侯嵩來(lái)，侯俊華

(山西師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，041004，山西，臨汾)

0 引言

極化子結(jié)構(gòu)作為粒子與場(chǎng)相互作用的最簡(jiǎn)單模型，在固體量子系統(tǒng)、極性半導(dǎo)體甚至高溫超導(dǎo)體等許多方面都發(fā)揮著重要的作用。作為晶體中的基本載流子，對(duì)解釋離子晶體和極性半導(dǎo)體中的光學(xué)躍遷和輸運(yùn)現(xiàn)象也具有重要意義。其中極化子“穿衣”的概念已不僅限于電子－聲學(xué)聲子相互作用系統(tǒng)，更是物理學(xué)中的一個(gè)重要圖像[1－4]。當(dāng)電子在晶體中運(yùn)動(dòng)并同聲子云相互作用時(shí)，電子－聲子相互作用將影響遷移效應(yīng)，改變?nèi)缬行з|(zhì)量、遷移率和基態(tài)能等物理量。對(duì)于聲學(xué)極化子，存在一種自陷狀態(tài)，該狀態(tài)的轉(zhuǎn)變伴隨著基態(tài)能量與有效質(zhì)量的突變，同時(shí)也帶來(lái)許多新的物理現(xiàn)象與性質(zhì)。超導(dǎo)作為一種特殊的輸運(yùn)現(xiàn)象，低溫超導(dǎo)微觀機(jī)制正是電子－聲子相互作用。低溫超導(dǎo)BCS理論中的Cooper對(duì)也是電子與聲子相互作用產(chǎn)生的極化子效應(yīng)?，F(xiàn)已發(fā)展許多模型用于解釋高溫超導(dǎo)的微觀機(jī)制，而其中極化子－雙極化子模型是BCS理論的自然延伸[5－6]。因此，研究極化子的性質(zhì)有助于高溫超導(dǎo)模型的發(fā)展和完善。

石墨烯的發(fā)現(xiàn)帶來(lái)了許多新的物理現(xiàn)象及應(yīng)用前景。作為一種新型二維材料，石墨烯在許多方面極具特點(diǎn)，給凝聚態(tài)物理帶來(lái)了新的活力[7－9]。近來(lái)研究表明，2層石墨烯以1.1°扭曲在一起時(shí)會(huì)產(chǎn)生高溫超導(dǎo)效應(yīng)[10－11]。因此，結(jié)合石墨烯這一具體材料并研究其中極化子的自陷效應(yīng)，將對(duì)包括超導(dǎo)在內(nèi)的領(lǐng)域提供理論指導(dǎo)。

本文首先介紹石墨烯材料的特殊結(jié)構(gòu)及相關(guān)哈密頓量。用Huybrechts變分法分別導(dǎo)出了Dirac點(diǎn)附近和遠(yuǎn)離該點(diǎn)處的極化子基態(tài)能量。通過(guò)引入電子－聲子耦合常數(shù)，討論了極化子的自陷情況。

1 石墨烯中的電子－聲學(xué)聲子相互作用

石墨烯作為一種二維材料，由一層排列成蜂窩狀的碳原子組成。根據(jù)緊束縛近似可得其能帶結(jié)構(gòu)，并發(fā)現(xiàn)在Brillouin區(qū)的6個(gè)頂點(diǎn)上，石墨烯的價(jià)帶與導(dǎo)帶相連通，構(gòu)成無(wú)帶隙的半導(dǎo)體，且頂點(diǎn)附近的能帶呈線性色散關(guān)系，這些頂點(diǎn)稱為Dirac點(diǎn)。根據(jù)晶體中的有效質(zhì)量理論得出該點(diǎn)附近的有效質(zhì)量為零。因此，石墨烯中電子的運(yùn)動(dòng)將被無(wú)質(zhì)量的Dirac方程所代替，即Weyl方程

其中c是零質(zhì)量粒子的運(yùn)動(dòng)速度，即石墨烯中的Fermi速度。珝σ和珒p分別是二維系統(tǒng)中的Pauli矩陣和載流子動(dòng)量。正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)不同螺旋度。本文只考慮正螺旋部分，則電子的動(dòng)能可表示為

電子與聲學(xué)聲子的相互作用為

2 極化子的基態(tài)能量

為計(jì)算石墨烯體系中極化子的基態(tài)能量，采用Huybrechts變分法[13]對(duì)式(4)進(jìn)行2次變換。第1次通過(guò)正則變換

引入產(chǎn)生與湮滅算符b↑j、bj，則動(dòng)量與坐標(biāo)可重新表示為

其中a和λ是變分參數(shù)。為了計(jì)算能量本征值，必須進(jìn)行2次幺正變換。

其中fa為引入的位移振幅。

考慮石墨烯中電子與零聲子云組成的基態(tài)，對(duì)2次變換后的哈密頓量取平均可得極化子的基態(tài)能量為

根據(jù)對(duì)稱性可得，位移振子表示為

將該表示帶入(8)中并采取標(biāo)準(zhǔn)化處理得

再將Vq的表示帶入得基態(tài)能量，有

當(dāng)電子遠(yuǎn)離Dirac點(diǎn)時(shí)，電子－聲學(xué)聲子相互作用可由形變勢(shì)理論得[12]:

則該體系下哈密頓量表示為

通過(guò)引入無(wú)量綱常數(shù)

再次運(yùn)用Huybrechts變分法并采用Hou的處理方法[14]，得到基態(tài)能量為

這一表示正是純二維系統(tǒng)中極化子基態(tài)能量的表達(dá)式，與文獻(xiàn)[14]所得結(jié)果一致。

3 數(shù)值結(jié)果與討論

前面分別計(jì)算了二維石墨烯體系中2種情況下極化子的基態(tài)能量，式(11)和式(16)分別代表Dirac點(diǎn)處與遠(yuǎn)離Dirac點(diǎn)的基態(tài)能量。式(11)表明基態(tài)能量只有關(guān)于波矢的積分項(xiàng)，而式(16)表明能量由兩部分組成:關(guān)于波矢的積分項(xiàng)和變分參量的常數(shù)項(xiàng)。基于以往對(duì)極化子能量問(wèn)題的研究[15]，在Huybrechts變分法中，含有變分參量的常數(shù)項(xiàng)來(lái)源于電子動(dòng)能項(xiàng)中引入動(dòng)量的線性組合算符(6a)。也就是說(shuō)，它代表了電子本身的特性。而波矢積分項(xiàng)是電子與聲子相互作用的表示。自陷是電子在聲子云中的束縛狀態(tài)，是電子和聲子以各自獨(dú)立狀態(tài)相耦合的結(jié)果。式(11)表明，當(dāng)電子接近Dirac點(diǎn)時(shí)，基態(tài)能量公式中只有電子－聲學(xué)聲子相互作用的復(fù)合成份，即電子同晶格振動(dòng)的整體耦合，而沒(méi)有代表電子自身個(gè)體屬性的動(dòng)能項(xiàng)。因此，在這種狀態(tài)下，電子不能形成正常的極化子，進(jìn)而不會(huì)發(fā)生自陷轉(zhuǎn)變。

對(duì)于遠(yuǎn)離該點(diǎn)的非相對(duì)論效應(yīng)，仍采用截止波矢與耦合常數(shù)乘積的判據(jù)方式，運(yùn)用數(shù)值方法計(jì)算了聲學(xué)極化子基態(tài)能量與耦合常數(shù)之間的關(guān)系，如圖1所示

圖1 二維石墨烯中聲學(xué)極化子的基態(tài)能量同電子－聲學(xué)聲子耦合常數(shù)α的關(guān)系

基于式(16)可知，當(dāng)電子遠(yuǎn)離Dirac點(diǎn)時(shí)，表現(xiàn)為正常極化子行為，并從圖1可得，極化子基態(tài)能量隨耦合常數(shù)的增大而減小。當(dāng)耦合常數(shù)增大到一定值時(shí)，能量曲線出現(xiàn)拐點(diǎn)，極化子能量突然下降，該點(diǎn)即表示從近自由態(tài)到自陷態(tài)的轉(zhuǎn)變。將該點(diǎn)處的耦合常數(shù)定義為臨界耦合常數(shù)αc，可以得到自陷躍遷的條件為αcq0≥0.6，這與Hou的工作[14]即理想二維系統(tǒng)模型中的結(jié)論是一致的。

現(xiàn)對(duì)狄拉克點(diǎn)處無(wú)法形成極化子進(jìn)而無(wú)自陷轉(zhuǎn)變進(jìn)行解釋:由于石墨烯的特殊能帶結(jié)構(gòu)，電子以零質(zhì)量的形式存在于零帶隙附近，這意味著電子具有相對(duì)論效應(yīng)。而極化子是慢電子與晶格振動(dòng)即聲子相互作用構(gòu)成的準(zhǔn)粒子，是晶體中緩慢運(yùn)動(dòng)電子的一種表現(xiàn)屬性?，F(xiàn)以單價(jià)金屬中電子同LA聲子互作用的哈密頓量為例就電子的躍遷變化頻率同聲子頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系做簡(jiǎn)要定性說(shuō)明:不計(jì)自旋，運(yùn)用中島變換[16]可得該系統(tǒng)中電子－聲子－電子的有效相互作用為

該哈密頓量為晶體中電子同相近的另一電子相互作用的表示，而作用媒介是電子對(duì)晶格的影響，即電子－聲子相互作用。該式并非極化子情況下的相互作用，而是在未形成極化子時(shí)晶體中電子－聲子相互作用的表現(xiàn)，前文關(guān)于哈密頓量的表示皆是在假定電子運(yùn)動(dòng)構(gòu)成極化子的前提下。因此，在分析形成極化子所應(yīng)滿足的電子－聲子相互作用時(shí)，運(yùn)用該式進(jìn)行說(shuō)明。其中Dq為電子－

聲學(xué)聲子相互作用系數(shù);Vkq符號(hào)反映晶體中兩電子之間相互作用的性質(zhì)，取正時(shí)電子之間相互排斥，取負(fù)時(shí)相互吸引;ωq表征晶格畸變響應(yīng)電子的頻率。當(dāng)電子－聲子相互作用，能量由εk躍遷至εk+q，其改變的快慢，即躍遷頻率由ω表示。只有當(dāng)聲子頻率大于電子的躍遷頻率時(shí)，電子庫(kù)侖勢(shì)造成的晶格畸變才可被晶格及時(shí)響應(yīng)，并導(dǎo)致電子周?chē)姓姾杉?。而?dāng)電子躍遷頻率大于聲子頻率時(shí)，電子庫(kù)侖勢(shì)的作用得不到及時(shí)的響應(yīng)，也就不會(huì)產(chǎn)生圍繞電子集體效應(yīng)。當(dāng)電子在特定結(jié)構(gòu)中具有相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，由于電子的快速遷移率，晶格振動(dòng)頻率不能及時(shí)對(duì)電子的庫(kù)侖勢(shì)做出響應(yīng)。這樣就不可能形成由電子極化所產(chǎn)生的正常極化子，更不用說(shuō)形成自陷態(tài)。

4 結(jié)論

本文用Huybrechts變分法分別計(jì)算了石墨烯中Dirac點(diǎn)和非Dirac點(diǎn)處極化子的基態(tài)能量。結(jié)果表明，由于狄拉克點(diǎn)附近電子的相對(duì)論效應(yīng)，不能形成正常的極化子。在電子遠(yuǎn)離狄拉克點(diǎn)時(shí)，聲學(xué)極化子基態(tài)能量與電子－聲子耦合常數(shù)的關(guān)系符合理想二維理論的結(jié)論。即用石墨烯材料驗(yàn)證了二維體系中聲學(xué)極化子自陷判據(jù)的合理性。