王學(xué)友 王宇飛 鄭婉華

1) (中國(guó)科學(xué)院半導(dǎo)體研究所,中國(guó)科學(xué)院固態(tài)光電信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100083)

2) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)材料科學(xué)與光電技術(shù)學(xué)院,北京 100049)

3) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)未來(lái)技術(shù)學(xué)院,北京 101408)

4) (中國(guó)科學(xué)院半導(dǎo)體研究所,集成光電子學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100083)

非厄米的描述對(duì)于開(kāi)放系統(tǒng)有重要意義,滿足parity-time對(duì)稱性的哈密頓量,其參數(shù)在一定范圍內(nèi)可以使能量具有實(shí)的本征值.本文通過(guò)模擬,研究了損耗大小以及結(jié)構(gòu)對(duì)稱性對(duì)條形波導(dǎo)中的parity-time對(duì)稱性的影響,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了電注入條件下由parity-time對(duì)稱破缺導(dǎo)致的脊條波導(dǎo)模式間隔加倍、模式數(shù)減半的現(xiàn)象.

1 引 言

能量守恒對(duì)于一個(gè)閉合系統(tǒng)是很自然的要求,這就會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的本征能量為實(shí)數(shù),這時(shí)所對(duì)應(yīng)的算符就為厄米算符,描述這個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量的厄米性可以確保系統(tǒng)能量為實(shí)數(shù),相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)可寫為非厄米的哈密頓量會(huì)產(chǎn)生復(fù)的本征值,這意味著系統(tǒng)不再幺正,這是非厄米哈密頓量無(wú)法被人們接受的原因.但很多時(shí)候,人們關(guān)注的只是閉合系統(tǒng)中一個(gè)有限的子空間.為了唯象地描述這種開(kāi)放系統(tǒng),開(kāi)始有科學(xué)家們引入非厄米的描述方式.1928 年,Gamow[1]使用復(fù)的能量本征值來(lái)描述粒子隧穿逃離原子核時(shí)的速度,通過(guò)量子力學(xué)的隧道效應(yīng)解釋了α放射性衰變的隨機(jī)性.1943 年,Dirac[2]提出通過(guò)使用非厄米算符和自洽內(nèi)積理論來(lái)解決場(chǎng)論中的發(fā)散問(wèn)題.1954年,Feshbach等[3]通過(guò)引入非厄米的勢(shì)來(lái)描述中子和原子核的散射相互作用.此外還有許多通過(guò)非厄米理論來(lái)討論實(shí)際問(wèn)題的工作[4?9].

早期的非厄米系統(tǒng)中,哈密頓量的虛部通常被用來(lái)描述系統(tǒng)的耗散,這只是對(duì)物理現(xiàn)象的一種非本質(zhì)的唯象描述,因?yàn)檫@樣的描述并不具備幺正性.1998年,基于前人關(guān)于非厄米哈密頓量的研究,Bender和Boettcher[10]提出一類滿足PT對(duì)稱性的非厄米哈密頓量,PT對(duì)稱性中的P是parity,指的是空間反演變換;T是time,指的是時(shí)間反演變換,并證明在一定參數(shù)的取值范圍里,這類哈密頓量的本征能量為實(shí)數(shù),哈密頓量形式為H=p2+x2(ix)ε(ε≥ 0),空間反演變換P的作用是:p → –p,x → –x;時(shí)間反演變換 T 的作用是:p → –p,i → –i.由此可以看出,空間反演算符P是線性算符,而時(shí)間反演算符T是反線性的.對(duì)于哈密頓量H,若其與PT算符滿足對(duì)易關(guān)系則稱這個(gè)哈密頓量具有PT對(duì)稱性,滿足PT對(duì)稱性的哈密頓量可以表達(dá)為當(dāng)哈密頓量對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)ψ也滿足PT對(duì)稱性時(shí),通過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn),這種情況下,能量E 的虛部為 0,滿足 E=E*,這樣的系統(tǒng)具有嚴(yán)格的PT對(duì)稱性.同理,當(dāng)哈密頓量對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)不滿足PT對(duì)稱性時(shí),通過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以證明,如果哈密頓量有本征能量E對(duì)應(yīng)本征函數(shù)ψ,那么存在另一個(gè)本征函數(shù)ψ′,其能量本征值為E*,這意味著系統(tǒng)中的某能量會(huì)和它的復(fù)共軛同時(shí)成對(duì)地出現(xiàn)在能譜中.此時(shí),哈密頓量依然滿足PT對(duì)稱性,但系統(tǒng)中仍可能出現(xiàn)復(fù)的本征能量,這種情況稱為PT對(duì)稱性的自發(fā)破缺.

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和模擬分析

首先采用金屬有機(jī)化學(xué)氣相沉積法(metal organic chemical vapor deposition,MOCVD)生長(zhǎng)了外延晶片,其中波導(dǎo)層由Al(x)GaAs材料構(gòu)成,其折射率n≈3.42,量子阱由GaAs和GaIn(x)As材料構(gòu)成,外延片的詳細(xì)條件在我們之前的工作中有相應(yīng)報(bào)道[23],結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 外延片結(jié)構(gòu)圖Fig.1.Epitaxy structure of wafers.

通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的光刻工藝制備條形激光器,為了滿足PT對(duì)稱條件,使其中一部分能夠通過(guò)電注入對(duì)激光器提供增益,作為增益區(qū);另一部分為了避免載流子擴(kuò)散帶來(lái)的影響,將這部分區(qū)域的高摻層通過(guò)電感耦合等離子體(inductively coupled plasma,ICP)工藝刻蝕掉,然后由SiO2覆蓋,起到絕緣層的效果,由于本征吸收的存在,這部分吸收區(qū)可以作為損耗區(qū),結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 器件結(jié)構(gòu)圖,其中黃色部分為增益區(qū),藍(lán)色部分為損耗區(qū)Fig.2.Device structure diagram,the yellow part is the gain region and the blue part is the loss region.

其中脊條總長(zhǎng)l3=550 μm 的條形波導(dǎo),增益區(qū)長(zhǎng)度l1=450 μm,損耗區(qū)長(zhǎng)度l2=100 μm,條寬w1=7 μm,襯底總寬度w2=300 μm,紅色區(qū)域?yàn)榧す馄饔性磪^(qū),脊條上黃色區(qū)域?yàn)樵鲆鎱^(qū)覆蓋電極,脊條上藍(lán)色部分為損耗區(qū).

激光器測(cè)試時(shí)由夾具固定不動(dòng),通過(guò)控制注入電流來(lái)對(duì)增益區(qū)的增益進(jìn)行調(diào)節(jié),將產(chǎn)生的激光通過(guò)光纖導(dǎo)入光譜儀中,記錄不同電注入水平下,激光器的光譜特性,從而分析電注入條件下PT對(duì)稱對(duì)模式調(diào)控帶來(lái)的影響.

首先計(jì)算了條形波導(dǎo)有源腔和無(wú)源腔中共振模式的本征頻率,波導(dǎo)結(jié)構(gòu)如圖3所示.其中黃色部分為增益區(qū),藍(lán)色部分為損耗區(qū),模擬區(qū)域的外圍通過(guò)完美匹配層對(duì)泄漏光進(jìn)行吸收.通過(guò)對(duì)共振頻率的本征值求解,得到復(fù)數(shù)形式的特征頻率f=fR+ifI,其中 fR為特征頻率的實(shí)部,fI為特征頻率的虛部.波導(dǎo)的折射率 n=nR+inI,其中nR為折射率實(shí)部,nI為折射率虛部.可以通過(guò)對(duì)復(fù)折射率的設(shè)置,來(lái)構(gòu)建一個(gè)滿足PT對(duì)稱性的勢(shì),即要求 n (x)=n*(-x).分別設(shè)置增益區(qū)折射率為nl=nRl+inIl,損耗區(qū)折射率分布為 nr=nRr+inIr.由于在制備器件后,損耗往往較為固定,可以通過(guò)增益的調(diào)節(jié)來(lái)分析PT對(duì)稱的性質(zhì).因此,設(shè)另兩部分的折射率實(shí)部滿足 nRl=nRr=3.42,分別固定損耗區(qū)折射率虛部為 nIr=-0.01 以及 nIr=-0.05,調(diào)節(jié) nIl的大小,計(jì)算模式的變化,結(jié)果如圖4、圖5所示.

圖3 條型波導(dǎo)模擬結(jié)構(gòu)圖Fig.3.Simulation structure of stripe waveguide.

圖4 折射率虛部為 n Ir=-0.01和n Ir=-0.05 時(shí),波長(zhǎng)與 n Il 的關(guān)系圖Fig.4.Relationship between wavelength and nIl when nIr=-0.01 and n Ir=-0.05.

圖4和圖5為固定損耗區(qū)虛部為–0.01和–0.05時(shí)的模擬結(jié)果,其中圖4為 nIl和波長(zhǎng)的關(guān)系曲線圖,圖5為 nIl和特征頻率虛部的關(guān)系曲線圖.可以看到,隨著 nIl的增大特征頻率的虛部數(shù)值首先增大,達(dá)到破缺點(diǎn)后分叉,其中一個(gè)模式的虛部迅速減小,演化為吸收模式 (absorption mode),另一個(gè)模式的虛部增大,作為發(fā)射模式(lasing mode).發(fā)射模式和吸收模式被主要限制在增益區(qū)和損耗區(qū)[18].圖中,黑線和紅線是固定虛部為–0.01時(shí)發(fā)射模式以及吸收模式曲線,藍(lán)線和綠線是固定虛部為–0.05時(shí)發(fā)射模式以及吸收曲線.根據(jù)圖4可以看出,隨著損耗區(qū)損耗的增加,PT對(duì)稱破缺發(fā)生時(shí)所對(duì)應(yīng)的的 nIl的數(shù)值更小,且破缺點(diǎn)的模式簡(jiǎn)并度更高.根據(jù)圖5還可以看出,特征頻率的虛部在破缺點(diǎn)時(shí)的數(shù)值還會(huì)明顯下降.

圖5 折射率虛部為 nIr=–0.01 以及 nIr=–0.05 時(shí),特征頻率虛部與 n Il 的關(guān)系圖Fig.5.Relationship between the imaginary part of the characteristic frequency and nIl when n Ir=-0.01 and nIr=-0.05.

這個(gè)現(xiàn)象可以通過(guò)耦合模方程來(lái)理解[24]:

其中βc為耦合后的傳播常數(shù),β1和β2表示兩種非耦合模式的無(wú)擾動(dòng)解,κ 為耦合系數(shù),當(dāng)損耗腔和增益腔,除損耗外的參數(shù)全都相同時(shí),可得

βr為傳播常數(shù)的實(shí)部,顯然在PT對(duì)稱破缺點(diǎn)時(shí),增益損耗 (γ1-γ2)/2 與耦合系數(shù) κ 之間要滿足一定的比例關(guān)系[25,26],使項(xiàng)帶來(lái)的虛部剛好為0,當(dāng)固定損耗增加時(shí),PT對(duì)稱破缺點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益數(shù)值下降.并且破缺點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的虛部數(shù)值 (γ1+γ2)/2,由于 γ1數(shù)值減小以及 γ2的減小(固定損耗增大),也會(huì)明顯減小.

本文還對(duì)器件結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的影響進(jìn)行了模擬分析,分別模擬了增益區(qū)與損耗區(qū)長(zhǎng)度比例為5∶5,7∶3以及8∶2時(shí)的結(jié)果,如圖6—圖8所示.

圖6為增益區(qū)與損耗區(qū)長(zhǎng)度比例分別為5∶5,7∶3以及8∶2時(shí)的結(jié)構(gòu)圖,圖7和圖8為固定損耗區(qū)虛部為–0.05時(shí)模擬結(jié)果.其中圖7為 nIl和波長(zhǎng)的關(guān)系曲線,圖8為 nIl和特征頻率虛部的關(guān)系曲線.圖中,黑線和紅線、藍(lán)線和綠線、紫線和棕線分別對(duì)應(yīng)增益區(qū)與損耗區(qū)長(zhǎng)度比例為 5∶5,7∶3 以及8∶2時(shí)的發(fā)射模式以及吸收模式.由于模擬結(jié)構(gòu)的總長(zhǎng)度不變,非對(duì)稱性的增加,在這里可以理解為損耗腔損耗的減小,增益腔帶來(lái)的增益與損耗腔帶來(lái)的損耗 (γ1-γ2)/2 與耦合系數(shù) κ 之間仍然要滿足耦合模方程中PT對(duì)稱破缺點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的關(guān)系,損耗的減小會(huì)導(dǎo)致PT對(duì)稱破缺點(diǎn)處對(duì)應(yīng)增益的變大,且破缺點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的特征頻率虛部數(shù)值變大.

圖6 增益區(qū)和損耗區(qū)長(zhǎng)度比為 5∶5,7∶3 以及 8∶2 時(shí)的結(jié)構(gòu)圖Fig.6.Simulation structure of ridged waveguide when length ratio of gain region and loss region is 5∶5,7∶3,and 8∶2.

圖7 長(zhǎng)度比為 5∶5,7∶3 以及 8∶2 時(shí),波長(zhǎng)與 nIl 的關(guān)系圖Fig.7.Relationship between wavelength and nIl when the length ratio is 5∶5,7∶3,and 8∶2.

圖8 長(zhǎng)度比為 5∶5,7∶3 以及 8∶2 時(shí),特征頻率虛部與nIl的關(guān)系圖Fig.8.Relationship between the imaginary part of the characteristic frequency and nIl when the length ratio is 5∶5,7∶3,and 8∶2.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在激射條件下,通過(guò)對(duì)注入電流的控制來(lái)實(shí)現(xiàn)增益的調(diào)制,將激光器的輸出在熱電制冷器(thermoelectric cooler,TEC)制冷的條件下由光纖導(dǎo)入光譜儀中,測(cè)試了其腔模(非激射模)與注入電流大小的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)當(dāng)電流達(dá)到PT對(duì)稱破缺 (約 320 mA) 后,發(fā)生模式簡(jiǎn)并現(xiàn)象,測(cè)試結(jié)果如圖9所示.

圖9 腔模強(qiáng)度與波長(zhǎng)關(guān)系(a)注入電流為100 mA;(b)注入電流分別為310mA(黑 線)、320 mA(紅 線)以及330 mA(藍(lán)線)Fig.9.Relationship between the normalized intensity and wavelength of cavity modes:(a) The injection current is 100 mA;(b) the injection current is 310 mA (black line),320 mA (red line) and 330 mA (blue line),respectively.

由圖9(a)可以看到,模式間隔0.24 nm與理論計(jì)算數(shù)值(Δ λ ≈ λ2/(2nL)=0.25nm)基本匹配.由圖9(b)可以明顯地發(fā)現(xiàn),在發(fā)生PT對(duì)稱破缺后,腔模模式簡(jiǎn)并,模式間隔加倍,并且模式數(shù)減半.這是因?yàn)閷?shí)驗(yàn)制備器件和模擬都是兩個(gè)腔(gain腔和loss腔),是兩個(gè)腔內(nèi)模式的耦合,PT對(duì)稱破缺點(diǎn)其實(shí)就是傳播常數(shù)中項(xiàng)虛部剛好為0的點(diǎn),這就是兩個(gè)模式簡(jiǎn)并為一個(gè)模式的原因,表現(xiàn)出來(lái)的現(xiàn)象就是模式數(shù)減半,相應(yīng)地,模式間隔就會(huì)加倍.當(dāng)腔的個(gè)數(shù)改變時(shí),有可能實(shí)現(xiàn)更高階的模式簡(jiǎn)并,比如模式數(shù)變?yōu)?/3,模式間隔變?yōu)?倍或更多的現(xiàn)象[26].

4 結(jié) 論

通過(guò)模擬分別分析了損耗的大小和非對(duì)稱性對(duì)于PT對(duì)稱性的影響,發(fā)現(xiàn)損耗區(qū)固定損耗的增加會(huì)導(dǎo)致PT對(duì)稱破缺點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的 nIl數(shù)值變小,并且會(huì)使破缺點(diǎn)對(duì)應(yīng)特征頻率的虛部減小;激光器總腔長(zhǎng)不變的情況下,非對(duì)稱性的增加會(huì)導(dǎo)致PT對(duì)稱破缺點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的 nIl數(shù)值變大,并且會(huì)使破缺點(diǎn)對(duì)應(yīng)特征頻率的虛部變大.本文還通過(guò)電注入脊條波導(dǎo)實(shí)驗(yàn),觀察到了激射條件下,腔模發(fā)生PT對(duì)稱破缺的現(xiàn)象,即腔模的模式間隔加倍以及模式數(shù)減半.電注入條件下PT對(duì)稱性的引入有利于對(duì)半導(dǎo)體激光器實(shí)現(xiàn)更好的模式調(diào)控,并且使PT對(duì)稱性在小尺寸、復(fù)雜結(jié)構(gòu)器件中的實(shí)現(xiàn)更為容易.