趙彬杉　黃慧章

[摘 要]量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，進(jìn)而認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的工具。分?jǐn)?shù)是在分物、度量和計(jì)算中產(chǎn)生的。在教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，教師不僅要從均分的角度幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義，還要從度量的角度加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，分?jǐn)?shù)的度量可以理解為分?jǐn)?shù)單位的累加。因此，教師在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)度量情境，開展度量操作活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷度量的過程，從度量的角度感悟分?jǐn)?shù)的豐富內(nèi)涵，拓展學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，體會(huì)度量的價(jià)值，發(fā)展學(xué)生的度量意識(shí)。

[關(guān)鍵詞]分?jǐn)?shù);度量;本質(zhì);意義

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2020）05-0015-03

史寧中教授指出：“度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)語言，是人認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具。”教師如何基于度量的本質(zhì)去解讀教材？如何設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷單位的產(chǎn)生過程、單位的累加過程，形成單位的觀念，并以此為標(biāo)準(zhǔn)學(xué)會(huì)估計(jì)，形成符號(hào)意識(shí)和數(shù)感，積累度量活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)？

一、理論學(xué)習(xí)中理解度量的意義

昂利·彭加勒在《科學(xué)與方法》中指出：“如果沒有測(cè)量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間?！笨梢?，度量在數(shù)學(xué)中有著重要的地位。但什么是度量，如何把握度量本質(zhì)？

1.度量的含義

度就是公度，指的是統(tǒng)一的單位;量就是測(cè)量;度量就是用統(tǒng)一的單位去測(cè)量。

2.度量的本質(zhì)

度量的本質(zhì)是指度量的對(duì)象包含多少個(gè)單位。例如長(zhǎng)度的度量就是指度量對(duì)象包含多少個(gè)長(zhǎng)度單位;分?jǐn)?shù)的度量就是指這個(gè)分?jǐn)?shù)包含多少個(gè)分?jǐn)?shù)單位。

3.度量的類型

度量分為抽象度量和具象度量。抽象度量是用計(jì)數(shù)單位（通過抽象得到的度量單位）去計(jì)數(shù)（數(shù)數(shù)），著力于數(shù)感的培養(yǎng)。具象度量是用計(jì)量單位（工具）測(cè)量，著力于量感的培養(yǎng)。

二、教材解讀中把握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)

張丹教授指出：“對(duì)于分?jǐn)?shù)意義的理解應(yīng)關(guān)注兩個(gè)維度（比和數(shù)）和四個(gè)具體方面（比率、度量、運(yùn)作和商）。它們相輔相成，共同承擔(dān)著學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義豐富性認(rèn)識(shí)的建構(gòu)?！边@四個(gè)方面中最容易被忽略的就是度量。分?jǐn)?shù)的度量可以理解為分?jǐn)?shù)單位的累加，但教師大多關(guān)注的是分?jǐn)?shù)單位的定義以及分辨一個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位是多少，忽略了分?jǐn)?shù)單位的價(jià)值和度量意義。

不少版本的教材在介紹分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生和意義時(shí)，安排的都是“分物”情境。人教版教材雖然編排了一個(gè)“度量”情境，但是并沒有解決“剩余繩子不足一節(jié)時(shí)應(yīng)如何表示”的問題，仍然是從分物開始探究分?jǐn)?shù)的意義。因此，教師在教學(xué)分?jǐn)?shù)意義時(shí)，基本都是從平均分的角度入手，忽略了度量角度。

北師大版教材的“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)（二）”則從度量的角度進(jìn)一步闡明分?jǐn)?shù)的意義，為教學(xué)提供了鮮活的情境。教材以四個(gè)問題串來呈現(xiàn)：?jiǎn)栴}1是讓學(xué)生用附頁中的規(guī)定長(zhǎng)度紙條量數(shù)學(xué)書的長(zhǎng)和寬，寬剛好是3個(gè)紙條，而長(zhǎng)是4個(gè)紙條多一些，不能正好量完，該怎么辦？問題2是讓學(xué)生繼續(xù)用這個(gè)紙條想辦法量剩余部分，要正好量完，并用分?jǐn)?shù)表示度量結(jié)果;問題3是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)墻的特點(diǎn)，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位;問題4是揭示分?jǐn)?shù)單位的概念。

我對(duì)教材的理解：一是創(chuàng)設(shè)度量情境，感受分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生是實(shí)際測(cè)量的需要;二是開展實(shí)際度量，創(chuàng)造分?jǐn)?shù)單位，深化分?jǐn)?shù)的意義;三是借助分?jǐn)?shù)墻的直觀模型，理解分?jǐn)?shù)單位的意義和價(jià)值。

三、實(shí)際度量中拓展分?jǐn)?shù)的意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)該是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。認(rèn)真聽講、積極思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流等，都是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式?！币虼耍處煈?yīng)給予學(xué)生充分的探索和操作活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)際度量中感受分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生和累加過程，從度量角度拓展分?jǐn)?shù)的意義。

1.動(dòng)手測(cè)量，感受分?jǐn)?shù)單位產(chǎn)生的必要性

著名兒童心理學(xué)家皮亞杰曾說過：“智慧從動(dòng)作開始，學(xué)生的多種感官參與認(rèn)知活動(dòng)，可以使信息不斷地刺激細(xì)胞，促使思維活躍，便于儲(chǔ)存和提取信息，同時(shí)易于激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力?！币虼?，教師要設(shè)計(jì)操作活動(dòng)，通過測(cè)量激活學(xué)生的度量經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)單位產(chǎn)生的必要性。

[活動(dòng)一]用附頁中的紙條（長(zhǎng)6厘米、寬1.5厘米）量一量數(shù)學(xué)書的長(zhǎng)和寬，并記錄測(cè)量的結(jié)果。

首學(xué)：獨(dú)立測(cè)量，記錄結(jié)果。

共學(xué)： 匯報(bào)結(jié)果，引發(fā)思考。

學(xué)生在測(cè)量時(shí)，把紙條的長(zhǎng)當(dāng)作“1”去度量，先量寬，1個(gè)1、2個(gè)1、3個(gè)1，3次正好量完;再量長(zhǎng)，1個(gè)1、2個(gè)1、3個(gè)1、4個(gè)1，不能正好量完。因此數(shù)學(xué)書的寬正好是3個(gè)紙條的長(zhǎng)度，長(zhǎng)是4個(gè)紙條多一些，不能正好量完。

小結(jié)：用“1”這個(gè)單位可以量出2、3、4……看來整數(shù)是可以量出來的。

提問：多出來的部分不能用1個(gè)紙條量完，該怎樣繼續(xù)量下去才能正好量完？如何表示這部分的長(zhǎng)度呢？

通過測(cè)量活動(dòng)，讓學(xué)生積累測(cè)量的初步經(jīng)驗(yàn)。在用“1”不能測(cè)量時(shí)，教師提出的問題能有效激發(fā)學(xué)生探究知識(shí)的欲望，使學(xué)生在實(shí)際操作中體會(huì)到分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生是實(shí)際測(cè)量的需要，為進(jìn)一步從度量的角度認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)做準(zhǔn)備。

2.實(shí)際度量，豐富對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解

度量的核心要素是度量單位和度量值。因此，從度量角度教學(xué)分?jǐn)?shù)，關(guān)鍵是建立“分?jǐn)?shù)單位”和“數(shù)出分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)”。

[活動(dòng)二]想辦法繼續(xù)用附頁中的紙條測(cè)量剩余部分，使其正好量完，并表示測(cè)量結(jié)果。

測(cè)量方法：用這個(gè)紙條 去度量，

測(cè)量結(jié)果：剩余部分長(zhǎng)[（? ? ? ）（? ? ? ）]個(gè)紙條。

首學(xué)：自主嘗試，探究方法。

互學(xué)：小組交流，說說自己的度量方法、度量過程和度量結(jié)果。

群學(xué)：全班交流，完善方法。

生1：我把紙條對(duì)折一次，發(fā)現(xiàn)不能剛好量完;我就再對(duì)折一次，量了1次正好量完。因此剩余部分是[14]個(gè)紙條長(zhǎng)。

共學(xué)：師生對(duì)話，把握本質(zhì)。

師：在剛才的度量過程中，把紙條對(duì)折一次其實(shí)就是把這個(gè)紙條平均分成幾份？

生2：兩份。

師：取其中的1份也就是這個(gè)紙條的多少？

生3：[12]。

師：也就是以[12]個(gè)紙條作為標(biāo)準(zhǔn)去度量，發(fā)現(xiàn)還是不能正好量完，于是再對(duì)折一次，也就是把這個(gè)紙條平均分成幾份？以多少為標(biāo)準(zhǔn)去量？

生4：平均分成4份，以[ 14]個(gè)紙條長(zhǎng)作為標(biāo)準(zhǔn)去度量。

師：誰再來說說多出的部分為什么是[14]個(gè)紙條長(zhǎng)？

生5：因?yàn)槲覀儼堰@個(gè)紙條對(duì)折兩次，也就是平均分成了4份去量。

師：請(qǐng)你們用剛才的方法再量一下，注意邊量邊說你們量的過程和方法。

師：用[14]這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，還可以度量出哪些分?jǐn)?shù)？

生6：[24]、[34]、[44]。

師：請(qǐng)說得更詳細(xì)點(diǎn)，你是如何量出這些分?jǐn)?shù)的？

生6：用[14]作為標(biāo)準(zhǔn)去度量，2個(gè)[14]是[24]，3個(gè)[14]是[34]，4個(gè)[14]就是1。

師：在度量數(shù)學(xué)書的長(zhǎng)的剩余部分的過程中，當(dāng)用“1”不能度量時(shí)，我們要?jiǎng)?chuàng)造更小的單位去度量。

通過以上實(shí)際度量活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)到當(dāng)“1”不能測(cè)量時(shí)，需要更小的單位去度量，于是創(chuàng)造出更小的度量單位，也就是分?jǐn)?shù)單位，并深刻理解了[12]、[14] 這樣的分?jǐn)?shù)單位的意義。而教師的“追問”，讓學(xué)生再次體會(huì)單位的作用，通過單位的累加可以得到更多的分?jǐn)?shù)，從而從度量角度拓展了分?jǐn)?shù)新的意義：將給定的長(zhǎng)度等分，用其中的一份作為新的長(zhǎng)度單位去量物體的長(zhǎng)度，如果正好量完，就可用分?jǐn)?shù)表示物體的長(zhǎng)度。

3.借助直觀，建立分?jǐn)?shù)單位的意義

量感不僅僅是“1個(gè)單位”標(biāo)準(zhǔn)，更多的是標(biāo)準(zhǔn)量的累加應(yīng)用。因此，借助分?jǐn)?shù)墻這一直觀模型，讓學(xué)生在分?jǐn)?shù)墻的制作過程和觀察分?jǐn)?shù)墻的活動(dòng)中，充分體會(huì)分?jǐn)?shù)單位的產(chǎn)生和累加過程，深刻認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位的意義和價(jià)值，領(lǐng)悟分?jǐn)?shù)可以是以某個(gè)分?jǐn)?shù)單位為計(jì)數(shù)單位進(jìn)行累加得到的結(jié)果，加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。操作活動(dòng)不僅僅是動(dòng)手做，還應(yīng)該動(dòng)眼看、動(dòng)腦思，做到眼、手、腦并用。因此，在這一觀察活動(dòng)中我設(shè)計(jì)了三個(gè)問題，形成一個(gè)問題串：

【問題1】當(dāng)“1”不能正好量完時(shí)，我們把1平均分成兩份，用其中的[12]作為單位去量，還想到把1平均分成4份，用其中的[14]作為單位去量，把1平均分8份，用其中的[18]作為單位去量……還可以平均分成幾份，用什么作為單位去量？

生1：可以把“1”平均分成3份，用[13]作為單位去度量。

生2：還可以用[15]、[16]、[17]……作為單位去量。

出示分?jǐn)?shù)墻的左半邊起始部分：

師：由“1”我們可以量出2、3、4等，還可以將1平均分成幾份，像[12]、[13]、[14]……這樣把“1”平均分成若干份，取其中的1份的分?jǐn)?shù)，數(shù)學(xué)上稱之為“分?jǐn)?shù)單位”。

【問題2】用這些分?jǐn)?shù)單位還可以度量出哪些分?jǐn)?shù)？

生1：我用[13]作為單位去度量，2個(gè)[13]是[23]，3個(gè)[13]就是1。

生2：我用[14]作為單位去度量，2個(gè)[14]是[24]，3個(gè)[14]是[34]，4個(gè)[14]就是1。

……

師：看來用不同的分?jǐn)?shù)單位可以度量出不同的分?jǐn)?shù)，從而形成分?jǐn)?shù)墻這一直觀模型。（動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)“分?jǐn)?shù)墻”的形成過程;如圖2）

【問題3】觀察由分?jǐn)?shù)單位組成的分?jǐn)?shù)墻，有什么特點(diǎn)？你發(fā)現(xiàn)了什么？（圍繞這一問題展開四學(xué)活動(dòng)）

首學(xué)：自主觀察，初步認(rèn)識(shí)。

互學(xué)：小組交流，豐富認(rèn)識(shí)。

群學(xué)：全班交流，完善認(rèn)識(shí)。

生1：我豎著看，分?jǐn)?shù)單位的分母越來越大，分?jǐn)?shù)單位就越來越小。

生2：我橫著看，分?jǐn)?shù)單位的分母是幾，這一排中（整體“1”）就有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。

共學(xué)：師生對(duì)話，把握本質(zhì)。

師（小結(jié)）：橫向觀察分?jǐn)?shù)墻發(fā)現(xiàn)，把一張紙條平均分成幾份，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一，“1”中就有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位;縱向觀察分?jǐn)?shù)墻發(fā)現(xiàn)，只要把這個(gè)整體“1”平均分成不同的份數(shù)，還會(huì)有無數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)單位，并且越往下平均分的份數(shù)越多，得到的分?jǐn)?shù)單位就越小，也就是說，分母越大，分?jǐn)?shù)單位越小。

師：在認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)，我國(guó)采用十進(jìn)制計(jì)數(shù)單位，用“一”去量，十個(gè)一是十，再用“十”去量，十個(gè)十是一百，再用“百”去量，十個(gè)百是一千……今天我們知道了當(dāng)用“一”不能度量時(shí)，可以將“一”分成更小的單位去度量，如用[12]、[14]、[18]、[116]……這樣的分?jǐn)?shù)單位去度量。因此，分?jǐn)?shù)單位是計(jì)數(shù)單位的一個(gè)拓展、一個(gè)延伸，它是分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位。（課件動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)累加和分的過程，如圖3）

在這一觀察操作活動(dòng)中，教師用課件呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)墻的動(dòng)態(tài)形成過程，從而讓學(xué)生深刻感受分?jǐn)?shù)單位的意義和價(jià)值，領(lǐng)悟分?jǐn)?shù)可以是以某個(gè)分?jǐn)?shù)單位為計(jì)數(shù)單位進(jìn)行累加而得到的結(jié)果，加深對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。最后借助直觀模型溝通整數(shù)計(jì)數(shù)單位與分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位的聯(lián)系，幫助學(xué)生建構(gòu)完整的計(jì)數(shù)單位體系。

四、實(shí)踐運(yùn)用中提升度量意識(shí)

“量感”是需要在度量實(shí)踐中培養(yǎng)和發(fā)展的。在結(jié)課環(huán)節(jié)，我設(shè)計(jì)了三道練習(xí)題，重在讓學(xué)生感受任意一個(gè)分?jǐn)?shù)都是由分?jǐn)?shù)單位累加而成的，從而體會(huì)到“用同一個(gè)分?jǐn)?shù)單位，度量次數(shù)越少得到的分?jǐn)?shù)就越小，度量次數(shù)越多得到的分?jǐn)?shù)就越大;整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)都是可以度量出來的”，從而溝通了整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的聯(lián)系。

華羅庚先生曾經(jīng)說過：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量。”分?jǐn)?shù)是在分物、度量和計(jì)算中產(chǎn)生的。對(duì)于“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)（二）”這一課，教師從度量的角度展開教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷度量的過程，從度量的角度感悟分?jǐn)?shù)的豐富內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解，體會(huì)度量的價(jià)值。

（責(zé)編 金 鈴）