蔣佳平, 王廷春

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，南京 210044)

1 引言

長(zhǎng)短波方程是無窮維動(dòng)力系統(tǒng)中一類重要的共振模型，用來描述流體力學(xué)中的長(zhǎng)短波相互作用，也被用來描述重力和毛細(xì)管的波模型[1,2]，此外，該方程的研究在等離子物理學(xué)[3]中也有廣泛應(yīng)用．長(zhǎng)短波方程在描述長(zhǎng)波和短波的共振時(shí)，短波通常用薛定諤方程描述，而長(zhǎng)波則常用帶有色散項(xiàng)的波方程描述[1]，其數(shù)學(xué)形式為

其中參數(shù)λ, α, ε 是三個(gè)正常數(shù)，短波曲線u = u(x,t)是未知的復(fù)值函數(shù)，長(zhǎng)波振幅v =v(x,t)為未知的實(shí)值函數(shù)，外力項(xiàng)f 和g 分別為已知的復(fù)值和實(shí)值函數(shù)，其在很多物理問題取值為零．我們考慮長(zhǎng)短波(LS)方程的初邊值問題，其初邊值條件為

其中u0(x)和v0(x)分別為已知的復(fù)值和實(shí)值函數(shù)．

不難驗(yàn)證，當(dāng)外力項(xiàng)f(x,t)=0, g(x,t)=0 時(shí)，初值問題(1)–(4)滿足總質(zhì)量與總能量守恒律

文獻(xiàn)[4–7]中已給出關(guān)于長(zhǎng)短波方程初值問題的精確解及其性質(zhì)的研究，其中Guo[5]討論了關(guān)于長(zhǎng)短波方程的全局解，Tsutsumi 和Hatano[7]研究了關(guān)于長(zhǎng)短波共振方程柯西問題的適定性．近年來，許多數(shù)值方法被用于求解長(zhǎng)短波方程，其中包括有限元法、譜方法、有限差分法等．Liu 和Lv[8]提出了關(guān)于長(zhǎng)短波方程的一類擬譜方法．Chang 等[9]也提出了一些數(shù)值格式，包括Crank-Nicolson 隱格式(CNI)，三層Richardson 外推格式以及分裂步譜方法．由于高階緊致有限差分格式[10-16]通常能保持較高的精度和分辨率，經(jīng)常被用來計(jì)算難以直接求解的偏微分方程(組)．王蘭和段亞麗[10]首次對(duì)LS 方程給出了幾個(gè)高階緊致差分格式，包括一個(gè)能量守恒格式和幾個(gè)非守恒格式，所有格式對(duì)短波曲線函數(shù)的數(shù)值解在空間方向上都達(dá)到了四階收斂精度．本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)LS 方程構(gòu)造出兩個(gè)四階緊致有限差分格式，使短波曲線函數(shù)與長(zhǎng)波振幅函數(shù)收斂精度在空間方向上均達(dá)到四階精度，時(shí)間方向達(dá)到二階精度，并且能在離散意義下保持原問題的兩個(gè)守恒性質(zhì)．

本文的結(jié)構(gòu)如下：在第2 部分中，我們提出了兩個(gè)關(guān)于LS 方程的緊致有限差分格式，并證明兩個(gè)格式在離散意義下均保持原問題的兩個(gè)守恒律．在第3 部分中，我們給出了幾個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，數(shù)值結(jié)果表明我們的格式在空間方向和時(shí)間方向分別具有四階和二階精度，同時(shí)驗(yàn)證兩個(gè)格式都非常好地保持總質(zhì)量和總能量守恒．在第4 部分中，我們給出了結(jié)論．

2 有限差分格式和守恒律

取空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)分別為h = (b ?a)/J 和τ = T/N，其中J 和N 是兩個(gè)正整數(shù)．令 (xj,tn) = (a+jh,nτ), j = 0,1,2,··· ,J, n = 0,1,2,··· ,N 為網(wǎng)格點(diǎn)．記分別為(u,v)在點(diǎn)(xj,tn)處的數(shù)值解和精確解，記分別為v 在點(diǎn)處的數(shù)值解和精確解．定義網(wǎng)格函數(shù)空間Xh為

關(guān)于緊致算子Ah, Bh和負(fù)拉普拉斯算子，我們引入如下三個(gè)三對(duì)角矩陣

同時(shí)，有

定義網(wǎng)格函數(shù)空間Xh中的離散內(nèi)積和離散范數(shù)如下

本文需要用到如下引理：

引理1[16]對(duì)稱正定矩陣A, B 和H，我們有如下結(jié)論：

(a) 矩陣A, B 和H 是三個(gè)對(duì)稱正定矩陣，且具有如下特征

(b) 它們有相同的特征向量，即

由(7)及引理1，可得

引理2[16]對(duì)任何un∈ Xh, n=0,1,··· ,N，我們有

其中Re(w)表示w 的實(shí)部．

分別用緊致有限差分法和Crank-Nicolson 離散方法對(duì)未知函數(shù)在空間和時(shí)間兩個(gè)方向的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，可得初邊值問題(1)–(4)的如下緊致有限差分格式，即：

格式1

格式2

與原問題(1)–(4)的齊次形式保持總質(zhì)量和總能量守恒相對(duì)應(yīng)，格式1 與格式2 在離散意義下也保持總質(zhì)量和總能量守恒．

引理3格式1 在離散意義下保持原問題的兩個(gè)守恒性質(zhì)，即總質(zhì)量和總能量守恒

證明 將(13)式與Un+1+Un做內(nèi)積并取虛部，可得

由此可得離散意義下的總質(zhì)量守恒律(20)．

將(13)式與Un+1?Un做內(nèi)積，運(yùn)用引理(8)，取實(shí)部得

將(14)式與|Un+1|2?|Un|2做內(nèi)積，可得

對(duì)于(25)式左邊部分，我們有

對(duì)于(25)式右邊部分，結(jié)合邊界條件，有

將(26)和(27)帶入(25)，可得

將(28)和(24)分別乘以1/2 和2，然后將兩者相加可得

由此可得離散意義下的總能量守恒律(21)．

類似證明可得格式2 所滿足的兩個(gè)守恒性質(zhì)，即：

引理4格式2 在離散意義下保持原問題的兩個(gè)守恒性質(zhì)，即總質(zhì)量和總能量守恒

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

便于檢驗(yàn)格式的整體精度，我們引入如下記號(hào)

3.1 數(shù)值算例1

本例中，我們?nèi)ˇ?α=λ=1，考慮長(zhǎng)短波(LS)方程如下

其邊值條件為

初值條件為

上述初邊值問題具有以下精確解

測(cè)試空間方向的精度時(shí)，我們?nèi)r(shí)間步長(zhǎng)τ = 0.0001，從而可以忽略時(shí)間方向的誤差，同樣在測(cè)試時(shí)間方向精度時(shí)，我們?nèi)】臻g步長(zhǎng)h = π/100，從而可以忽略空間方向的誤差．在表1 和表2 中，我們分別列出了格式1 在t=1 時(shí)，空間與時(shí)間方向的誤差數(shù)值結(jié)果．而在表3 和表4 中，我們則列出了格式2 在t = 1 時(shí)，空間與時(shí)間方向的誤差數(shù)值結(jié)果．在表5 中，我們將格式2 與文獻(xiàn)[10]中的格式做了精度比較，圖1 和圖2 我們分別展示了un和vn在不同時(shí)間層下精確解和格式1 數(shù)值解的變化．

表1: 格式1 在t=1 時(shí)刻取不同空間步長(zhǎng)時(shí)關(guān)于空間方向的精度測(cè)試

表2: 格式1 在t=1 時(shí)刻取不同時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)關(guān)于時(shí)間方向的精度測(cè)試

表3: 格式2 在t=1 時(shí)刻取不同空間步長(zhǎng)時(shí)關(guān)于空間方向的精度測(cè)試

表4: 格式2 在t=1 時(shí)刻取不同時(shí)間步長(zhǎng)時(shí)關(guān)于時(shí)間方向的精度測(cè)試

表5: 格式2 與WDFD 格式精度比較

圖1: un 在不同時(shí)間層下解的變化：左圖為精確解，右圖為數(shù)值解，其中h=π/100, τ =0001

圖2: un 在不同時(shí)間層下解的變化：左圖為精確解，右圖為數(shù)值解，其中h=π/100, τ =0001

3.2 數(shù)值算例2

為了驗(yàn)證格式1 與格式2 在離散意義下的總能量和總質(zhì)量守恒律，我們令算例1 中的f =0 和g =0，取計(jì)算區(qū)域?yàn)閇0,π]×[0,100]，并將數(shù)值結(jié)果列于圖3 至圖6．

圖3: 格式1 的能量守恒性：左圖為不同時(shí)間層總能量，右圖為不同時(shí)間層總能量與初始值的誤差

圖4: 格式1 的質(zhì)量守恒性：左圖為不同時(shí)間層總質(zhì)量，右圖為不同時(shí)間層總質(zhì)量與初始值的誤差

圖5: 格式2 的能量守恒性：左圖為不同時(shí)間層總能量，右圖為不同時(shí)間層總能量與初始值的誤差

圖6: 格式2 的質(zhì)量守恒性：左圖為不同時(shí)間層總質(zhì)量，右圖為不同時(shí)間層總質(zhì)量與初始值的誤差

3.3 數(shù)值算例3

長(zhǎng)短波方程可以描述物理中的孤立波現(xiàn)象，為此，我們添加算例3 用以模擬孤立波的演化，本例中我們考慮如下長(zhǎng)短波(LS)方程

實(shí)驗(yàn)中我們采用的是格式1 進(jìn)行計(jì)算，取時(shí)間T = 5 時(shí)，時(shí)間為步長(zhǎng)τ = 0.01，空間步長(zhǎng)為h=π/10，并將數(shù)值結(jié)果列于圖7．

圖7: 方程的初始解與T =5 時(shí)刻的數(shù)值解

從表1 至表4 的數(shù)值結(jié)果中，清楚地表明本文提出的兩個(gè)格式在空間方向和時(shí)間方向分別具有四階和二階精度．圖1 和圖2 則顯示數(shù)值解與精確解幾乎一致．由表5 則可以看出，格式2 相比WDFD 格式在計(jì)算精度上有顯著提高．圖3 至圖6 表明格式1 和格式2 在離散意義下保持原問題的總能量和總質(zhì)量守恒，這與引理3 和引理4 的結(jié)論相符．圖7 模擬了孤立波的演化現(xiàn)象．

4 結(jié)論

本文對(duì)一類長(zhǎng)短波方程組提出了兩個(gè)緊致有限差分格式，即格式1 和格式2，兩格式的主要區(qū)別在于對(duì)非線性項(xiàng)采取了不同的離散方法，但它們均在離散意義下保持總質(zhì)量和總能量守恒．?dāng)?shù)值實(shí)驗(yàn)表明，兩個(gè)格式在時(shí)空分別具有二階和四階精度，具有很好的穩(wěn)定性而且很好地保持了原問題的兩個(gè)守恒性質(zhì)．同時(shí)，數(shù)值算例還成功模擬了孤立波的演化過程．