形? 多數(shù)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)前者的表征包含有:平行線段,對頂角,后者的表征包含有:角平分線,公共邊,有4位同學(xué)還觀察到了圖7中隱含有平行四邊形對角線互相平分的模型.

2.2 教學(xué)效果檢測

題組3

(1)如圖15,B是AC上一點,分別以AB,BC為邊在AC同側(cè)作等邊ΔABD和等邊ΔBCE,連接DC,AE,求證:DC=AE.

(2)如圖16,D是等邊ΔABC外一點,連接BD,CD,AD,∠BDC=120°,求證:AD=BD+CD.

圖15

圖16

題組3中的第一題是之前學(xué)過的很熟悉的一道練習(xí),這里僅僅是出示給學(xué)生們溫習(xí)一下不需要再次解答,但是要求學(xué)生描出圖15中隱含的基本全等圖形,在規(guī)定時間里,全班有27名學(xué)生(約占總數(shù)56%)想到了延長BD到E,連接CE,構(gòu)造ΔBCE∽= ΔACD的辦法,如圖17,并能夠成功抽取出一對旋轉(zhuǎn)的全等模型,如圖18.

圖17

圖18

3 反思與建議

數(shù)學(xué)家G·波利亞的《怎樣解題》表中的精髓是啟發(fā)學(xué)生懂得去聯(lián)想,思考要解決的問題與過往早已解決的哪個問題有聯(lián)系,能否加以利用? 在解需要添加輔助線的這類幾何證明題時,能夠識別圖形中的若干表征,展開聯(lián)想,構(gòu)造出過往熟悉的基本圖形,是提升解題效率的關(guān)鍵.

3.1 進(jìn)行圖形分解,識別基本圖形

對圖形進(jìn)行分解,識別其中隱含的基本圖形,甚至是多個基本圖形,是解決中考壓軸的幾何綜合題的重要方法.近年來一些中考教研活動中,多位名師分享的中考中求解圓的綜合題的經(jīng)驗就是進(jìn)行圖形分解,還有的分享了利用Geogebra 軟件對圖形進(jìn)行解析,也大大提高了解題的效率.

對于八年級的學(xué)生來說,解答問題1 之前,其實都具有分析圖19,圖20的經(jīng)驗,但從問題1的答題情況來看,學(xué)生對之前學(xué)過的熟知圖形并未進(jìn)行深度分解.

圖19

圖20

圖19,圖20中都含有圖21,圖22這樣兩個基本圖形,而問題1中也含有圖22這樣一個基本圖形,當(dāng)很多學(xué)生感嘆問題1中的條件“EF⊥EC”難以利用時,其實是對過往的圖形缺乏深度分解與感知,否則還可以想到一種做法,就是過點E作EM⊥AB于點M,作EN⊥BC于點N,然后可以證明一個小正方形和一對全等的直角三角形,也能求解.

圖21

圖22

圖23

3.2 展開表征聯(lián)想,構(gòu)造基本圖形

有些題目,隱含著基本圖形,但是圖形不完整,難以直接分解,需要根據(jù)某些圖形表征,展開聯(lián)想,構(gòu)造出基本圖形.這就需要平時的教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生加深對基本圖形表征的認(rèn)識,達(dá)到見微知著的效果.

問題2如圖24,ΔABC中,AB= 6,AC= 10,AD平分∠BAC,BD⊥AD,點E是BC的中點,連接DE,求DE的長.

圖24

圖25

圖26

圖27

在這道題目中,引導(dǎo)學(xué)生對圖24中的角平分線,垂直和中點展開聯(lián)想,進(jìn)而能夠想到三線合一的基本圖形(如圖25),三角形中位線的基本圖形(如圖26),兩個基本圖形都導(dǎo)向延長BD的輔助線方法(如圖27).

3.3 樹立模型意識,提升解題能力

數(shù)學(xué)教育家羅增儒教授提倡在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,要善于對新問題展開聯(lián)想,辨別它是否屬于某個已經(jīng)掌握的類型,如果不直接屬于,那么能否進(jìn)行一些變化,使之屬于某個類型.在平面幾何的學(xué)習(xí)過程中,要引導(dǎo)學(xué)生積累所學(xué)的基本圖形,并把圖形的表征、性質(zhì),以及構(gòu)造的方法作為整體,進(jìn)行加工提煉,得出有長久保存價值的圖形模型和方法模型,建立模型庫,在解決新問題時,方便及時提取應(yīng)用,進(jìn)而提升解題能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

問題3如圖28,O是正方形ABCD內(nèi)部一點,OB=求正方形的面積.

問題4如圖29,O是等邊ΔABC內(nèi)部一點,OA=3,OB=4,OC=5,求∠AOB的度數(shù).

圖28

圖29

圖30

圖31

問題3的計算是有一定難度的,但是學(xué)生如果對之前學(xué)習(xí)勾股定理逆定理時求解過的問題4 有印象,那么就可以類比那種方法,繞B點順時針90°旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一對全等三角形(如圖30),利用勾股定理逆定理求出∠BPC的度數(shù),然后再用兩次勾股定理解ΔBPC(如圖31),求出BC的長,即可求解.

4 結(jié)語

幾何證明是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,也是一個難點,任何幾何問題都是由基本圖形構(gòu)成的,在教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生“一找,二用,三思考”.首先是會在復(fù)雜圖形中找出基本圖形,這就需要學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中重積累,能夠抓住基本圖形的本質(zhì)與表征;二是會正確使用基本圖形的性質(zhì),能夠?qū)D形中相關(guān)聯(lián)的幾何元素進(jìn)行定性定量的分析與轉(zhuǎn)換;三是會借助基本圖形,發(fā)散思維,進(jìn)行深度思考.思考基本圖形有哪些常見的變化? 變化中有著怎樣的規(guī)律? 不同的變化帶來哪些不同的解題方法? 方法之間有無共性等.

初中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)之一,就是教學(xué)生學(xué)會思考,基本圖形分析法的教學(xué)能夠有效地教會學(xué)生如何思考解決幾何問題,幫助學(xué)生發(fā)展直觀想象和邏輯推理能力,樹立模型意識,進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.