王建午，樓京俊，李欣一，楊慶超

(1. 海軍裝備部駐上海地區(qū)第二軍事代表室，上海 210000；2. 海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033)

0 引 言

軸系是船舶推進系統(tǒng)的重要組成，其校中質量對推進系統(tǒng)乃至整個船舶的長期安全可靠運行具有重要意義。為改善軸系軸承的負荷分配、軸段應力分布等，使軸系處于更為優(yōu)良的工作狀態(tài)，目前國內外船廠普遍采用合理校中技術。在軸系合理校中優(yōu)化理論研究方面，周瑞平[1]、周瑞[2]運用最優(yōu)化方法得到軸承的最優(yōu)變位值，使軸系尾后軸承負荷最?。籖eeves[3]和魏穎春等[4]基于有限元法建立了校中模型，通過優(yōu)化程序對船舶軸系的各軸承進行了合理變位；陸金銘等[5]提出了一種基于反影響數(shù)矩陣的校中優(yōu)化方法，并用該方法對實船軸系進行了雙向校中。在軸系校中與軸系振動間相互作用規(guī)律的研究方面，楊俊等[6]通過數(shù)學建模得出了不對中軸系激勵力幅值與振動的相互關系；方國強[7]用有限元法對軸系校中參數(shù)與軸系振動特性的相關性開展了仿真研究；劉學偉等[8]用傳遞矩陣法分別建立了軸系校中與彎曲振動數(shù)學模型，并發(fā)現(xiàn)在不同校中實例中，高頻段的軸承響應具有明顯差別。

現(xiàn)有軸系校中技術在實施過程中都是從靜力學角度出發(fā)，將軸系敷設成軸承負荷、軸段應力等處于規(guī)定范圍內的某一曲線狀態(tài)，以確保軸系強度滿足安全運行要求，并未考慮校中對軸系振動的影響。本文在合理校中的基礎上，利用奇異函數(shù)法和傳遞矩陣法分別構建了軸系校中計算和軸系振動模型，并用雷諾方程實現(xiàn)模型間的參數(shù)轉化，最后利用多目標優(yōu)化技術對軸系雙向校中模型進行求解。這樣，在校中時就將軸系振動特性計入了優(yōu)化過程中，且能滿足原有軸系校中的各項要求。研究結果表明，該方法能有效改善軸系的受力狀態(tài)和振動特性，提高校中質量。

1 理論依據(jù)

1.1 奇異函數(shù)法與校中狀態(tài)參數(shù)計算

軸系校中的實質是軸承位置的改變，不同軸系校中方案下，軸系狀態(tài)參數(shù)如軸系軸承負荷、軸段應力、截面轉角等也不同。根據(jù)《CB/Z 338-2005船舶推進軸系校中》標準中的規(guī)定，校中完成后軸系各狀態(tài)參數(shù)應在合理范圍內，因而軸系校中的前提是求解這些狀態(tài)參數(shù)。奇異函數(shù)法是一種計算軸系校中狀態(tài)參數(shù)較為精確簡潔的方法，其基本表達式如下：

將軸系承受的載荷用奇異函數(shù)表示后，當已知特定校中方案下各軸承變位，結合靜力平衡條件即可計算出軸系各狀態(tài)參數(shù)[9]。

1.2 傳遞矩陣法與軸系彎曲振動求解

以螺旋槳末端為坐標原點，沿船艏方向為x軸，過原點垂直于x軸向上為y軸建立直角坐標系xoy，根據(jù)該坐標系對船舶推進軸系進行簡化如圖1所示。圖中F（t）為施加在螺旋槳處的單位橫向簡諧力，k1，k2，k3，k4，k5為各軸承支承剛度。本文采用修正后的Timoshenko梁自由彎曲振動方程求解軸系振動的場傳遞矩陣，其表達式如下：

圖1 船舶推進軸系簡化圖Fig. 1 Simplified diagram of ship propulsion shafting

式中：E，G分別為梁的彈性，剪切模量；A為梁橫截面；I為梁截面慣性矩；m為梁單位長度質量；r為梁半徑；K'為梁有效剪切系數(shù)；y（x，t）為梁位移變形量。

求解式（2）可得出梁振型函數(shù)，并進一步求得軸系各狀態(tài)參數(shù)[8]。設圖1中軸系最左端狀態(tài)矢量為[y0a0M0Q0]，最右端狀態(tài)矢量為[y a M Q]，[Ti]為各軸段場傳遞矩陣，[Pi]為各集中質量及軸承支承點處的傳遞矩陣，則有：

式中，[T]=P0T1P1T2P2T3P3T4P4T5P5T5P6。

結合軸系邊界條件可對式（3）進行求解，并得出各支承軸承處狀態(tài)參數(shù)，其中位移響應y（x，t）與軸承剛度的乘積即經(jīng)軸承傳遞到基座上的作用力。

用一個周期內傳遞到基座的能量平均值，即用穩(wěn)態(tài)傳遞功率流來衡量推進軸系各支承軸承處彎曲振動情況如下式：

式中：Re（）表示取實部；“*”表示取共軛；vi，F(xiàn)i分別為第i個軸承的速度響應與傳遞到基座上的作用力；vi可由位移響應yi微分后求得。

1.3 雷諾方程與軸系校中參數(shù)的轉化

軸承剛度主要取決于油膜剛度。為求解不同校中方案下的軸系振動響應，須將軸系校中時的軸承負荷變化量轉化為軸承剛度變化量。這要用到求解軸承潤滑特性的雷諾方程：

式中：x為圓周切向；z表示軸向；h為油膜厚度；μ為潤滑油動力粘度；p為油膜壓力；U為軸徑圓周切向速度。

用有限差分法迭代求解無量綱化后的式（5），可得出軸承靜平衡時的位置與油膜壓力分布；根據(jù)軸承靜平衡位置，并用擾動法求解各軸承油膜剛度如下式：

式中：Fy1，F(xiàn)y2為軸心由靜平衡位置經(jīng)垂向分別向上、下擾動距離Δx后，軸承上的作用載荷值。

綜上各式，可將軸系校中過程中各軸承負荷實時換算成軸承油膜剛度，并用于1.2中軸承彎曲振動響應求解。

2 優(yōu)化模型的構建

軸系校中時主要有兩類優(yōu)化算法：軸承軸向位置優(yōu)化和合理校中優(yōu)化，分別指各軸承位置沿軸系縱向與垂向進行優(yōu)化。本節(jié)將整合這2種算法，并在校中時考慮減輕軸系彎曲振動，對軸系進行雙向校中優(yōu)化。

2.1 設計變量的選取

軸系雙向校中優(yōu)化通常只調節(jié)中間軸承軸向位置及舷內各軸承垂向位置。因此，以各中間軸承的軸向變位值xn與舷內各軸承的垂向變位值ym為設計變量：

式中：n，m分別為中間軸承和舷內軸承個數(shù)。

2.2 優(yōu)化目標的定義

2.2.1 中間軸承軸向位置優(yōu)化目標的選定

校中軸系須先確定各軸承軸向位置[5]。中間軸承軸向位置的改變，不但會影響各軸承本身承載，還會改變整個軸系的軸承負荷均勻度，影響軸系的運轉性能。因而將軸承負荷均勻度作為第一優(yōu)化目標：

式中：Ri為第i個支承軸承負荷；R為各支承軸承負荷均值；n為軸承總個數(shù)。

以中間軸承所處軸向位置對各軸承負荷的影響程度，即綜合負荷影響數(shù)作為第二優(yōu)化目標：

式中：m為中間軸承序號；n1，n2分別為起始、終止軸承序號；Rim為中間軸承對第i個軸承的負荷影響數(shù)。

一些文獻還將尾軸承負荷最小作為中間軸承軸向位置的優(yōu)化目標，因中間軸承離尾軸承較遠，其位置變化對尾軸承負荷影響數(shù)較小，在此未考慮。

2.2.2 軸承垂向位置優(yōu)化目標的選定

軸承最優(yōu)軸向位置應使艉軸承負荷達到最小，以減輕“邊緣負荷”現(xiàn)象；還應有合適的軸承負荷均勻度，防止軸系不均勻磨損和其他損傷事故發(fā)生，故設定第一優(yōu)化目標為艉后軸承負荷：

式中：R1表示尾后軸承負荷。

以軸承負荷均勻度作為第二優(yōu)化目標，計算過程同式（10）。

在0～120 Hz單位橫向簡諧激勵力作用下，選取尾后軸承、尾前軸承及推力軸承三處傳遞功率流之和最小作為第三優(yōu)化目標函數(shù)：

式中：Q1，Q2，Q3分別為尾后、尾前、推力軸承處的傳遞功率流。

2.3 約束條件的確定

2.3.1 中間軸承軸向位置優(yōu)化約束條件

受軸系結構強度與安裝誤差限制，軸承軸向位置L應遵循下式：

另外，為不影響軸系法蘭的安裝與對中，軸承中心到兩端法蘭中心間距應為0.2倍軸承間距左右。

2.3.2 軸承垂向位置優(yōu)化約束條件

根據(jù)軸系校中標準的要求，軸承垂向位置優(yōu)化應遵循下列條件[10]：

1）軸承負荷約束。軸系運轉時各軸承負荷應處于一定范圍內，既不超過生產(chǎn)廠家的最大負荷限制，也不出現(xiàn)脫空現(xiàn)象：

式中：[Rimin]和[Rimax]分別為軸系第i個軸承最小、最大允許負荷，可由下式導出：

式中：[P]為軸承材料許用壓強；L為軸襯工作長度；W左，W右分別為軸承左，右側軸段質量；ΣP為軸承兩跨軸上的總載荷。

2）軸段彎曲應力約束。不同軸段的最大許用彎曲應力不同：[σ尾軸]≤20 MPa、[σ中間軸]≤20 MPa、[σ推力軸]≤15 MPa。

3）螺旋槳下沉角約束。不同的尾后軸承材料，對螺旋槳下沉角要求不同：

4）主機輸出端法蘭處剪力與彎矩約束。對主機與推進軸系直接相連的軸系，在校中時須使主機輸出端法蘭處剪力、彎矩處于制造廠家規(guī)定的范圍內。

2.4 優(yōu)化模型的求解

軸系雙向校中是一個多目標優(yōu)化問題，其一般式為：

式中：F（x）為目標函數(shù)；X為優(yōu)化變量；gi（x），hi（x）分別為等式，不等式約束。

本文采用線性加權和法構造評價函數(shù)求解該多目標優(yōu)化模型，即構造函數(shù)：

式中，wi≥0且

用層次分析法來確定上式中各優(yōu)化目標加權系數(shù)。在運用層次分析法之前，須對各子目標進行統(tǒng)一量綱處理：用層次分析法確定各子目標加權系數(shù)基本步驟如下[11]:

1）根據(jù)各子目標重要程度和相關性建立判斷矩陣；

2）計算判斷矩陣各行乘向量，確定各元素權重，即各子目標加權系數(shù)；

3）檢驗判斷矩陣一致性。

當判斷矩陣一致性檢驗通過后，將計算得出的各權重系數(shù)用于對各子目標加權處理，將其轉化為單目標優(yōu)化函數(shù)再進行求解。

3 優(yōu)化算法及計算流程

基于上述構建的軸系雙向校中優(yōu)化模型，在Isight優(yōu)化軟件中，將Pointer優(yōu)化器與Matlab組件相結合，編制優(yōu)化計算程序，其基本流程如圖2所示。

程序中優(yōu)化計算模塊包含了優(yōu)化變量、約束條件、輸出變量、目標函數(shù)的定義與設置，它能根據(jù)選定的計算方法對模型進行求解，并輸出各軸承優(yōu)化后的變位值。另外，文中采用的Pointer優(yōu)化算法是Isight優(yōu)化軟件提供的一種智能優(yōu)化專家，其整合了線性單純形法、序列二次規(guī)劃法、最速下降法與遺傳算法，而且能夠自動地形成一種最優(yōu)的優(yōu)化策略，從而充分發(fā)揮優(yōu)化設計的優(yōu)越性。

圖2 優(yōu)化計算流程圖Fig. 2 Flow diagram of optimum calculation

4 工程應用

某船舶推進軸系結構如圖3所示。該軸系總長20.27 m，由首至尾依次為主推進裝置、輪胎離合器、中間軸承、彈性聯(lián)軸器、推力軸承、尾前軸承、尾承、尾后軸承、螺旋槳。合理簡化該軸系各結構得到其計算模型如圖4所示。

4.1 中間軸承軸向位置優(yōu)化計算結果

圖3 某船舶推進軸系結構示意圖Fig. 3 The schematic diagram of ship propulsion

圖4 某船舶推進軸系校中計算模型Fig. 4 The module diagram for ship propulsion shafting alignment calculation

對中間軸承位置進行軸向優(yōu)化，得出中間軸承布置在20.105 m時，加權形成的單目標函數(shù)有最優(yōu)值。優(yōu)化前后各軸承負荷如表1所示?？梢钥闯?，經(jīng)中間軸承軸向位置優(yōu)化后，各軸承負荷變得更為均勻，軸承負荷均勻度下降了5.7%，軸系受力狀態(tài)更為合理。

表1 中間軸承軸向位置優(yōu)化后軸承負荷表Tab. 1 Load of bearings after optimization of intermediate bearing's axial position

表2為優(yōu)化前后各軸承相對于中間軸承的負荷影響數(shù)取值。由表2可知，優(yōu)化后各軸承相對于中間軸承的負荷影響數(shù)均有所下降，其中尾中軸承相對于中間軸承的負荷影響數(shù)下降最為明顯，減少了約31%。

表2 各軸承相對于中間軸承負荷影響數(shù)表Tab. 2 The load influence value of each bearing relative to the intermediate bearing

4.2 軸承垂向位置優(yōu)化計算結果

將中間軸承軸向位置優(yōu)化結果作為輸入條件之一代入軸承垂向位置優(yōu)化流程，導入各約束條件與優(yōu)化目標，計算得出各軸承垂向變位值如表3所示。由表3可知優(yōu)化后軸系變?yōu)榍€狀態(tài)，其中尾中、推力軸承垂向位置都處于理論中心線以下。

表4為軸承垂向位置優(yōu)化后各軸承負荷值。由表4可知，優(yōu)化后艉后軸承負荷降為67 514 N，艉中軸承負荷由3 191 N變?yōu)? 100 N，達到軸承許用負荷范圍要求。各軸承負荷均勻度有所增大，這是由于垂向位置校中優(yōu)化約束條件比中間軸承位置校中時更為嚴格。

表3 軸承垂向優(yōu)化變位表（mm）Tab. 3 Vertical displacement value of bearings （mm）

表4 軸承垂向優(yōu)化后軸承負荷表Tab. 4 Load of bearings after optimization of bearings' vertical position

圖5為4種不同校中狀態(tài)下，在螺旋槳處施加單位橫向簡諧力，尾后軸承、尾前軸承、推力軸承3處的傳遞函數(shù)曲線。由圖5可知，經(jīng)中間軸承軸向位置優(yōu)化后，各軸承振動傳遞函數(shù)頻譜圖與初始狀態(tài)時基本一致；軸承垂向位置校中優(yōu)化后，各軸承傳遞功率流級在6 Hz附近低頻段的數(shù)值有所增大，其他頻率范圍內均有下降。與軸承位置垂向優(yōu)化相比，考慮減輕軸系彎曲振動的軸承垂向位置優(yōu)化后，尾后、尾前、推力軸承處的振動傳遞曲線均有下降，軸系振動特性改善明顯。

5 結 語

提出一種以奇異函數(shù)、傳遞矩陣法及雷諾方程為理論基礎的，考慮減輕軸系振動的軸系軸承位置雙向校中優(yōu)化方法，該方法以中間軸承軸向變位值、各軸承垂向變位值作為優(yōu)化變量，分別以中間軸承對各軸承綜合負荷影響數(shù)、軸承負荷均勻度和尾后軸承負荷、軸承負荷均勻度及尾后、尾前、推力軸承處的傳遞功率流之和最小作為優(yōu)化目標。以某船舶推進軸系為例，基于Isight優(yōu)化軟件與Matlab組件，對其進行了校中優(yōu)化。優(yōu)化結果表明，各目標函數(shù)在校中前后均得到了不同程度地優(yōu)化，且各約束變量均達到了標準規(guī)定的范圍內，這也驗證了本文在常規(guī)軸系校中的基礎上，將考慮減輕軸系振動作為優(yōu)化目標之一，以進一步提高軸系校中質量、改善軸系振動特性的優(yōu)化計算方法的合理、有效性。

圖5 尾后、尾前、推力軸承處傳遞函數(shù)曲線Fig. 5 Transfer function curve of rear bearing, front bearing and thrust bearing