何小年 彭瓊
(湖南涉外經(jīng)濟學院信息與機電工程學院 湖南長沙 410205)
概率論與數(shù)理統(tǒng)計是工科專業(yè)開設的一門數(shù)學基礎必修課程。本課程也是支撐人工智能發(fā)展的基礎數(shù)學課程之一,其涉及的多個知識點(如:中心極限定理、參數(shù)估計、假設檢驗等),皆源自實際應用需求。如何利用軟件為本課程教學服務,實現(xiàn)將這門課程與實際應用相結(jié)合,并超越過去側(cè)重于講解課程概念的傳統(tǒng)教法,培養(yǎng)學生通過編程解決實際問題的能力,滿足工科后續(xù)課程的需求,是任課教師最關心的問題之一。
“復旦共識”、“天大行動”和“北京指南”意味著我國正式拉開新興工科(Emerging Engineering Education/3E,簡稱新工科)建設大幕。所謂新工科,是指以立德樹人為引領,以應對變化、塑造未來為建設理念,以繼承與創(chuàng)新、交叉與融合、協(xié)調(diào)與共享為主要途徑,培養(yǎng)未來多元化、創(chuàng)新型卓越工程人才[1]。新工程中的創(chuàng)新工程教育方式與手段,提出充分利用仿真等技術作為創(chuàng)新工程實踐教學方式,對于推進信息技術和教育教學深度融合、提高教學效率,有極大的促進作用。選用合適的計算和仿真軟件輔助教學,對于助推概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程成為新工科教育的一分子,至為重要。
圖1 概率密度函數(shù)圖
圖2 為分布函數(shù)圖
圖3 卡方分布的密度函數(shù)圖形
圖4 模擬拋硬幣實驗
MATLAB是一個交互式的以矩陣計算為基礎的科學和工程計算軟件,它將計算、可視化和編程功能集成,非常便于使用。概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程引入MATLAB輔助教學,便于組織專業(yè)工程案例來提高學生的學習興趣和學習效果,有助于進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力,有利于學生提高學生利用數(shù)學建模解決復雜工程問題的能力,從而切實提高人才培養(yǎng)質(zhì)量,為工科專業(yè)學生的培養(yǎng)打下堅實的數(shù)學基礎。此外,學生掌握了MATLAB語言,將MATLAB語言更好地融入后續(xù)課程,包括電路、信號與系統(tǒng)、自動控制、數(shù)字圖像處理等課程等,能為學生后續(xù)學習這些課程創(chuàng)造條件,特別是能幫助學生在學習這些課程的時候開展創(chuàng)新性研究與實驗。
如何利用Matlab輔助概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學,在中國知網(wǎng)查詢,最早的研究文獻系伍善敏2002年發(fā)表于廣西師范學院學報。至今有30余篇。周后卿展示了MATLAB、EXCEL、SPSS等在課程教學中的作用[2];解博麗等用實例說明了MATLAB在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的繪制曲線功能以及數(shù)值計算功能,體現(xiàn)出其直觀性和簡便性[3];張福鼎結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學中常見的問題,講述如何通過Matlab軟件理解數(shù)學過程[4];楊柳講述案例教學法運用于高?!陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計》教學中,可以直接將理論轉(zhuǎn)化為實際[5];秦麗娟等探討應用R軟件輔助概率統(tǒng)計教學的可行性,為概率統(tǒng)計課程教學改革提供參考[6]。本文就如何將以MATLAB軟件輔助概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學進行初步探索。
將MATLAB軟件引入概率論與數(shù)理統(tǒng)計課堂教學,可以吸引學生的注意力,激發(fā)學生學習本門課程的熱情,提高教學效果。此外,學習MATLAB有助于學生在后續(xù)的專業(yè)課學習。下面用典型例題來展示MATLAB軟件在求概率論與數(shù)理統(tǒng)計相關問題中的便利性和直觀性。
例1:分別繪制出(μ,σ^2)為(-1,1),(0,0.1),(0,1),(0,1 0),(1,1)時正態(tài)分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)曲線。
需在MATLAB軟件的Command Window窗口輸入如下內(nèi)容:
圖5 殘差分析圖
圖6 擬合曲線圖
表1 女子身高和腿長 單位:cm
輸出結(jié)果如下:圖1是概率密度函數(shù)圖,圖2是分布函數(shù)圖。
例2:求標準正態(tài)分布隨面變量X落在區(qū)間(-∞,0.4)的概率。
在MATLAB軟件的Command Window窗口輸入如下內(nèi)容:
輸出結(jié)果:
例3:計算自由度為8的卡方分布,在點2.18處的密度函數(shù)值,并繪制卡方分布的密度函數(shù)圖形。
在MATLAB軟件的Command Window窗口輸入如下內(nèi)容:
輸出結(jié)果:
卡方分布的密度函數(shù)圖形如圖3所示。
例4:模擬拋硬幣實驗
在MATLAB軟件的Command Window窗口輸入如下內(nèi)容:
輸出結(jié)果如圖4所示。
例5:模擬擲骰子實驗
在MATLAB軟件的Command Window窗口輸入如下內(nèi)容:
輸出結(jié)果:
擲骰子1朝上的次數(shù)是1667280,頻率是0.166728
擲骰子2朝上的次數(shù)是1667028,頻率是0.166703
擲骰子3朝上的次數(shù)是1666868,頻率是0.166687
擲骰子4朝上的次數(shù)是1665663,頻率是0.166566
擲骰子5朝上的次數(shù)是1666995,頻率是0.166700
擲骰子6朝上的次數(shù)是1666166,頻率是0.166617
例6:一元線性回歸測得16名女子的身高和腿長如表1所示。
試分析這些數(shù)據(jù)之間的關系。
在MATLAB軟件的Command Window窗口輸入如下內(nèi)容:
輸出結(jié)果:
接著進行殘差分析輸入:rcoplot(r,rint);顯示結(jié)果如圖5所示。
最后進行預測及作圖輸入:
顯示結(jié)果如圖6所示。
其中方程常數(shù)B0=-20.7500,變量系數(shù)B1=0.7500,置信區(qū)間是[-42.1526,0.6526]和[0.6105,0.8895],R的平方為0.9047,F(xiàn)為132.8768,P為0.0000,其中R的平方越接近于1代表回歸模型越準確,P<0.5也代表Y=-20.7500+0.7500X方程成立。
通過上面6個實例,我們可以看出,MATLAB在求解概率論與數(shù)理統(tǒng)計典型問題中具備簡單易學、功能強大、直觀、運算速度快等優(yōu)勢,可以大大減少學生煩瑣的計算過程,既能夠提高學生的動手能力,又能夠激發(fā)學生的學習興趣,從而達到較好的教學效果。
在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學中引入MATLAB進行輔助教學,有助于學生在后續(xù)的專業(yè)課學習,通過仿真模擬演示,為學生提供直觀認識,解決了課程中概念抽象不直觀、難理解的難題,可以加深學生對知識的理解,提高學生解決實際問題的能力,實現(xiàn)了復雜問題簡單化,對于激發(fā)學生學習興趣、加強理論分析與實際問題之間的聯(lián)系,具有重要的作用。