廣東省廣州市增城中學(xué) 侯曉燕

新課改后，在高中階段加入定積分的知識(shí)，擴(kuò)大了學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)面，減少了在求解不規(guī)則平面圖形面積問題時(shí)的運(yùn)算量，也為學(xué)有余力的同學(xué)提供了進(jìn)一步學(xué)習(xí)的途徑和機(jī)會(huì)?？v觀近10 年高考全國(guó)卷，雖然每年的高考理科數(shù)學(xué)考試大綱對(duì)定積分與微積分原理的要求基本不變，但僅在2010 年考查了定積分概念及簡(jiǎn)單運(yùn)算，2011 年考查了定積分應(yīng)用求面積，2012 年至今未見一題。近10 年高考考核新增熱點(diǎn)、難點(diǎn)，從算法到線性回歸直線方程，從二項(xiàng)分布與超幾何分布近似代替到獨(dú)立性檢驗(yàn)，從熱點(diǎn)時(shí)事到數(shù)學(xué)文化知識(shí)成為題目背景，對(duì)定積分的考查也很有可能成為新的熱門考點(diǎn)，所以如何在有限的教學(xué)時(shí)間里完成考綱要求，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)入大學(xué)后學(xué)習(xí)定積分的興趣，對(duì)定積分進(jìn)行優(yōu)化教學(xué)，還是值得研究的課題。

一、定積分概念教學(xué)及微積分基本原理的引入

以計(jì)算面積為索引，以分割求和為突破口，結(jié)合求極限思想，引入定積分概念。

物理求解運(yùn)動(dòng)位移，目前只能解決勻速直線運(yùn)動(dòng)，勻變速直線運(yùn)動(dòng)，如果一旦是一般的變速運(yùn)動(dòng)呢？

微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的聯(lián)系，同時(shí)也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法。微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的聯(lián)系，同時(shí)也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法。學(xué)生在經(jīng)歷煩瑣的概念運(yùn)算及數(shù)列求和過程中產(chǎn)生的消極情緒有了突破口，一下子精神振奮，很好奇地想知道解決方法，于是順理成章地引入課本45頁(yè)定積分概念，并利用微積分基本原理進(jìn)行運(yùn)算，而且在變式教學(xué)中，教師要不斷培養(yǎng)學(xué)生的思維轉(zhuǎn)換能力，“一題多變”對(duì)學(xué)生的知識(shí)能力進(jìn)行了鞏固性訓(xùn)練，增添了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的趣味性，喚醒了學(xué)生的求知欲望，促使學(xué)生樂于研究此類題型。

通過比較，學(xué)生積累了利用微積分基本原理解決定積分的運(yùn)算興趣，并為后面的運(yùn)算題及理解定積分的幾何意義打下基礎(chǔ)。

二、定積分的幾何意義

在學(xué)生掌握好定積分運(yùn)算后，方進(jìn)入定積分幾何意義的學(xué)習(xí)。這樣的后置安排，有利于定積分幾何意義的探索，同樣能調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，鍛煉數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的能力。同時(shí)，基于“最近發(fā)展區(qū)理論”，在教學(xué)中找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，確定這節(jié)課教學(xué)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，指引學(xué)生達(dá)到相應(yīng)的層次，盡可能發(fā)揮潛能。

例2：（課本P53 例2）計(jì)算下列定積分：

【教師點(diǎn)撥】 通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，定積分有正有負(fù)。而我們?yōu)橛?jì)算曲邊梯形面積引入了定積分，問題出現(xiàn)在哪里？引導(dǎo)學(xué)生查閱課本選修中定積分的幾何意義，得出P54 的結(jié)論：當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于軸上方時(shí)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形面積；當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于 軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形面積的相反數(shù)。

變式訓(xùn)練1：已知函數(shù) 的圖像如下圖所示，則陰影部分的面積 為（ ）

例3：計(jì)算下列定積分。

【教師點(diǎn)撥】例3 是應(yīng)用定積分的幾何意義，把數(shù)的問題用圖形來(lái)呈現(xiàn)，用求圖形面積來(lái)解決定積分計(jì)算的問題，其中（1）～（5）題對(duì)應(yīng)的圖形分別是：

方法2：數(shù)形結(jié)合，計(jì)算陰影部分梯形面積。

（2）分段函數(shù)積分，數(shù)形結(jié)合，化繁為簡(jiǎn)。

（4）綜合考查學(xué)生的應(yīng)變能力，定積分基本運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合能力。

（5）在（3）的基礎(chǔ)上，考查學(xué)生的應(yīng)變能力，數(shù)形結(jié)合能力，割補(bǔ)法求面積。

在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)設(shè)計(jì)里，變式教學(xué)，一法多用，是對(duì)解決問題的方法加以總結(jié)與歸納，進(jìn)而形成一種技巧的解題方式。通過這種技巧的學(xué)習(xí)可以達(dá)到多題歸一的目的，使學(xué)生能夠迅速抓住題型的本質(zhì)，將所學(xué)知識(shí)與能力的培養(yǎng)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，提升課堂教學(xué)效率，并有助于學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成，拓展學(xué)生思維的廣度。

三、定積分的綜合應(yīng)用

高考數(shù)學(xué)試題中難題有一類題目題干較長(zhǎng)，文字較多，會(huì)設(shè)計(jì)一些背景材料，在考試時(shí)間緊張的情況下會(huì)對(duì)考生心理造成很大壓力。例如定積分的應(yīng)用，主要分為兩大類：一是定積分在幾何中的應(yīng)用，二是定積分在物理中的應(yīng)用，又分為變速運(yùn)動(dòng)、力學(xué)做功。這兩類應(yīng)用課本及參考書已經(jīng)有大量的例題及練習(xí)。在這里補(bǔ)充的是定積分與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合的題。

A. 6+2sin2 B. -6-2sin2 C.20 D.-20

（5）概率：如圖，在邊長(zhǎng)為e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的正方形區(qū)域的A處與C處各有一個(gè)通信基站，其信號(hào)覆蓋范圍分別為如圖所示的陰影區(qū)域，該正方形區(qū)域內(nèi)無(wú)其他信號(hào)來(lái)源，且這兩個(gè)基站工作正常。若在該正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)地點(diǎn)，則該地點(diǎn)無(wú)信號(hào)的概率為( )

A. 33 B.46 C.48 D. 50

高考數(shù)學(xué)命題思路是在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，同時(shí)兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和應(yīng)用性。雖然定積分內(nèi)容不多，但是可以與其他各章知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，應(yīng)該給予重視。本文只是對(duì)定積分教學(xué)做了幾點(diǎn)優(yōu)化嘗試，更多的優(yōu)化值得教師們?nèi)ヌ剿餮芯俊?/p>