張麗菊
(江蘇省蘇州高新區(qū)第二中學(xué) 215000)
隨著中考壓力的增大,一些學(xué)校為了提高學(xué)生的成績、提高升學(xué)率而選擇發(fā)動題海戰(zhàn)術(shù),要求學(xué)生盡可能多做題.在數(shù)學(xué)習(xí)題課堂上,有些老師為了追求試題講評的量,“就題講題,就題論題”,表面上課容量很大,但是長期如此,學(xué)生覺得平淡無奇,會做的就不想聽,實際效率低下.老師教得辛苦,學(xué)生學(xué)得無趣.長期下去會造成學(xué)生的思維定勢,對培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性會帶來很大的消極作用.現(xiàn)代教育的關(guān)鍵在于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),數(shù)學(xué)課堂同樣要避免重知識,輕能力,忽略情感態(tài)度價值觀的做法,而一題多解,更有利于學(xué)生能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng).
一題多解是從不同的角度,不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系,用不同解法求得相同結(jié)果的思維過程.對于加深教材是知識的理解,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是十分必要的.教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解,可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強烈欲望,加深學(xué)生對所學(xué)知識的深刻理解,訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運用,鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性,從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì),發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.
例1 (2017·南充)學(xué)校準(zhǔn)備租用一批車,現(xiàn)有甲、乙兩種客車,甲種客車每輛載客量為45人,乙種客車每輛載客量為30人,已知1輛甲種客車和3輛乙種客車共需租金1240元,3輛甲種客車和2輛乙種客車共需租金1760元.(1) 1輛甲種客車和1輛乙種客車的租金分別是多少元?(2) 學(xué)校計劃租用甲、乙兩種客車共8輛,送330名師生集體外出活動,最節(jié)省的租車費用是多少?”
y=280.
∴1輛甲種客車的租金是400元,1輛乙種客車的租金是280元.
解得6≤a≤8.∵a為整數(shù),∴a的取值為6,7,8.
解法一當(dāng)a=6時,租車費用為400×6+280×(8-6)=2960;當(dāng)a=7時,租車費用為400×7+280×(8-7)=3080;當(dāng)a=8時,租車費用為400×8=3200.因為2960<3080<3200,∴ 租用甲種客車6輛、乙客車2輛最節(jié)省租車費用,最節(jié)省的租車費用是2 960元
解法二設(shè)租車費用為w元.由題意,得w=400a+280(8-a)=120a+2240.∵k=120>0,∴w隨a的增大而增大.∴當(dāng)a=6時,w有最小值,最小值為2960.∴租用甲種客車6輛、乙客車2輛最節(jié)省租車費用,最節(jié)省的租車費用是2960元.
這兩種解法都是正確的,第一種解法在不等式的到取值的范圍的基礎(chǔ)上,分別代入計算,后比較大小.第二種解法利用好了一次函數(shù)的性質(zhì),直接取最合適的a的值代入,在計算上更加簡潔.通過兩種不同的求最小值的方法,讓學(xué)生感受到了不等式和函數(shù)之間的聯(lián)系和差別,提高了數(shù)學(xué)思維的能力.
∵∠CBD和∠COD都對弧CD,∴∠COD=2∠CBD=∠BAD.
解法一學(xué)生觀察了所證明的兩個角在圓中的位置分別是圓周角和圓心角.利用了逆向思維,要證明∠COD=∠BAD就是要證明∠CBD等于∠BAD的一半,成功解決了問題.
解法二連接CD.∵∠ABC和∠ADC都對弧AC,∴∠ABC=∠ADC∵AB=AE,∴∠ABC=∠AEB,∴∠BAE=180°-2∠ABC.∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD, ∴∠COD=180°-2∠ADC,∴ ∠BAD=∠COF這種解法中學(xué)生觀察到了等腰三角形圖形,借助幾何圖形,合理進行猜想,找到了△OCD也是等腰三角形,要證明頂角相等,只要證明底角相等就行.
解法三連接BO,∵OA=OB,∴∠OBA=∠OAB.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB.即∠ABO+∠OBE=∠COD+∠OCB,∴∠BAD=∠COF這種解法十分巧妙的分割了等腰△ABE的一個底角,分成了所要證明的角和一個對相等的圓周角的和.
面對數(shù)學(xué)問題,學(xué)生們的思維不會停留在原地,或者只朝著某一個固定的方向前進,而是多角度、全方位地進行思考,將思維發(fā)散到四面八方、各個角落.在日常的教學(xué)過程中,教師要利用好學(xué)生的思維資源,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維.
(2)當(dāng)m>1時,過點M作MP⊥x軸,垂足為P,過點A作AB⊥y軸,垂足為B,試判斷直線BP與直線AM的位置關(guān)系,并說明理由.
解(1)k的值為6(過程略).
解法一利用A點和M點的坐標(biāo)求出C點坐標(biāo),從而利用兩邊和夾角關(guān)系證明三角形全等,得出一組同位角相等,最后證出兩直線平行,但是證明過程中解直線方程時含有參數(shù),對初中同學(xué)計算要求有點高.
解法二用同樣的證明三角形相似來證明對應(yīng)角相等,從而得到兩直線平行,成功的規(guī)避了直線AM解析是的求解,是解法一的優(yōu)化.一道題,學(xué)生們使用了不同的解法,同時比較出各種解法的優(yōu)缺點,在考試比較緊迫的時間內(nèi)就可以選擇自己最熟悉、最簡潔的做法.達(dá)爾文說過,最有價值的知識是關(guān)于方法的知識,而一題多解的對比推敲就是關(guān)于方法的學(xué)習(xí)的重要途徑之一.
數(shù)學(xué)家華羅庚說過,學(xué)習(xí)和研究好比爬梯子,要一步一步地往上爬,在復(fù)習(xí)課上,一步步探究和展示學(xué)生們的各種精彩的解法,再加以歸類和評價,無疑極大的增強了被展示同學(xué)的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,同時也讓所有同學(xué)感覺到數(shù)學(xué)學(xué)科是一門和有意思的學(xué)科,激發(fā)學(xué)生研究多種解法的興趣,從而增強了創(chuàng)新的意識,而不僅僅止步于問題解決,更加樂于去探索有沒有更加完美的方法.自覺地抓住自己最有興趣的東西,由淺入深,循序漸進地學(xué)習(xí).