陳 威，夏利娟

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2. 高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

0 引 言

船舶在營(yíng)運(yùn)過(guò)程中可能產(chǎn)生有害振動(dòng)并影響正常運(yùn)營(yíng)，此時(shí)需要對(duì)船體結(jié)構(gòu)采取有效的減振措施，在結(jié)構(gòu)上敷設(shè)阻尼是常用、高效的減振方法之一[1]。

要達(dá)到良好的減振效果，需要選取合適的阻尼材料和合理的敷設(shè)方式。粘彈性阻尼材料由于其性能參數(shù)受頻率和溫度影響較大，給敷設(shè)阻尼材料結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)性能預(yù)測(cè)帶來(lái)了較大的困難。隨著對(duì)粘彈性阻尼研究的深入，各種粘彈性阻尼模型被提出，如復(fù)模量模型、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型、GHM模型等[2-6]，一些具有嚴(yán)格解析解的模型僅僅能夠處理幾何結(jié)構(gòu)和邊界條件較為簡(jiǎn)單的復(fù)合結(jié)構(gòu)，難以運(yùn)用到工程結(jié)構(gòu)上。Johnson等[7]提出了模態(tài)應(yīng)變能法，通過(guò)忽略結(jié)構(gòu)剛度矩陣的虛部得到的實(shí)模態(tài)振型來(lái)代替結(jié)構(gòu)的復(fù)模態(tài)振型，求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能進(jìn)而求得結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子。常規(guī)的模態(tài)應(yīng)變能法在求取損耗因子時(shí)忽略了阻尼的溫頻依賴(lài)特性，因此所得的損耗因子可能會(huì)有較大的偏差。由于溫頻等效原理可以將阻尼材料的溫度影響轉(zhuǎn)化為等效頻率的影響[8]，在計(jì)算中只需研究粘彈性材料的頻變效應(yīng)。鄧年春等[9]提出了一種新的建立約束阻尼板的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)計(jì)算模型的方法，描述了粘彈性材料隨頻率變化的特性。孫社營(yíng)[10]利用模態(tài)應(yīng)變能法并結(jié)合2次迭代的方式考慮了粘彈性材料的頻變特性對(duì)模態(tài)阻尼比的影響。這些方法雖考慮了材料溫頻特性影響，但是計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜，工程適用性不強(qiáng)。

本文在模態(tài)應(yīng)變能法的基礎(chǔ)上，結(jié)合有限元分析，推導(dǎo)出考慮粘彈性阻尼材料損耗因子和彈性模量頻變特性的模態(tài)損耗因子修正計(jì)算公式，并通過(guò)算例[10]進(jìn)行驗(yàn)證。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合阻尼加筋板結(jié)構(gòu)的模型試驗(yàn)，利用模態(tài)疊加法計(jì)算獲得傳遞函數(shù)和隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了該方法的工程適用性。

1 理論分析及修正公式推導(dǎo)

1.1 模態(tài)應(yīng)變能法基本原理

粘彈性自由阻尼結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)方程如下：

由于結(jié)構(gòu)中有粘彈性材料，因此其剛度矩陣K為復(fù)常數(shù)，即

式中：KR、KI分別為復(fù)剛度矩陣的實(shí)部和虛部；Ke為彈性層剛度矩陣；KvR為阻尼層剛度矩陣實(shí)部；ηv為阻尼材料損耗因子。

假設(shè)式（1）的解形式為：

可以得到如下形式的復(fù)特征向量和復(fù)特征值[11]：

式中：φ*(r)為r階復(fù)特征向量；，分別為其實(shí)部和虛部；為r階復(fù)特征值；ξ(r)為r階模態(tài)損耗因子。

結(jié)合式（1）、式（2）及式（5）、式（6）可以得到

由于粘彈性阻尼剛度較彈性層非常小，用KR代替K代入式（1）可以得到實(shí)模態(tài)振型φ(r)并以此代替復(fù)模態(tài)振型，結(jié)合式（4）、式（8）可以得到

式中：V(r)為結(jié)構(gòu)總體模態(tài)應(yīng)變能；，分別為彈性層、粘彈性層模態(tài)應(yīng)變能；R(r)為彈性應(yīng)變能比，即與V(r)之比。

1.2 考慮粘彈性阻尼頻變特性的模態(tài)損耗因子修正計(jì)算公式推導(dǎo)

在粘彈性阻尼結(jié)構(gòu)中，由于粘彈性材料的彈性模量Ev?Ee，因此Kv?Ke，Ev變化對(duì)整體剛度矩陣K的影響非常小，因此假設(shè)粘彈性阻尼材料彈性模量變化時(shí)，結(jié)構(gòu)的特征值ωr和特征向量φ(r)不變，則式（9）中彈性層的模態(tài)應(yīng)變能不變，粘彈性阻尼的模態(tài)應(yīng)變能隨著阻尼彈性模量變化呈正比例變化。

若已求得在粘彈性阻尼彈性模量為Eref時(shí)的第r階彈性應(yīng)變能比為

則以該結(jié)果為基準(zhǔn)并結(jié)合式（10），在彈性模量為E時(shí)，其r階模態(tài)彈性應(yīng)變能比為：

在結(jié)構(gòu)模態(tài)應(yīng)變能計(jì)算過(guò)程中，阻尼的損耗因子對(duì)模態(tài)應(yīng)變能計(jì)算結(jié)果無(wú)影響，即粘彈性阻尼的頻變效應(yīng)對(duì)式（9）中的彈性應(yīng)變能比R(r)無(wú)影響，僅改變材料損耗因子ηv，因此考慮粘彈性材料損耗因子的頻變效應(yīng)時(shí)，式（9）可變?yōu)椋?/p>

結(jié)合式（11）、式（12），可以得到同時(shí)考慮粘彈性阻尼損耗因子和彈性模量頻變效應(yīng)的模態(tài)損耗因子的修正計(jì)算公式為：

2 粘彈性阻尼壓筋板算例驗(yàn)證

利用修正計(jì)算公式（13）計(jì)算阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子時(shí)，取關(guān)注頻率范圍內(nèi)阻尼彈性模量均值作為參考彈性模量Eref，求出該彈性模量下各階模態(tài)下的彈性應(yīng)變能比，再根據(jù)模態(tài)頻率ωr求得對(duì)應(yīng)的彈性模量E(ωr)，代入式（13）求得結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子。

圖1 采用修正公式計(jì)算模態(tài)損耗因子流程Fig. 1 Calculating modal loss factor by correction formula

為了對(duì)修正公式（13）進(jìn)行驗(yàn)證，選取了文獻(xiàn)[10]中的壓筋板模型進(jìn)行計(jì)算分析。該壓筋板尺寸為1 000×920×2.5 mm，壓筋截面為弧形，寬為50 mm，高度為20 mm，材料為Q235-A鋼，邊界條件為自由支撐。其中對(duì)于Q235-A材料，彈性模量為212 GPa，泊松比為0.288，密度為7860 kg/m3。對(duì)于粘彈性阻尼材料，其厚度為6 mm，在25 ℃時(shí)彈性模量E和損耗因子與頻率f的關(guān)系如下：

模型的彈性層用板單元進(jìn)行模擬，阻尼層用體單元進(jìn)行模擬，為了正確模擬彈性層和阻尼層的接觸情況，板單元節(jié)點(diǎn)位置向下偏置一半板厚，壓筋部分不進(jìn)行阻尼處理。

圖2 壓筋板有限元模擬方式Fig. 2 Finite element simulation of ribbed plate

采用修正計(jì)算公式（13），取阻尼基準(zhǔn)彈性模量E=75 MPa進(jìn)行模態(tài)損耗因子的計(jì)算，結(jié)果如表1所示。計(jì)算結(jié)果表明，修正后計(jì)算結(jié)果的計(jì)算精度有明顯改善，與文獻(xiàn)[10]試驗(yàn)結(jié)果誤差很小，驗(yàn)證了該修正公式的正確性。

圖3 壓筋板有限元模型Fig. 3 Finite element model of ribbed plate

表1 壓筋板模態(tài)損耗因子的計(jì)算與試驗(yàn)對(duì)比Tab. 1 Comparison of calculation and experimental modal loss factor

3 考慮頻變的粘彈性阻尼加筋板隨機(jī)響應(yīng)研究

3.1 隨機(jī)響應(yīng)簡(jiǎn)介

完整的隨機(jī)響應(yīng)由輸入隨機(jī)激勵(lì)、振動(dòng)系統(tǒng)和輸出隨機(jī)響應(yīng)組成。其中隨機(jī)激勵(lì)、隨機(jī)響應(yīng)以功率譜密度的形式表示（PSD）。隨機(jī)系統(tǒng)的響應(yīng)分析可分為2步：一是求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；二是根據(jù)輸入激勵(lì)PSD譜，通過(guò)傳遞函數(shù)求取系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)PSD譜。

圖4 隨機(jī)響應(yīng)示意圖Fig. 4 Random response diagram

在工程中一般會(huì)關(guān)注每個(gè)1/3倍頻程的加速度有效值以及整個(gè)頻率范圍內(nèi)的加速度有效值，2個(gè)加速度的定義分別如下：

式中：PSD為隨機(jī)響應(yīng)輸出加速度譜；fl和fu分別為1/3倍頻程加速度上限和下限；a1/3為1/3倍頻程加速度有效值；amean為頻率段加速度有效值。

表2 1/3倍頻程范圍Tab. 2 Range of 1/3 octave

3.2 粘彈性阻尼加筋板隨機(jī)響應(yīng)試驗(yàn)

試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑槟炒p層底內(nèi)底加筋板結(jié)構(gòu)，板厚為10 mm，設(shè)計(jì)尺寸為1000×1270 mm，沿短邊方向間隔390 mm設(shè)置了2根10號(hào)球扁鋼。因工裝設(shè)計(jì)要求，模型沿縱向、橫向向四周分別延伸200 mm，板的總尺寸相應(yīng)變?yōu)?400 mm×1570 mm，骨材也相應(yīng)延伸，如圖5所示。為了模擬船舶板架的簡(jiǎn)支邊界條件，在四周邊界上焊接外圍T型材，以方便施加邊界條件。設(shè)計(jì)和加工了上下2層支撐基座，模型間以圓鋼接觸以模擬邊界條件。

圖5 船舶加筋板試驗(yàn)?zāi)Ｐ虵ig. 5 Model of ribbed plate in experiment

圖6 試驗(yàn)支撐基座Fig. 6 Support base in experiment

加筋板模型鋼材為Q235鋼，敷設(shè)阻尼材料為丁基橡膠，厚度為20 mm，密度為1 700 kg/m3，泊松比為0.49，丁基橡膠的損耗因子和彈性模量的頻變特性如圖7所示[12]。

圖7 丁基橡膠頻變特性圖Fig. 7 Frequency change characteristic of butyl rubber

試驗(yàn)中采用單點(diǎn)激勵(lì)多點(diǎn)輸出的方式，并使用傳遞函數(shù)法進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。激振器的激振力通過(guò)安裝在激振桿和試件之間的力傳感器測(cè)得，激振信號(hào)為圖8所示的隨機(jī)信號(hào)。結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)結(jié)果由測(cè)點(diǎn)上的加速度傳感器測(cè)得，測(cè)點(diǎn)分布如圖9所示，獲得每個(gè)測(cè)點(diǎn)的傳遞函數(shù)和1/3倍頻程加速度響應(yīng)譜后，通過(guò)式（16）、式（17）對(duì)響應(yīng)譜數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到各測(cè)點(diǎn)1/3倍頻程加速度有效值a1/3及整個(gè)頻率段加速度有效值amean。

圖8 隨機(jī)激勵(lì)PSD譜Fig. 8 Random incentive PSD spectrum

圖9 試驗(yàn)測(cè)點(diǎn)分布Fig. 9 Test nodes distribution

3.3 粘彈性阻尼加筋板隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算

計(jì)算模型隨機(jī)響應(yīng)時(shí)，首先采用模態(tài)應(yīng)變能法并結(jié)合修正公式（13）計(jì)算得到模態(tài)損耗因子，然后利用模態(tài)疊加法求得結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)，最后根據(jù)激勵(lì)PSD譜Sxx(ω)和傳遞函數(shù)H(ω)并結(jié)合式（18）獲得結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果Syy(ω)。本文采用的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算流程如圖10所示。

圖10 隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算流程Fig. 10 Random response calculation process

修正前后的各階模態(tài)頻率和模態(tài)損耗因子的計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 阻尼加筋板模型的模態(tài)損耗因子計(jì)算值Tab. 3 Calculation modal loss factor of the model

計(jì)算得到模態(tài)損耗因子后，利用模態(tài)疊加法求解MCK方程以獲得結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)。根據(jù)式（2）～式（4）可知，剛度矩陣中含有阻尼剛度項(xiàng)，其阻尼彈性模量的頻變特性不僅對(duì)模態(tài)損耗因子有較大影響，而且對(duì)MCK方程的剛度項(xiàng)也會(huì)產(chǎn)生直接的影響，進(jìn)而影響傳遞函數(shù)的求解，因此，需要研究彈性模量的變化對(duì)隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果的影響。常用粘彈性阻尼的彈性模量范圍一般為10～250 MPa，僅考慮阻尼彈性模量對(duì)剛度矩陣的影響，獲得一系列不同彈性模量取值下模型隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果，如圖11所示。考慮到模型對(duì)稱(chēng)性，僅關(guān)注node7，node8，node12，node13測(cè)點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果。

圖11 加筋板加速度有效值隨阻尼彈性模量變化圖Fig. 11 Acceleration RMS of stiffened plate with different damping elastic modulus

可以看出，粘彈性阻尼材料的彈性模量在常用范圍內(nèi)變化時(shí)，在不考慮彈性模量對(duì)模態(tài)阻尼比影響時(shí)，彈性模量的變化對(duì)隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果影響較小。因此，在計(jì)算粘彈性阻尼結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)時(shí)，僅考慮阻尼彈性模量頻變效應(yīng)對(duì)模態(tài)損耗因子的影響，忽略其與MCK方程剛度矩陣的耦合作用，即取阻尼材料的彈性模量為定值。

求得阻尼加筋板的傳遞函數(shù)后，根據(jù)輸入激勵(lì)PSD譜數(shù)據(jù)，進(jìn)一步計(jì)算得到考慮粘彈性阻尼頻變效應(yīng)的隨機(jī)響應(yīng)結(jié)果，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比如表4所示。

由表4可知，各測(cè)點(diǎn)在計(jì)算頻率段的加速度有效值amean誤差小于15%，在1/3倍頻程段的加速度有效值a1/3誤差小于20%，能夠滿足工程精度要求。本文采用的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算流程和方法具有工程實(shí)用價(jià)值。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文推導(dǎo)出同時(shí)考慮粘彈性阻尼損耗因子和彈性模量頻變特性的模態(tài)損耗因子修正公式，并給出適用于粘彈性阻尼加筋板結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算流程。通過(guò)對(duì)阻尼壓筋板模態(tài)損耗因子的算例驗(yàn)證，以及船舶阻尼加筋板隨機(jī)響應(yīng)的試驗(yàn)和計(jì)算研究，得出以下結(jié)論：

1）利用修正公式計(jì)算所得阻尼壓筋板模態(tài)損耗因子與文獻(xiàn)[10]中的試驗(yàn)結(jié)果誤差很小，驗(yàn)證了該修正公式的正確性。

表4 阻尼加筋板模型的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算值和試驗(yàn)值對(duì)比Tab. 4 Comparison of calculation and experiment results of damped stiffened plate model

圖12 各測(cè)點(diǎn)頻率段加速度有效值ameanFig. 12 Acceleration RMS amean of each node

圖13 node7 1/3倍頻程加速度有效值a1/3Fig. 13 Acceleration RMS a1/3 of node7

圖14 node8 1/3倍頻程加速度有效值a1/3Fig. 14 Acceleration RMS a1/3 of node8

圖15 node12 1/3倍頻程加速度有效值a1/3Fig. 15 Acceleration RMS a1/3 of node12

圖16 node13 1/3倍頻程加速度有效值a1/3Fig. 16 Acceleration RMS a1/3 of node13

2）在隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算中可忽略阻尼彈性模量頻變與MCK方程剛度矩陣的耦合作用，僅考慮其對(duì)模態(tài)損耗因子的影響。

3）采用基于修正模態(tài)阻尼損耗因子的隨機(jī)響應(yīng)計(jì)算流程，可以獲得較好的數(shù)值計(jì)算結(jié)果，相關(guān)修正公式和計(jì)算方法可以為阻尼減振的工程應(yīng)用提供參考。