段 遜，岳曉奎，黨朝輝

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072；2. 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

0 引 言

太陽(yáng)帆航天器是利用太陽(yáng)光壓作為動(dòng)力實(shí)現(xiàn)軌道機(jī)動(dòng)的航天器，可廣泛用于各種深空探測(cè)任務(wù)，例如平動(dòng)點(diǎn)探測(cè)[1-2]。雖然太陽(yáng)帆航天器所獲得的光壓力量級(jí)比較小，但深空探測(cè)任務(wù)時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，其作用是不能忽略的?？紤]太陽(yáng)光壓模型后，航天器軌道動(dòng)力學(xué)會(huì)更加精確，可有效提高GPS衛(wèi)星定軌、星際軌道轉(zhuǎn)移和平動(dòng)點(diǎn)附近周期軌道保持的精度。

平動(dòng)點(diǎn)[3]又稱為拉格朗日點(diǎn)，是航天器同時(shí)受到兩個(gè)天體引力而相互平衡的位置，因其重要的動(dòng)力學(xué)特性受到廣泛的關(guān)注。將太陽(yáng)帆航天器發(fā)送至平動(dòng)點(diǎn)附近[4]，可用作多種空間科學(xué)試驗(yàn)或天文觀測(cè)的良好平臺(tái)，目前美日等國(guó)家已開(kāi)展或計(jì)劃開(kāi)展相關(guān)在軌驗(yàn)證任務(wù)。

美國(guó)航空航天局(NASA)于2010年11月發(fā)射NanoSail-D2[5]太陽(yáng)帆航天器，成為第一個(gè)部署于近地軌道的太陽(yáng)帆航天器，但其面積較小，僅有10 m2，所能提供的加速度有限。未來(lái)計(jì)劃發(fā)射的Light Sail-2[6]太陽(yáng)帆航天器，任務(wù)是維持航天器在日地系統(tǒng)L1平衡點(diǎn)附近的周期軌道上。

2010年，日本宇航局(JAXA)發(fā)射了Ikaros號(hào)太陽(yáng)帆航天器[7]，標(biāo)志著第一個(gè)真正意義上的太陽(yáng)帆航天器的誕生。其動(dòng)力完全來(lái)源于太陽(yáng)光壓，并實(shí)現(xiàn)了飛掠金星的任務(wù)，具有標(biāo)志性和里程碑意義。但整個(gè)任務(wù)過(guò)程中，并未考慮多體的情況。

最早利用太陽(yáng)帆進(jìn)行深空探測(cè)的概念是在1921年由前蘇聯(lián)學(xué)者Tsiolkovsky[8]提出的。而太陽(yáng)光壓模型最早是在1873年，由Maxwell提出的，后續(xù)Wie[9]、McInnes等[10]又對(duì)太陽(yáng)光壓模型進(jìn)行了改進(jìn)。在傳統(tǒng)的限制性三體問(wèn)題中，存在著五個(gè)平動(dòng)點(diǎn)。而當(dāng)添加太陽(yáng)光壓加速度后，則會(huì)導(dǎo)致平動(dòng)點(diǎn)位置發(fā)生移動(dòng)，從而形成一系列“人工”平動(dòng)點(diǎn)。其中太陽(yáng)光壓加速度的大小主要受以下三個(gè)參數(shù)影響：光壓因子以及太陽(yáng)帆板與太陽(yáng)方向之間的兩個(gè)角度，錐角和鐘角。光壓因子主要受太陽(yáng)帆板參數(shù)和面質(zhì)比等參數(shù)影響。目前，國(guó)外的學(xué)者Farrés等[11]和Soldini等[12]研究了在不同坐標(biāo)系下的平動(dòng)點(diǎn)變化情況，但他們均忽略了鐘角的影響，具有很大的局限性。國(guó)內(nèi)學(xué)者龔勝平等[13]，張青斌等[14]，羅超等[15]研究了太陽(yáng)帆航天器的軌道動(dòng)力學(xué)和軌道控制研究，但均基于固定的平動(dòng)點(diǎn)。侯錫云等[16]對(duì)太陽(yáng)帆定點(diǎn)探測(cè)器在地—月系共線的平動(dòng)點(diǎn)附近進(jìn)行了研究，張輝[17]和朱敏[18]也進(jìn)行了太陽(yáng)帆影響下的平動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)研究，不過(guò)只考慮了共線平動(dòng)點(diǎn)在不同光壓因子影響下的變化情況。

基于上述研究的不足，本文考慮了太陽(yáng)帆航天器在光壓因子、錐角和鐘角三者共同作用下的五個(gè)平動(dòng)點(diǎn)變化情況，從而得到了更加細(xì)致全面的五個(gè)三維“人工”平動(dòng)點(diǎn)家族面。由于平動(dòng)點(diǎn)的重要位置以及特殊意義，“人工”平動(dòng)點(diǎn)可以為未來(lái)的科研任務(wù)提供更多的可能，包括提供新的周期軌道及日地流形選擇等，更好地為未來(lái)太陽(yáng)帆航天器在日地系統(tǒng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)和平動(dòng)點(diǎn)周期軌道等方面研究提供有效參考。

1 太陽(yáng)帆航天器的動(dòng)力學(xué)模型

太陽(yáng)帆航天器在限制性三體模型下，只考慮兩個(gè)主天體(地球和太陽(yáng))的力以及太陽(yáng)帆產(chǎn)生的太陽(yáng)光壓力。假設(shè)兩個(gè)主天體質(zhì)量匯于質(zhì)點(diǎn)，由于二者之間的互相吸引力，以圓形圍繞其質(zhì)量中心運(yùn)行。同時(shí)，太陽(yáng)帆航天器也被當(dāng)成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它不影響兩個(gè)主天體的運(yùn)動(dòng)，相反它受兩個(gè)主天體的引力以及太陽(yáng)帆的光壓力影響。本文的模型為限制性三體模型加上太陽(yáng)光壓模型(CR3BP+SRP)。

本文采用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，中心原點(diǎn)位于太陽(yáng)-地球的質(zhì)量中心，X軸沿著連接兩個(gè)天體的線，方向?yàn)閺牡厍蛑赶蛱?yáng)，Z軸垂直于軌道平面，Y軸完成正交參考系。因此，在此旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，太陽(yáng)的位置是X>0，而地球的位置是X<0。采用無(wú)量綱化，認(rèn)為太陽(yáng)和地球的質(zhì)量之和為1，太陽(yáng)地球距離為1，軌道周期是2π。在日地系統(tǒng)中，地球的質(zhì)量是μ=3.00348060100486×10-6，1-μ對(duì)應(yīng)的是太陽(yáng)質(zhì)量。圖1為太陽(yáng)帆航天器在日地限制性三體旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的示意圖。

圖1 太陽(yáng)帆在日地系統(tǒng)下的示意圖Fig.1 Schematic diagram of a solar sail under the Sun-Earth system

設(shè)(X,Y,Z)為太陽(yáng)帆航天器在上述旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的位置，則其動(dòng)力學(xué)模型可以寫(xiě)成：

(1)

式中：

(2)

圖2 太陽(yáng)帆航天器角度示意圖Fig.2 Schematic diagram of solar sail spacecraft’s angle

(3)

2 人工平動(dòng)點(diǎn)的變化特性

平動(dòng)點(diǎn)是在限制性三體問(wèn)題中，受到天體引力與離心力互相平衡的位置，則在這些特殊位置下，探測(cè)器理論上速度和加速度均為零。滿足：

(4)

如果不考慮太陽(yáng)光壓的作用，傳統(tǒng)限制性三體問(wèn)題有五個(gè)平動(dòng)點(diǎn)：有三個(gè)平動(dòng)點(diǎn)在太陽(yáng)和地球的連線上，且具有不穩(wěn)定性。另外兩個(gè)平動(dòng)點(diǎn)在黃道面上，與兩個(gè)主天體形成等邊三角形[7]，且是線性穩(wěn)定的。圖3為五個(gè)平動(dòng)點(diǎn)在日地限制性三體坐標(biāo)系下的示意圖。表1給出了日地系統(tǒng)五個(gè)平動(dòng)點(diǎn)的空間位置[12]。

圖3 日地系統(tǒng)在CR3BP中平動(dòng)點(diǎn)分布圖Fig.3 The Sun-Earth system libration points distributionmap in CR3BP

表1 日地系統(tǒng)平動(dòng)點(diǎn)位置
Table 1 The liberation points position in the Sun-Earth system

平動(dòng)點(diǎn)XYZL1-0.9899900L2-1.0100800L31.0000000L4-0.500003/20L5-0.50000-3/20

若太陽(yáng)帆航天器受到太陽(yáng)光壓的作用，則平動(dòng)點(diǎn)位置發(fā)生改變，新形成的平動(dòng)點(diǎn)分別記為：SL1，SL2，…，SL5。則在CR3BP-SRP模型下，平動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足下式：

(5)

對(duì)式(5)進(jìn)行求解，則可得到新的“人工”平動(dòng)點(diǎn)。本文在求解太陽(yáng)帆航天器的“人工”平動(dòng)點(diǎn)過(guò)程中，考慮了公式內(nèi)的各個(gè)變量參數(shù)：包括光壓因子(β∈(0,1))，錐角(α∈(-π/2，π/2))和鐘角(δ∈(0,2π))，從而在不同的光壓因子下，形成了以錐角和鐘角為變量的3維平動(dòng)點(diǎn)圖。

2.1 “人工”平動(dòng)點(diǎn)SL3，SL4和SL5的變化特性

當(dāng)光壓因子小于10-6的時(shí)候，改變鐘角和錐角的大小，則會(huì)形成五個(gè)不相連的“人工”平動(dòng)點(diǎn)家族面，如圖4所示，其光壓因子取值為7×10-7。圖4中每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)著一個(gè)太陽(yáng)帆角度?？梢园l(fā)現(xiàn)，其不再只是五個(gè)點(diǎn)，而是形成了五個(gè)面。隨著光壓因子增大，大于10-6的時(shí)候，“人工”平動(dòng)點(diǎn)SL3，SL4和SL5開(kāi)始相互靠近(如圖5所示，此時(shí)光壓因子為3×10-6)并最終融合，逐漸合并成了一個(gè)面，此時(shí)形成了三個(gè)不相連的平動(dòng)點(diǎn)家族(即SL1和SL2各一個(gè)平面，SL3，SL4和SL5共形成一個(gè)面)。

圖4 不相連的五個(gè)人工平動(dòng)點(diǎn)(β=7×10-7)Fig.4 Five artificial libration points that are notconnected(β=7×10-7)

圖5 逐漸靠近的人工平動(dòng)點(diǎn)(β=3×10-6)Fig.5 The artificial libration points that areapproaching(β=3×10-6)

考慮SL3到SL5的“人工”平動(dòng)點(diǎn)隨著光壓因子的擴(kuò)大，相互融合成一個(gè)平面，且變化不大，故后續(xù)主要研究離地球最近的兩個(gè)“人工”平動(dòng)點(diǎn)(即SL1和SL2)，也更加具有工程意義。

2.2 “人工”平動(dòng)點(diǎn)SL1的變化特性

當(dāng)光壓因子小于0.03時(shí)，“人工”平動(dòng)點(diǎn)SL1家族是一個(gè)封閉的球面，如圖6所示。圖6(a)、圖6(b)分別是光壓因子為0.01和0.02時(shí)的SL1家族“人工”平動(dòng)點(diǎn)的情況。所選取的參考系及三軸范圍是相同且固定的，圖6(a)中，坐標(biāo)軸內(nèi)部的封閉球面為SL1三維“人工”平動(dòng)點(diǎn)家族，而在XY平面內(nèi)的圖形為三維平動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的投影，便于觀察其變化情況(圖 6(b)及圖7同理)。從圖6可以看出，SL1點(diǎn)“人工”平動(dòng)點(diǎn)家族隨著光壓因子增大，球面擴(kuò)大。

圖6 SL1平動(dòng)點(diǎn)(β<0.03)Fig.6 SL1 liberation points (β<0.03)

當(dāng)光壓因子大于0.03時(shí)，SL1家族“人工”平動(dòng)點(diǎn)分裂成兩個(gè)平面，而不再是一個(gè)封閉的球面。如圖7所示。圖7(a)、圖7(b)分別是光壓因子為0.03和0.05時(shí)的SL1家族“人工”平動(dòng)點(diǎn)的情況。

圖7 SL1平動(dòng)點(diǎn)(β>0.03)Fig.7 SL1 liberation points (β>0.03)

針對(duì)SL1家族的“人工”平動(dòng)點(diǎn)，從圖6和圖7可以得到：當(dāng)光壓因子為零的時(shí)候(即無(wú)太陽(yáng)光壓力的作用)，其平動(dòng)點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)存在太陽(yáng)光壓的作用下，SL1平動(dòng)點(diǎn)會(huì)從一個(gè)點(diǎn)擴(kuò)大至一個(gè)球面，并隨著光壓因子的增大，球面也隨之?dāng)U大。直到光壓因子擴(kuò)大接近某個(gè)臨界值(0.02～0.03)，其會(huì)從一個(gè)封閉的球面分裂成兩個(gè)平面(見(jiàn)圖7(a)和圖7(b))，右半部分隨著光壓因子的增大，向中心點(diǎn)方向移動(dòng)，而左半部分會(huì)隨著光壓因子的增大，向地球方向緩慢移動(dòng)，二者皆與SL3，SL4和SL5形成的平面融合在一起。此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)只有兩個(gè)不相連的平動(dòng)點(diǎn)面，一個(gè)是SL1，SL3，SL4和SL5合并組成的，另一個(gè)則是SL2單獨(dú)形成的。

2.3 “人工”平動(dòng)點(diǎn)SL2的變化特性

相比較“人工”平動(dòng)點(diǎn)家族SL1的復(fù)雜，SL2家族的“人工”平動(dòng)點(diǎn)，更加穩(wěn)定，也更加直觀，如圖8所示。

圖8中從里到外的光壓因子，分別是0.01，0.05，0.09和0.13。從圖8可以看出，SL2家族的“人工”平衡點(diǎn)，不會(huì)隨著光壓因子的變大而分裂，始終是一個(gè)封閉的球面，只是球面不斷擴(kuò)大。

2.4 “人工”平動(dòng)點(diǎn)的變化特性小結(jié)

當(dāng)錐角α=±π/2時(shí)，太陽(yáng)帆板方向與日射方向垂直，則無(wú)太陽(yáng)光壓力，此時(shí)的模型則可簡(jiǎn)化為傳統(tǒng)的限制性三體模型(SLi=Li，i=1,…,5)。

當(dāng)錐角α=0的時(shí)候，太陽(yáng)光垂直照射到太陽(yáng)帆板上，即太陽(yáng)帆板方向與入射光線平行。在這種情況下，太陽(yáng)光壓力與太陽(yáng)的引力方向相反，所以可以理解成太陽(yáng)的質(zhì)量減少了。對(duì)應(yīng)的SL1和SL2家族“人工”平動(dòng)點(diǎn)會(huì)隨著光壓因子的增大，向太陽(yáng)方向靠近運(yùn)動(dòng)。

若錐角取其他值，鐘角δ=±π/2，則會(huì)產(chǎn)生一個(gè)在XY平面內(nèi)的力，“人工”平動(dòng)點(diǎn)也會(huì)對(duì)應(yīng)著向左或向右移動(dòng)。同理，若錐角δ=0°或δ=π，則會(huì)產(chǎn)生一個(gè)垂直于XY平面的力，“人工”平動(dòng)點(diǎn)會(huì)向上或向下移動(dòng)。

當(dāng)錐角(α∈(-π/2，π/2))和鐘角(δ∈(0，2π))各自單獨(dú)變化，則會(huì)得到一個(gè)二維的“人工”平動(dòng)點(diǎn)。若二者同時(shí)改變，會(huì)形成分析中所展示的三維情況。圖4～圖8中的每一個(gè)點(diǎn)均對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的錐角和鐘角。

當(dāng)太陽(yáng)光壓(β∈(0，1))改變的時(shí)候，其各個(gè)平動(dòng)點(diǎn)也會(huì)隨之改變。當(dāng)β<10-6時(shí)，則會(huì)有五個(gè)獨(dú)立互不連接的平動(dòng)點(diǎn)家族。當(dāng)β>10-6時(shí)，SL3到SL5開(kāi)始相互靠近并融合形成了一個(gè)大的平動(dòng)點(diǎn)家族SL3～5。當(dāng)β<0.02時(shí)，SL1始終保持著一個(gè)封閉的球面，此時(shí)有三個(gè)獨(dú)立互不連接的平動(dòng)點(diǎn)家族。當(dāng)β>0.03，SL1會(huì)分裂成兩個(gè)平面，且與SL3～5融合在一起，最終形成兩個(gè)獨(dú)立不連接的平動(dòng)點(diǎn)家族。無(wú)論β如何變化，SL2“人工”平動(dòng)點(diǎn)始終是封閉的曲面，只會(huì)隨著β的增大而擴(kuò)大球面。值得一提的是，“人工”平動(dòng)點(diǎn)分裂后的左側(cè)的SL1始終無(wú)法與SL2家族相融合。

表2 平動(dòng)點(diǎn)基于光壓因子變化特性Table 2 Variation characteristics of liberation points based onsolar parameters

注.Ⅰ表示獨(dú)立封閉不相連球面，Ⅱ表示獨(dú)立不相連面，Ⅲ表示融合。

綜上所述，平動(dòng)點(diǎn)位置的改變，對(duì)應(yīng)的周期軌道也隨之改變，如圖9所示。圖9(a)為三維的圖形，圖9(b)為其XY平面投影。設(shè)置光壓因子為0.02，當(dāng)錐角等于0°，鐘角為90°的時(shí)候，平動(dòng)點(diǎn)和周期軌道為圖9(a)和圖9(b)的右側(cè)部分。若錐角等于60°，鐘角為90°時(shí)，則平動(dòng)點(diǎn)和周期軌道更改為左側(cè)部分。本文對(duì)航天器軌道設(shè)計(jì)的研究意義：1)周期軌道的保持，若航天器沿不穩(wěn)定流形脫離原周期軌道，利用太陽(yáng)帆角度的改變，使航天器沿著穩(wěn)定流形進(jìn)入新的周期軌道。2)規(guī)避地球陰影的影響，如圖9所示。若右側(cè)的周期軌道被陰影遮擋，則可以通過(guò)太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移至左側(cè)的周期軌道上進(jìn)行規(guī)避。3)由原先的五個(gè)平動(dòng)點(diǎn)拓展成了平動(dòng)點(diǎn)家族，為未來(lái)深空探測(cè)軌道設(shè)計(jì)提供了更多的可能性。

圖9 平動(dòng)點(diǎn)位置改變及Lissajous軌道Fig.9 The change of liberation points position andLissajous trajectory

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)太陽(yáng)帆航天器受太陽(yáng)光壓作用會(huì)改變平動(dòng)點(diǎn)位置的問(wèn)題，研究了五個(gè)平動(dòng)點(diǎn)在光壓因子、錐角和鐘角的影響下形成的三維人工平動(dòng)點(diǎn)的變化情況。

本文討論了在不同光壓因子情況下的人工平動(dòng)點(diǎn)SL1～SL5的變化情況。其中，考慮到SL2家族“人工”平動(dòng)點(diǎn)不會(huì)隨著光壓因子β有巨大的改變，適合太陽(yáng)帆航天器在此平動(dòng)點(diǎn)進(jìn)行周期軌道保持等研究，針對(duì)“人工”平動(dòng)點(diǎn)SL1，SL3，SL4和SL5可以互相融合的特點(diǎn)，為未來(lái)的太陽(yáng)帆航天器在日地系統(tǒng)內(nèi)的轉(zhuǎn)移提供了新思路。