趙 磊 趙新華 李 彬 周海波 楊玉維 劉 涼

(1.天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300384； 2.天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 天津 300384；3.機(jī)電工程國家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心(天津理工大學(xué))， 天津 300384)

0 引言

1987年，Kane對大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)彈性梁進(jìn)行了研究，指出在大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)為高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，傳統(tǒng)混合坐標(biāo)建模方法得到彈性梁的變形將無限增大，出現(xiàn)動(dòng)力剛度為負(fù)、角位移發(fā)散的情況，這與實(shí)際情況相反[1-2]。傳統(tǒng)混合坐標(biāo)建模方法對低頻的大范圍運(yùn)動(dòng)和高頻的柔性體小變形運(yùn)動(dòng)之間的耦合處理過于簡單，所以只適用于剛體大范圍運(yùn)動(dòng)情形。學(xué)者們圍繞動(dòng)力剛度項(xiàng)的存在及其與系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的關(guān)系進(jìn)行了大量研究，對傳統(tǒng)混合坐標(biāo)模型進(jìn)行修正，主要有非線性有限元法、附加初始應(yīng)力幾何剛度法、幾何非線性法和子結(jié)構(gòu)法等[3-5]。這幾種方法均采用不同的近似方法增加動(dòng)力剛度，并沒有從力學(xué)理論角度研究這種大范圍高速運(yùn)動(dòng)與柔性體小變形運(yùn)動(dòng)之間的耦合關(guān)系。近年來，高精密控制系統(tǒng)在汽車、造船、核工業(yè)、機(jī)械制造、航空航天和設(shè)備裝配等工業(yè)領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用[6-7]。

當(dāng)彈性梁作大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，機(jī)電耦合效應(yīng)下產(chǎn)生的非線性振動(dòng)嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的控制精度[8-12]。在航天器機(jī)械臂設(shè)計(jì)中，在保證輕質(zhì)大范圍工作空間的基礎(chǔ)上，又需保證較高的控制精度。經(jīng)常因結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的優(yōu)化需要不斷更改結(jié)構(gòu)參數(shù)，導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)性質(zhì)發(fā)生變化，影響系統(tǒng)的控制精度[13-14]。對于大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)的彈性梁而言，應(yīng)用有限元法分析需要進(jìn)行大量的復(fù)雜計(jì)算，這在柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中難以承受。大量的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型都含有小參數(shù)，對非線性的復(fù)雜方程在無法求出精確解的前提下，求出一致有效的近似解尤其重要，故攝動(dòng)理論得到廣泛應(yīng)用[15]。此外，隨著系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)雜化，數(shù)值類解耦方法廣泛得到應(yīng)用，如多尺度法[16-17]。DENG等提出了一種基于多尺度形變特征卷積網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)檢測方法，利用可形變卷積網(wǎng)絡(luò)對具有尺度和方向變化的遙感圖像目標(biāo)進(jìn)行特征提取[18-19]。攝動(dòng)法的有效性在機(jī)器人動(dòng)力學(xué)解耦、多尺度圖像處理和非線性能量阱的動(dòng)力學(xué)分析等實(shí)際工程中已經(jīng)得到驗(yàn)證，具有計(jì)算量小、解耦效率高的優(yōu)勢，尤其適于強(qiáng)耦合、非線性系統(tǒng)的求解[20]。

本文在正則攝動(dòng)基礎(chǔ)上，應(yīng)用多尺度原理拓展時(shí)間尺度，從快、慢兩個(gè)尺度描述彈性梁剛?cè)狁詈献饔孟碌姆蔷€性振動(dòng)特征，以解決經(jīng)典正則攝動(dòng)法存在的低階攝動(dòng)求解精度較低的問題。

1 剛?cè)狁詈显砼c運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

1.1 剛?cè)狁詈显?/h3>

將柔性細(xì)長連桿作歐拉-伯努利梁假設(shè)，大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，彈性梁存在其自身變形的同時(shí)還存在自身變形與工作范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)相互耦合產(chǎn)生彈性體耦合振動(dòng)。連桿上任一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)彈性變形位移描述如圖1所示。

圖1 彈性梁剛?cè)狁詈线\(yùn)動(dòng)Fig.1 Rigid and flexible coupling motion of elastic beam

圖2 運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系Fig.2 Kinematic coordinate system

1.2 彈性梁小變形位移運(yùn)動(dòng)學(xué)約束關(guān)系

由空間矢量法可得

r=r0+ρ0+κ

(1)

(2)

式中ω——繞zf軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

則梁上任意一點(diǎn)的位移κ與對應(yīng)中線點(diǎn)的位移λ有如下關(guān)系

(3)

式中λ1——對應(yīng)中線上點(diǎn)在x軸的位移

λ2——對應(yīng)中線上點(diǎn)在y軸的位移

λz——中線耦合變形量

2 非線性動(dòng)力學(xué)建模

考慮柔性問題，基于大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)彈性梁的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束關(guān)系，慣性力所做虛功包括不考慮中線耦合變形所做的虛功δW0和中線耦合變形所做的虛功δWz，則有

(4)

(5)

(6)

式中γ——彈性梁密度

A——等截面梁面積

L——彈性梁長度

歐拉-貝努利梁不考慮剪切應(yīng)變產(chǎn)生的應(yīng)變能，設(shè)彈性梁由正交各向同性線性材料構(gòu)成,則有

(7)

式中E——彈性模量

εxx——x方向的正應(yīng)變

Π——彈性梁變形能

考慮幾何非線性影響，應(yīng)變與幾何非線性關(guān)系為

(8)

由式(7)和式(8)可得

Π=Π1+Π2

(9)

其中

式中I——截面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

Π1——不考慮幾何非線性時(shí)線性彈性項(xiàng)

Π2——幾何非線性所產(chǎn)生的變性能

由于Π2在動(dòng)力學(xué)方程中以彈性力的形式出現(xiàn)，故這里只考慮線性彈性模型，則其轉(zhuǎn)動(dòng)下的變形能為

(10)

對于彈性梁連續(xù)體，應(yīng)用Galerkin法假設(shè)彈性梁變形位移為

ω=φq

(11)

式中φ——假設(shè)模態(tài)陣

q——模態(tài)坐標(biāo)陣

應(yīng)用Hamilton最小作用原理可得

(12)

式中HL——Hamilton函數(shù)

δω——外力所做的虛功

不計(jì)外力作用，由式(6)、(9)和式(12)可得作大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)彈性梁的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型。

3 動(dòng)力學(xué)解耦與精度分析

Euler梁振動(dòng)以橫向?yàn)橹?，且高階非線性對橫向振動(dòng)特性影響很小，可忽略不計(jì)[21]。本文考慮大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)彈性梁自身阻尼影響，設(shè)阻尼比為η，則梁橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可簡化為

(13)

式中ωn——固有頻率q——橫向振幅

3.1 正則攝動(dòng)解耦及精度分析

3.1.1正則攝動(dòng)式建立

設(shè)q(t,η)為式(13)的解,并以冪級(jí)數(shù)形式展開

q(t,η)=q0(t)+ηq1(t)+η2q2(t)+…

(14)

式中qk(t)——未知項(xiàng)(k=0,1,2,…)，由初始條件決定

通常攝動(dòng)式取前兩項(xiàng)，高階項(xiàng)是微小誤差修正部分[12]。故將式(14)代入式(13)并按η的冪級(jí)數(shù)合并各項(xiàng)有

(15)

基于攝動(dòng)理論，式(15)中，對于足夠小的η其系數(shù)為零,則有

(16)

解式(16)可得到q0(t)和q1(t)，故其一階正則攝動(dòng)近似解形式為

qz(t,η)=q0(t)+ηq1(t)

(17)

3.1.2正則攝動(dòng)解耦精度分析

為便于分析改進(jìn)前后大范圍轉(zhuǎn)動(dòng)彈性梁的攝動(dòng)解耦精度，忽略電磁激勵(lì)影響，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)無負(fù)載，初始位移和速度分別為0和1 mm/s，設(shè)梁的固有頻率為ωn=1 Hz，材質(zhì)為LY06型硬鋁，長度為0.2 m，密度為2.76×103kg/m3，橫截面積7.0×10-5m2，彈性模量為6.85×1010Pa，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量8.22×10-9kg·m2。

由圖3a可知，在時(shí)間大于10 s時(shí)，攝動(dòng)近似解與精確解曲線出現(xiàn)較明顯的分離時(shí)間節(jié)點(diǎn)且在此之后分離程度更加顯著；圖3b表明在3.3 s后，相比圖3a近似解與精確解曲線提前分離；圖3c中，在0～2 s區(qū)間，攝動(dòng)解曲線很接近精確解，表明該區(qū)間攝動(dòng)解耦精度高；圖3d中攝動(dòng)解大致在大于1.4 s后就開始發(fā)散，有效時(shí)間序列最短。通過上述分析和數(shù)值仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)間由0趨于1/η時(shí)，攝動(dòng)近似解精度高，一階正則攝動(dòng)解有效時(shí)間序列分布如表1所示。

圖3 正則攝動(dòng)解Fig.3 Regular perturbation solution

表1 不同阻尼下正則攝動(dòng)解有效時(shí)間序列分布Tab.1 Error of perturbation solution and distribution of effective time series

由上述分析發(fā)現(xiàn)，一階正則攝動(dòng)解在有效時(shí)間序列外是離散的，其根本原因是低階攝動(dòng)解難以在有效時(shí)間序列外修正發(fā)散誤差，只能描述短時(shí)間內(nèi)解的振蕩特征；然而，通過增加攝動(dòng)級(jí)數(shù)可以提高整體解耦精度，但由式(15)可知，隨著攝動(dòng)級(jí)數(shù)增加，攝動(dòng)式越加復(fù)雜且計(jì)算量越來越大，解耦效率明顯降低。

3.2 正則攝動(dòng)法的改進(jìn)與精度分析

為解決上述低階正則攝動(dòng)方法存在的弊端，采用多尺度法改進(jìn)攝動(dòng)式，拓展兩個(gè)獨(dú)立時(shí)間參量。令τ=t,T=ηt，可得應(yīng)用多尺度法改進(jìn)后的攝動(dòng)式

qs(t,η)=q0(τ,T)+ηq1(τ,T)+O(η2)+…

(18)

利用鏈?zhǔn)椒▌t和微分原理推導(dǎo)攝動(dòng)解的一階導(dǎo)數(shù)為

(19)

將式(18)代入式(19)并合并η的冪級(jí)數(shù)項(xiàng)，得到

(20)

同理，可得到

(21)

取一階攝動(dòng)級(jí)數(shù)，將式(20)和式(21)代入式(13)可得方程組

(22)

顯然，方程組(22)中第1個(gè)方程是簡諧振子，其通解為

q0=Asinτ+Bcosτ

(23)

將式(23)代回式(22)可得

?ττq1+q1=-2(?Tτq0+?τq0)=
-2(A+A′)cosτ+2(B+B′)sinτ

(24)

式(24)q1(t)的解中會(huì)存在如τsinτ和τcosτ長期項(xiàng)的共振力，這些將導(dǎo)致收斂且無用的冪級(jí)數(shù)，為從長期項(xiàng)中獲得近似值，令共振力為零，則有

(25)

基于微分理論可得式(25)通解，結(jié)合初始條件可快速計(jì)算得式(21)近似解qs(t,η)。對比分析了正則攝動(dòng)法、改進(jìn)后攝動(dòng)法和四階Runge-Kutta法等3種算法的彈性梁動(dòng)力學(xué)解耦精度，如圖4所示。

圖4 不同阻尼下動(dòng)力學(xué)解耦曲線Fig.4 Dynamic decoupling curves under different dampers

由圖4可知，與精確解相比，四階Runge-Kutta法具有極高的求解精度，幾乎與精確解一致。應(yīng)用多尺度原理對常規(guī)正則攝動(dòng)式進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)。同取一階攝動(dòng)，改進(jìn)后的一階攝動(dòng)解精度高，在經(jīng)歷了快速的振蕩環(huán)節(jié)后趨于收斂，與精確解一致?？梢姡倪M(jìn)后的一階攝動(dòng)法具有良好的快、慢兩個(gè)尺度的動(dòng)態(tài)跟蹤特性，解決了常規(guī)一階正則攝動(dòng)法存在有效時(shí)間序列外解耦曲線發(fā)散的難題。

為了對比有效時(shí)間序列下改進(jìn)前后攝動(dòng)解的精度，圖5給出了在阻尼比為η=0.3和η=0.5時(shí)兩種方法的解耦曲線，可以看出，改進(jìn)后的一階攝動(dòng)法的整體跟蹤精度仍優(yōu)于一階正則攝動(dòng)法。

圖5 有效時(shí)間序列內(nèi)動(dòng)力學(xué)解耦曲線Fig.5 Decoupling curves of dynamics during effective time

文獻(xiàn)[3]忽略阻尼因素的影響，深入解析了非線性高階幾何項(xiàng)與彈性梁振動(dòng)特性的耦合關(guān)系。然而，實(shí)際工程中系統(tǒng)存在阻尼效應(yīng)，故引入阻尼參數(shù)c′=2ηωn，則動(dòng)力學(xué)方程為

(26)

其中

ql=[q1q2]T

由于非線性方程難以獲得精確的解析解，故采用四階Runge-Kutta法驗(yàn)證改進(jìn)后攝動(dòng)解耦精度及其有效性，結(jié)果如圖6～8所示。

圖6 改進(jìn)前后攝動(dòng)解耦及誤差曲線(η=0.3)Fig.6 Perturbation decoupling and error curves before and after optimization(η=0.3)

圖7 改進(jìn)前后攝動(dòng)解耦及誤差曲線(η=0.5)Fig.7 Perturbation decoupling and error curves before and after optimization(η=0.5)

圖8 改進(jìn)前后攝動(dòng)解耦及誤差曲線(η=0.7)Fig.8 Perturbation decoupling and error curves before and after optimization(η=0.7)

由圖6～8可知，當(dāng)系統(tǒng)阻尼增加時(shí)，正則一階攝動(dòng)近似解隨著時(shí)間增加，跟蹤精度明顯降低。由表2可知，阻尼比分別取0.3、0.5和0.7時(shí)，一階正則攝動(dòng)解耦最大誤差ezm由-1.28 mm增大至-4.11 mm；同取一階攝動(dòng)式，改進(jìn)后的攝動(dòng)法具有良好的快、慢尺度的動(dòng)態(tài)跟蹤特性，其最大解耦誤差edm僅為0.13 mm，絕對值平均誤差最大值eam為0.06 mm，而一階正則攝動(dòng)最大絕對值誤差ebm達(dá)到2.41 mm?？梢姡蠼饩忍岣吡艘粋€(gè)數(shù)量級(jí)，表明改進(jìn)后攝動(dòng)解耦整體精度得到大幅提高。

表2 不同阻尼下動(dòng)力學(xué)解耦誤差Tab.2 Error of two perturbation solutions in different damping parameters

4 結(jié)論

(1)一階正則攝動(dòng)法的有效解與系統(tǒng)阻尼存在強(qiáng)耦合關(guān)系。當(dāng)阻尼增大時(shí)，其有效時(shí)間序列明顯縮短，攝動(dòng)解誤差增大。

(2)應(yīng)用多尺度原理對正則攝動(dòng)進(jìn)行改進(jìn)，拓展時(shí)間維度。改進(jìn)后一階攝動(dòng)解耦絕對值平均誤差eam最大值為0.06 mm，相比一階正則攝動(dòng)ebm為2.41 mm降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)，表明整體解耦精度大幅提高。

(3)當(dāng)系統(tǒng)阻尼比η增大時(shí)，改進(jìn)后攝動(dòng)解耦最大誤差edm僅為0.13 mm，而一階正則攝動(dòng)解耦最大誤差ezm為-4.11 mm，表明有效修正了一階正則攝動(dòng)有效時(shí)間序列外的發(fā)散誤差。

(4)一階正則攝動(dòng)雖然僅具備單尺度特性，即只能體現(xiàn)快尺度振蕩特征，但非常適用于弱阻尼非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)求解，其解耦原理為優(yōu)化改進(jìn)近似解耦方法提供了理論基礎(chǔ)。