張群香

【摘要】? 數(shù)學(xué)公式是初中數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是數(shù)學(xué)知識的主要載體。數(shù)學(xué)公式反映了數(shù)學(xué)對象的屬性之間的關(guān)系，揭示了數(shù)學(xué)知識的基本規(guī)律。在教學(xué)中，數(shù)學(xué)公式的教學(xué)占有重要的地位，教師在數(shù)學(xué)公式的教學(xué)過程中，不能僅僅停留在公式的表面，應(yīng)該以公式作為載體，注重公式的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式形成的過程，讓學(xué)生真正對數(shù)學(xué)公式理解透徹，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，熟悉公式的各種變換，并且能夠運(yùn)用公式解決數(shù)學(xué)問題。本文以一元二次方程求根公式的教學(xué)為例，談?wù)勗诠浇虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的幾點(diǎn)做法。

【關(guān)鍵詞】? 邏輯推理 公式引入 公式推導(dǎo) 公式應(yīng)用

【中圖分類號】? G633.6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】? A 【文章編號】? 1992-7711（2020）03-097-020

隨著基礎(chǔ)教育課程的深化改革，“核心素養(yǎng)”已成為當(dāng)代教育關(guān)注的熱點(diǎn)話題。在教學(xué)過程中可以通過創(chuàng)設(shè)合理的教學(xué)情境培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，這樣才能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和創(chuàng)新意識，進(jìn)一步推動學(xué)生的整體發(fā)展。數(shù)學(xué)公式的教學(xué)貫穿在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教材中。因此，我們一定要以數(shù)學(xué)公式教學(xué)為載體，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)。我們可以通過研究公式的來龍去脈，學(xué)生能從中學(xué)會推理的基本形式，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣和交流能力，形成舉一反三的能力。那么，如何在數(shù)學(xué)公式中實(shí)現(xiàn)邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)呢？

一、對公式教學(xué)的認(rèn)識

數(shù)學(xué)公式是初中數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是數(shù)學(xué)知識的主要載體。數(shù)學(xué)公式反映了數(shù)學(xué)對象的屬性之間的關(guān)系，揭示了數(shù)學(xué)知識的基本規(guī)律。因此，教師在數(shù)學(xué)公式的教學(xué)過程中，不能僅僅停留在公式的表面，應(yīng)該以公式作為載體，注重公式的推導(dǎo)過程，引導(dǎo)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)公式形成的過程，讓學(xué)生真正對數(shù)學(xué)公式理解透徹，掌握公式的結(jié)構(gòu)特征，熟悉公式的各種變換，并且能夠運(yùn)用公式解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)公式的教學(xué)過程主要由引入、推導(dǎo)和應(yīng)用三個(gè)環(huán)節(jié)。在每一個(gè)環(huán)節(jié)中都要以培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，圍繞這一總目標(biāo)設(shè)計(jì)教學(xué)。

（一）注重公式的引入

新事物的學(xué)習(xí)需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，心理學(xué)的研究調(diào)查標(biāo)明，同樣學(xué)習(xí)一個(gè)知識點(diǎn)，意義識記的學(xué)習(xí)效果要顯著優(yōu)于機(jī)械識記的學(xué)習(xí)效果。因此，在數(shù)學(xué)公式的教學(xué)中，教師不能一上來就把公式拋給學(xué)生，直接讓學(xué)生觀察公式中的字母、符號和文字，而是應(yīng)當(dāng)注重揭示數(shù)學(xué)公式的引入過程。在新公式的引入階段，為了激發(fā)學(xué)生的意義學(xué)習(xí)，加深對所學(xué)公式的感知和理解，教師應(yīng)盡力創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生集中注意力、激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)的情境，并以此情境為契機(jī)，促進(jìn)學(xué)生調(diào)動原有知識結(jié)構(gòu)與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)積極同化新公式。

公式的引入也可以以一些簡單的、可操作的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來呈現(xiàn)。數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)并不一定都以嚴(yán)密的邏輯推理或證明的形式呈現(xiàn)。教師可以設(shè)計(jì)與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的，便于課堂實(shí)施的實(shí)驗(yàn)，以此為索引，引導(dǎo)學(xué)生操作、歸納、猜想新知識，再通過邏輯論證得到數(shù)學(xué)公式。如扇形面積公式的引入，可以在學(xué)生制作紙質(zhì)的扇形圖形，將幾何體剪開得到側(cè)面展開圖的操作過程中引導(dǎo)學(xué)生找到弧長公式和扇形的面積公式。

（二）注重公式的推導(dǎo)

當(dāng)學(xué)生通過各種情境對公式有初步朦朧認(rèn)識的時(shí)候，數(shù)學(xué)公式的教學(xué)就要轉(zhuǎn)向公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下感受知識的產(chǎn)生、發(fā)展、主動參與新知識的構(gòu)建。教師在探究數(shù)學(xué)公式的證明過程中，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷公式來源的過程，讓學(xué)生體會到公式邏輯瑰麗的證明過程應(yīng)該是一個(gè)從特殊到一般的推理過程。在推理過程，每當(dāng)學(xué)生展現(xiàn)一次思維過程，教師可通過問題系列的設(shè)計(jì)將學(xué)生帶入更深層次的思考，要注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比、歸納的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的能力，在比較復(fù)雜的問題情境把握不同對象之間的關(guān)聯(lián)。

（三）注重公式的應(yīng)用

學(xué)生掌握了公式的來龍去脈后，將進(jìn)入公式運(yùn)用階段。學(xué)生學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)公式是理解數(shù)學(xué)公式的前提，教師需要對新學(xué)的公式進(jìn)行合理的強(qiáng)化，這一階段教師要給學(xué)生創(chuàng)設(shè)由簡單到復(fù)雜、由單一到多重、從抽象到實(shí)際的問題背景，同時(shí)，教師加強(qiáng)學(xué)生對公式的變形、公式的正向應(yīng)用、公式的反向應(yīng)用等多方面的練習(xí)。這樣，不僅可以達(dá)到強(qiáng)化新知識的目的，還促進(jìn)學(xué)生對公式的理解，從而讓學(xué)生對數(shù)學(xué)公式能夠運(yùn)用自如。從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)公式的運(yùn)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、逆向思維和創(chuàng)造性思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

二、核心素養(yǎng)視角下的數(shù)學(xué)公式教學(xué)設(shè)計(jì)

本文接下來將以人教版《義務(wù)教育教科書九年級數(shù)學(xué)上冊》中的“用配方法推導(dǎo)一元二次方程的求根公式”為例，研析如何將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)滲透于數(shù)學(xué)公式教學(xué)中。

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

問題1.你能快速說出方程的解嗎？

（1）（x+1）2=3

（2）x2=0

（3）x2=-3

問題2.用配方法解下面的方程：

（1）6x2-7x+1=0

（2）2x2-4x+3=0

問題3：用配方法解一元二次方程一般步驟有哪些？

問題4.通過解上述兩方程，你覺得配方法有哪些優(yōu)勢和不足？你發(fā)現(xiàn)了哪些問題？我們能否針對一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）用配方法求解呢？

[設(shè)計(jì)意圖]

復(fù)習(xí)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的相關(guān)知識，這為后續(xù)公式的分類討論打下基礎(chǔ)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷總結(jié)歸納的過程。與公式法有實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的內(nèi)容是前一節(jié)所學(xué)的配方法，教師以此為新知識生長點(diǎn)呈現(xiàn)練習(xí)題：用配方法解上述兩方程，既激活了學(xué)生頭腦中與新知識密切相關(guān)的已有知識經(jīng)驗(yàn)，又鞏固了配方法。使學(xué)生認(rèn)識到每一個(gè)數(shù)字系數(shù)的一元二次方程都可用配方法來求解，并且用配方法解具體一元二次方程的思路及步驟都相同，同時(shí)體驗(yàn)到配方法的局限性，即形如（1）的一元二次方程，一次項(xiàng)系數(shù)不是2的倍數(shù)或數(shù)字較大時(shí)配方運(yùn)算較繁瑣、用起來不方便。方程（2）配方后完全平方式為負(fù)數(shù)，原方程無實(shí)數(shù)根卻花費(fèi)時(shí)間配方，由此產(chǎn)生疑難和困惑，感悟到具體的配方法已經(jīng)不夠用了。鼓勵學(xué)生對一元二次方程的求解方法做出大膽的猜想，促進(jìn)學(xué)生由特殊到一般的問題的猜想和歸納能力的發(fā)展。

（二）公式的推導(dǎo)與發(fā)現(xiàn)

1.公式的推導(dǎo)

公式推導(dǎo)過程應(yīng)根據(jù)班級中學(xué)生的實(shí)際情況選擇不同的處理方法，對于自主推導(dǎo)有困難的班級可以選用在老師的引導(dǎo)下經(jīng)歷推導(dǎo)公式的歷程，讓學(xué)生看到真實(shí)的思維過程是怎樣的。這一過程并不一定要直接指向正確的解答，而是讓學(xué)生看到教師或前人如何發(fā)現(xiàn)成果或如何從困境中尋找新的思路。

問題5.對一般形式的一元二次方程如何配方？你打算如何思考？能否類比前面的研究方法？請用配方法自主探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解法。

師生活動：學(xué)生自主探究，嘗試推導(dǎo)。兩名學(xué)生板演，教師巡視。

師生共同觀察分析黑板上的同學(xué)的探索過程

ax2+bx+c=0（a≠0）

ax2+bx=-c

教師：這是配方法中的哪一個(gè)過程（移項(xiàng)）

教師：這是配方法中的哪一個(gè)過程（將二次項(xiàng)的系數(shù)化為1）

教師：這是配方法中的哪一個(gè)過程（配方）

教師：這是什么運(yùn)算（開平方運(yùn)算）

（因?yàn)閍≠0所以4a2>0，如果使≥0，那么只有b2-4ac≥0）

教師：如果b2-4ac<0時(shí)，可以進(jìn)行開平方運(yùn)算嗎？（不可以，因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根）

教師：在用配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）時(shí)，需注意什么？

讓學(xué)生暢所欲言。

歸納總結(jié)：對于ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，在這里我們把x=稱為一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。

[設(shè)計(jì)意圖]

在使學(xué)生體驗(yàn)到一般形式配方必要性的基礎(chǔ)上，類比數(shù)字系數(shù)的一元二次方程的配方法，引導(dǎo)學(xué)生對一般形式進(jìn)行配方;在學(xué)生未考慮判別式的符號直創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引發(fā)數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的需求得到求根公式時(shí)，教師運(yùn)用啟發(fā)性提示語給予暗示，從而形成恰當(dāng)程度的認(rèn)知沖突，使學(xué)生產(chǎn)生了新的疑難和困惑，引發(fā)其深層思維和探索興趣，并認(rèn)識到對b2-4ac需要進(jìn)行分類討論。同時(shí)使求根公式由潛在發(fā)展水平轉(zhuǎn)化為學(xué)生的現(xiàn)有發(fā)展水平，又為一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系這一新的潛在發(fā)展水平做了鋪墊，使學(xué)生進(jìn)入新的最近發(fā)展區(qū)。

2.公式的理解

問題5.觀察公式你有哪些發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學(xué)的角度談一談？對今后解一元二次方程有什么幫助？

師生活動：學(xué)生討論交流，教師適時(shí)點(diǎn)撥。

[設(shè)計(jì)意圖]

通過討論加深對求根公式的理解，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a，b，c確定，同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)一步感受到數(shù)學(xué)公式、方法的簡潔美和統(tǒng)一美。理解一元二次方程求根公式中各字母代表的意義及條件，把握公式的結(jié)構(gòu)特征，突出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

（三）應(yīng)用新知，體驗(yàn)公式

1.試一試

用求根公式解前面的方程：6x2-7x+1=0

[設(shè)計(jì)意圖]

回到情境中的練習(xí)，運(yùn)用求根公式解方程6x2-7x+1=0，使學(xué)生體會到求根公式的優(yōu)越性，感悟科學(xué)的研究方法是——發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題。

2.解方程

（1）6y2+13y+6=0

（2）5x+2=3x2

（3）x（x-2）=5-8x

思考：由以上解方程的過程，你能總結(jié)一下使用公式法解方程的步驟嗎？

[設(shè)計(jì)意圖]

使學(xué)生進(jìn)一步體味求根公式的實(shí)質(zhì)，并歸納用求根公式解一元二次方程的基本思路，即先化簡為一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式再運(yùn)用求根公式，概括出在用求根公式解一元二次方程時(shí)可先確定判別式的值再代入求根公式，從而豐富和優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（四）梳理小結(jié)，盤點(diǎn)收獲

（1）回顧公式的探究推導(dǎo)過程，我們經(jīng)歷了怎樣的思考過程？

（2）公式法的優(yōu)點(diǎn)是什么？

（3）使用這個(gè)公式的步驟有哪些？

建立開平方法、配方法與求根公式法的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生感悟化歸思想和分類討論思想。

求根公式法————→配方法————→開平方法

↓? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ↓

用公式時(shí)先考慮判別式的符號化歸的目標(biāo)為降次

[設(shè)計(jì)意圖]引導(dǎo)學(xué)生建立知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，概括本節(jié)課的核心知識及運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和研究方法，旨在使學(xué)生生成組織良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。

總之，公式教學(xué)應(yīng)是公式自然出現(xiàn)、公式探索推導(dǎo)、公式靈活運(yùn)用三位一體的過程。

每個(gè)環(huán)節(jié)都需要教師在邏輯推理核心素養(yǎng)目標(biāo)指引下，精心設(shè)計(jì)，學(xué)生充分參與，長此反復(fù)，公式教學(xué)才能成為培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)的不竭源泉。

[ 參? 考? 文? 獻(xiàn) ]

[1]人民教育出版社課程教材研究所中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心組編的《初中數(shù)學(xué)核心內(nèi)容教學(xué)設(shè)計(jì)案例集》.

[2]蔣海燕，主編的《中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)方略》山東人民出版社.

[3]曹一鳴，等主編的《基于學(xué)生核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科能力研究》北京師范大學(xué)出版社.