王興龍，周志成，王典軍，陳士明

(中國空間技術(shù)研究院通信衛(wèi)星事業(yè)部，北京 100094)

0 引 言

航天器在軌服務(wù)是我國正在建設(shè)發(fā)展的重要航天系統(tǒng)工程之一[1-2]。目標(biāo)衛(wèi)星在軌捕獲等空間近距離操作需要機(jī)械臂與服務(wù)衛(wèi)星協(xié)同配合完成[3]。服務(wù)衛(wèi)星通過導(dǎo)引、繞飛、逼近等軌道機(jī)動(dòng)，最終懸停保持在目標(biāo)衛(wèi)星近距離處，為其搭載的機(jī)械臂提供穩(wěn)定基座；機(jī)械臂通過軌跡規(guī)劃與跟蹤控制，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)捕獲等空間操作。在此過程中，存在兩個(gè)較為突出的問題：一方面，機(jī)械臂是一個(gè)典型的變結(jié)構(gòu)強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，存在建模誤差和外部擾動(dòng)等很多不確定因素；另一方面，服務(wù)衛(wèi)星與目標(biāo)衛(wèi)星的相對位置和姿態(tài)存在耦合，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的反作用力/力矩又會(huì)對服務(wù)衛(wèi)星控制產(chǎn)生干擾。

針對機(jī)械臂控制問題，謝箭等[4]提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制方法，對系統(tǒng)不確定因素具有較好的適應(yīng)能力，但在線學(xué)習(xí)所需時(shí)間較長。Herman[5]和Hu等[6]采用滑模變結(jié)構(gòu)方法設(shè)計(jì)機(jī)械臂控制器，具有響應(yīng)快速、實(shí)時(shí)性強(qiáng)、魯棒性高等特點(diǎn)，但控制誤差容易產(chǎn)生抖顫現(xiàn)象且無法保證有限收斂時(shí)間。服務(wù)衛(wèi)星相對位姿耦合控制方面，李鵬等[7]和Lu等[8]基于C-W方程和姿態(tài)四元數(shù)建立了相對位置和姿態(tài)耦合動(dòng)力學(xué)模型。梁斌等[9]和郭碧波等[10]設(shè)計(jì)了基于視線的相對導(dǎo)航控制方法，Singla等[11]考慮參數(shù)不確定性設(shè)計(jì)了相對姿軌輸出反饋控制律，但上述方法都未考慮機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)對服務(wù)衛(wèi)星控制的干擾。吳劍威等[12]利用遺傳算法對機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行優(yōu)化，減小對衛(wèi)星姿態(tài)的影響，但未涉及衛(wèi)星控制器設(shè)計(jì)。史也[13]和斯祝華等[14]分別對機(jī)械臂和太陽帆板的干擾力矩進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，并設(shè)計(jì)衛(wèi)星控制律，但只考慮了其對衛(wèi)星姿態(tài)控制的影響。徐文福等[15]基于微分運(yùn)動(dòng)學(xué)方程設(shè)計(jì)了機(jī)械臂捕獲目標(biāo)的協(xié)調(diào)控制方法，但同樣未考慮基座衛(wèi)星的位姿耦合問題。

本文提出一種面向空間近距離操作的機(jī)械臂與服務(wù)衛(wèi)星協(xié)同控制方法。采用全局終端滑?？刂圃O(shè)計(jì)機(jī)械臂軌跡跟蹤控制律，采用PD控制設(shè)計(jì)服務(wù)衛(wèi)星相對位姿耦合控制律，并通過前饋補(bǔ)償方式實(shí)現(xiàn)兩者的協(xié)同控制。最后通過仿真，驗(yàn)證控制方法的有效性。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 機(jī)械臂和服務(wù)衛(wèi)星組合體動(dòng)力學(xué)模型

空間近距離操作示意如圖1所示。研究服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星短時(shí)間近距離相對運(yùn)動(dòng)時(shí)，可將目標(biāo)衛(wèi)星軌道系∑to視為慣性系。除特別說明外，文中所有矢量均用其在∑to中的坐標(biāo)分量表示。

基于多剛體系統(tǒng)建模理論，建立機(jī)械臂和服務(wù)衛(wèi)星組合體動(dòng)力學(xué)模型。系統(tǒng)基本假設(shè)定義如下：

假設(shè)1.機(jī)械臂臂桿和服務(wù)衛(wèi)星均視為剛體，不考慮柔性振動(dòng)和液體晃動(dòng)等影響。

假設(shè)2.機(jī)械臂關(guān)節(jié)視為理想鉸鏈，不考慮關(guān)節(jié)柔性和摩擦等非線性因素。

假設(shè)3.機(jī)械臂和服務(wù)衛(wèi)星組合體處于失重環(huán)境中，不考慮重力梯度和其它環(huán)境影響。

根據(jù)上述假設(shè)，采用拉格朗日方程[16]推導(dǎo)得到機(jī)械臂和服務(wù)衛(wèi)星組合體動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

特別地，當(dāng)服務(wù)衛(wèi)星在目標(biāo)衛(wèi)星近距離處懸停保持時(shí)，忽略控制誤差，vs,ωs均可視為零，則式(2)可簡化為基座固定機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程：

(3)

1.2 服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星相對位姿耦合模型

基于空間相對運(yùn)動(dòng)建模理論，建立服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星相對位姿耦合動(dòng)力學(xué)模型。系統(tǒng)基本假設(shè)定義如下：

假設(shè)4.服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星運(yùn)行在標(biāo)準(zhǔn)圓軌道，傾角和偏心率均可視為零，受到的軌道攝動(dòng)均可忽略，兩者相對距離遠(yuǎn)小于其軌道半徑。

假設(shè)5.目標(biāo)衛(wèi)星視為剛體，不考慮其柔性振動(dòng)和液體晃動(dòng)等影響。

根據(jù)假設(shè)4，服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星之間的相對軌道運(yùn)動(dòng)可用C-W方程描述，推導(dǎo)得到兩星相對位置動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

式中：rr,vr分別為服務(wù)衛(wèi)星相對于目標(biāo)衛(wèi)星的位置和速度矢量在∑to中的分量，參數(shù)矩陣M1,C1,N1的表達(dá)式分別為

(5)

式中：ms為服務(wù)衛(wèi)星的質(zhì)量，Ω為目標(biāo)衛(wèi)星的軌道角速度標(biāo)量，E為單位矩陣。

根據(jù)假設(shè)1和假設(shè)5，服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星均視為剛體，采用相對四元數(shù)建模方法推導(dǎo)得到兩星相對姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

式中：λrv為服務(wù)衛(wèi)星相對于目標(biāo)衛(wèi)星的姿態(tài)四元數(shù)的矢量部分，sbωr為服務(wù)衛(wèi)星相對于目標(biāo)衛(wèi)星的角速度矢量在服務(wù)衛(wèi)星本體系∑sb中的分量，sbTs為服務(wù)衛(wèi)星的控制力矩矢量在∑sb中的分量，參數(shù)矩陣B2,M2,C2,N2的表達(dá)式分別為

(7)

式中：λr0為服務(wù)衛(wèi)星相對于目標(biāo)衛(wèi)星的姿態(tài)四元數(shù)的標(biāo)量部分，sbIs,sbIt分別為服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在∑sb中的表示，tbIt為目標(biāo)衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在自身本體系∑tb中的表示，sbωs為服務(wù)衛(wèi)星的角速度矢量在∑sb中的分量。

定義相對位姿耦合狀態(tài)變量：

(8)

聯(lián)立式(4)和式(6)，整理得到服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星相對位姿耦合動(dòng)力學(xué)方程為

(9)

式中：

(10)

式中：sbFs為服務(wù)衛(wèi)星的控制力矢量在∑sb中的分量，Asb為∑sb到∑to的轉(zhuǎn)換矩陣，體現(xiàn)了服務(wù)衛(wèi)星與目標(biāo)衛(wèi)星的相對位姿耦合。

2 機(jī)械臂全局終端滑?？刂?/h2>

2.1 全局終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)目標(biāo)捕獲等空間近距離操作，并考慮實(shí)際星載計(jì)算能力限制，設(shè)計(jì)采用機(jī)械臂與服務(wù)衛(wèi)星協(xié)同控制策略。針對機(jī)械臂和服務(wù)衛(wèi)星分別獨(dú)立設(shè)計(jì)控制器。機(jī)械臂按基座固定方式控制，服務(wù)衛(wèi)星控制誤差產(chǎn)生的位姿變化作為機(jī)械臂控制器的擾動(dòng)項(xiàng)。服務(wù)衛(wèi)星進(jìn)行相對位姿耦合控制，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的反作用力和力矩作為前饋補(bǔ)償疊加到服務(wù)衛(wèi)星控制器中，實(shí)現(xiàn)兩者的協(xié)同控制。

基于全局終端滑?？刂品椒ㄔO(shè)計(jì)機(jī)械臂控制器，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂在基座擾動(dòng)等不確定因素影響下的精確軌跡跟蹤，同時(shí)保證跟蹤誤差在全局范圍的有限收斂時(shí)間。

在基座固定機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，考慮各種不確定因素，機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程為

(11)

式中：ΔD為包括基座擾動(dòng)等在內(nèi)的不確定項(xiàng)。

ΔD=[Δd1,Δd2,…,Δdn]T

(12)

式(11)所示的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1.M(Θm)非奇異，且對稱正定有界。

(13)

定義機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤誤差Em為

Em=Θmd-Θm=[em1,em2,…,emn]T

(14)

式中：Θmd,Θm分別為關(guān)節(jié)期望角度和實(shí)際角度。

構(gòu)造全局終端滑模超平面S為

(15)

式中：

(16)

且有αi,βi>0，p,q為正奇數(shù)(p>q)。

假定ΔD有界，根據(jù)全局終端滑?？刂品椒ǎ瑯?gòu)造機(jī)械臂關(guān)節(jié)軌跡跟蹤控制律為

(17)

式中：

(18)

(19)

且有φi,ηi>0，因而有γi>0，i=1,2,…,n。

2.2 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定理1.對于式(11)所示的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在滿足性質(zhì)2條件下，全局終端滑?？刂坡?17)能夠保證系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

證.滑模面S對時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，并將全局終端滑?？刂坡墒?17)代入，整理得

(20)

由式(19)可得

(21)

將式(21)代入式(20)，并令H=diag(η1,η2,…,ηn)，整理得

(22)

選取Lyapunov函數(shù)為

(23)

將式(23)對時(shí)間t求導(dǎo)，并根據(jù)性質(zhì)2，整理得

-STΦS-STHSq/p

(24)

將式(24)中的矩陣展開，寫成元素求和形式，有

(25)

2.3 跟蹤誤差收斂時(shí)間分析

定理2.對于式(11)所示的機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在滿足性質(zhì)1條件下，全局終端滑?？刂坡?17)能夠保證跟蹤誤差Em在有限時(shí)間內(nèi)收斂到零。

證.根據(jù)性質(zhì)1，M(Θm)非奇異，將不等式(22)兩邊乘以M-1(Θm)，又因?yàn)镸(Θm)對稱正定有界，因此存在矩陣Φ*,H*，滿足

(26)

式中：

(27)

研究機(jī)械臂關(guān)節(jié)i的軌跡跟蹤誤差emi。定義tri為emi從初始狀態(tài)si(0)≠0到滑模面si(tri)=0的收斂時(shí)間，根據(jù)式(26)可得其微分方程為

(28)

從而解得

(29)

在滑模面si=0上，定義tsi為emi從初始狀態(tài)emi(tri)≠0到零點(diǎn)emi(tri+tsi)=0的收斂時(shí)間，根據(jù)式(15)可得其微分方程為

(30)

從而解得

(31)

定義ttotal為機(jī)械臂所有關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤誤差在全局范圍內(nèi)從初始狀態(tài)到零點(diǎn)的總收斂時(shí)間：

(32)

3 服務(wù)衛(wèi)星相對位姿耦合控制

3.1 相對位姿耦合誤差模型

為實(shí)現(xiàn)在目標(biāo)衛(wèi)星近距離處的懸停保持，服務(wù)衛(wèi)星采用相對位姿耦合控制。定義相對位置、速度、姿態(tài)和角速度控制誤差er,ev,eΛ,sbeω分別為

(33)

式中：rrd,vrd分別為服務(wù)衛(wèi)星相對于目標(biāo)衛(wèi)星的期望位置和期望速度矢量在∑to中的分量，Λr,Λrd分別為服務(wù)衛(wèi)星相對于目標(biāo)衛(wèi)星的實(shí)際和期望姿態(tài)四元數(shù)，eΛ0,eΛv分別為eΛ的標(biāo)量部分和矢量部分，sbωrd為服務(wù)衛(wèi)星相對于目標(biāo)衛(wèi)星的期望角速度矢量在∑sb中的分量。

定義相對位姿耦合控制誤差：

(34)

將式(33)和式(34)代入式(9)，并考慮機(jī)械臂反作用力和力矩，整理得到相對位姿耦合誤差動(dòng)力學(xué)方程為

(35)

式中：urm為機(jī)械臂反作用力和力矩矢量在∑sb中的分量。

3.2 相對位姿耦合控制器設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)協(xié)同控制，服務(wù)衛(wèi)星采用“前饋補(bǔ)償+PD控制”的方法，根據(jù)動(dòng)力學(xué)模型估算機(jī)械臂反作用力和力矩，并將其作為前饋補(bǔ)償疊加到相對位姿耦合PD控制器中。服務(wù)衛(wèi)星相對位姿耦合控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 服務(wù)衛(wèi)星相對位姿耦合控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Coupled control structure for relative position andattitude of servicing satellite

(36)

(37)

采用前饋補(bǔ)償+PD控制方法，構(gòu)造服務(wù)衛(wèi)星相對位姿耦合控制律為

(38)

式中：KP,KD分別為比例和微分系數(shù)。通過KP,KD的合理取值，可以保證式(35)所示的相對位姿耦合誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

4 仿真校驗(yàn)

4.1 工程算例

通過工程算例在MATLAB和ADAMS聯(lián)合仿真平臺(tái)上進(jìn)行仿真，驗(yàn)證本文控制方法的有效性。機(jī)械臂設(shè)定為7自由度空間機(jī)械臂，整體構(gòu)型與國際空間站遙控機(jī)械臂系統(tǒng)(SSRMS)相似，D-H坐標(biāo)系如圖3所示，D-H參數(shù)如表1所示，動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表2所示。服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星設(shè)定采用某成熟型號(hào)衛(wèi)星平臺(tái)，動(dòng)力學(xué)參數(shù)如表3所示。

圖3 空間7自由度機(jī)械臂D-H坐標(biāo)系Fig.3 D-H frames of 7-dof space manipulator

表1 機(jī)械臂D-H參數(shù)
Table 1 D-H parameters of manipulator

臂桿iθmi/ (°)αi/(°)ai/mdi/m1θm19000.452θm2-9000.33θm302.70.34θm402.70.35θm59000.36θm6-9000.37θm7000.6

表2 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)參數(shù)Table 2 Dynamic parameters of manipulator

表3 服務(wù)衛(wèi)星和目標(biāo)衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)參數(shù)Table 3 Dynamic parameters of servicing and target satellites

機(jī)械臂全局終端滑?？刂坪头?wù)衛(wèi)星相對位姿耦合控制的參數(shù)分別為

(39)

4.2 仿真結(jié)果

圖4 機(jī)械臂關(guān)節(jié)角度跟蹤誤差Fig.4 Tracking errors of manipulator joint angles

圖5 機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度跟蹤誤差Fig.5 Tracking errors of manipulator joint angular velocities

圖6 機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制力矩Fig.6 Control torques of manipulator joints

服務(wù)衛(wèi)星相對位姿耦合控制仿真得到的相對位置、速度、姿態(tài)和角速度誤差er,ev,eΛv,sbeω分別如圖7～10所示，服務(wù)衛(wèi)星控制力和力矩sbFs,sbTs分別如圖11～12所示。從圖7～12可以看出，在捕獲過程的全部時(shí)間內(nèi)，er,ev,eΛv,sbeω能夠被控制在期望精度，滿足控制要求。sbFs,sbTs三軸分量的最大絕對值分別小于20 N和60 N·m，不超過設(shè)計(jì)限定值，工程實(shí)現(xiàn)可行。

圖7 服務(wù)衛(wèi)星相對位置誤差Fig.7 Relative position errors of servicing satellite

圖8 服務(wù)衛(wèi)星相對速度誤差Fig.8 Relative velocity errors of servicing satellite

圖9 服務(wù)衛(wèi)星相對姿態(tài)誤差Fig.9 Relative attitude errors of servicing satellite

圖10 服務(wù)衛(wèi)星相對角速度誤差Fig.10 Relative angular velocity errors of servicing satellite

圖11 服務(wù)衛(wèi)星控制力Fig.11 Control forces of servicing satellite

圖12 服務(wù)衛(wèi)星控制力矩Fig.12 Control torques of servicing satellite

5 結(jié) 論

本文針對空間近距離操作涉及的動(dòng)力學(xué)與控制問題，提出了一種機(jī)械臂與服務(wù)衛(wèi)星協(xié)同控制方法，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了方法的有效性和適用性。方法具有以下特點(diǎn)：1)能夠有效實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的精確軌跡跟蹤控制，并保證一定的控制精度、穩(wěn)定性和誤差收斂時(shí)間；2)能夠?qū)崿F(xiàn)服務(wù)衛(wèi)星在機(jī)械臂反作用力和力矩影響下的相對位姿耦合控制，協(xié)同完成空間近距離操作任務(wù)。

應(yīng)當(dāng)指出，該控制方法還存在一定問題，如計(jì)算復(fù)雜，每個(gè)控制周期都需要實(shí)時(shí)解算系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，對控制系統(tǒng)硬件性能要求較高。考慮工程實(shí)用性，可以預(yù)先算出服務(wù)衛(wèi)星和機(jī)械臂幾種典型構(gòu)型的動(dòng)力學(xué)參數(shù)，工程實(shí)施時(shí)根據(jù)需要直接調(diào)用相應(yīng)參數(shù)生成控制力和力矩，由此帶來的建模誤差通過控制律魯棒項(xiàng)予以補(bǔ)償。