范 娜，王 群，陸知遙

（電子科技大學(xué)，四川 成都 611731）

一、《機械原理》的重要性及其存在的不足

《機械原理》是研究機械共性問題的專業(yè)核心基礎(chǔ)課，重在引導(dǎo)學(xué)生探究機械系統(tǒng)的本質(zhì)，這對未來開發(fā)新的機械系統(tǒng)至關(guān)重要。然而，眾多高校使用的現(xiàn)有教材對機構(gòu)確定運動的條件并未做本質(zhì)的闡述，也未給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)解釋。

二、《機械原理》與系統(tǒng)論之間的關(guān)系

《機械原理》是對機械系統(tǒng)的分析、設(shè)計以及控制。它本質(zhì)上是將系統(tǒng)論中的內(nèi)容具體應(yīng)用到了機械學(xué)科之中。在現(xiàn)代系統(tǒng)論之中，狀態(tài)空間向量法是一種重要的研究手段，它是一種基于解答空間的問題表示和求解方法，該方法可以比較全面地反映系統(tǒng)各部分之間的相互聯(lián)系，解釋系統(tǒng)運動的規(guī)律和機制。

三、用系統(tǒng)論的思想建立機構(gòu)運動模型

在系統(tǒng)論中，系統(tǒng)的狀態(tài)向量指的是確定系統(tǒng)狀態(tài)的個數(shù)最少的一組變量，在《機械原理》中，我們關(guān)心的是構(gòu)件的空間位置，所以這里的狀態(tài)向量指的是確定構(gòu)件位置的最少向量組，這組獨立參數(shù)組的個數(shù)就是某一機構(gòu)的自由度。運動元素的狀態(tài)與很多的參數(shù)有相互聯(lián)系，以一個桿件舉例，其運動狀態(tài)與其中點的位置，其與三個坐標(biāo)軸的夾角，其某一個端點的位置，等等都有關(guān)。而根據(jù)狀態(tài)向量的定義，我們可以根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)向量來確定所有與系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)的變量。下面我們用公式來表達這種確定關(guān)系，假設(shè)與某一運動元素的狀態(tài)S與S1，S2，S3，S4…有關(guān)，其中的S1，S2，S3為確定這一運動元素狀態(tài)的狀態(tài)向量。用數(shù)學(xué)公式表示就是：

其中

在上式中，f為通過S1，S2，S3來表征S的函數(shù)關(guān)系式，A為S1，S2，S3來求取S的矩陣。

以一常見構(gòu)件為例，如圖1桿件AB。

圖1 桿件AB

將平面上的桿件AB視為一個基本運動元素，SAB為桿件AB的狀態(tài)，具體而言也就是桿件AB在平面中的位置。根據(jù)先修知識與“桿是剛性的”假設(shè)，我們可以根據(jù)點A在平面上的位置（可取其坐標(biāo)系中的橫縱坐標(biāo)，2個參變量，設(shè)為XA、YA），點B在平面坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)（1個參變量，設(shè)為XB），一共3個參變量來完全確定桿件的位置。

舉例來說，桿上點的橫坐標(biāo)我們可以通過XA，YA，XB來表示：

所以，確定該桿件位置所需的獨立參變量的數(shù)目為3，也就是這個桿的自由度為3。

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方程指的是反映系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)系的一組方程組，對于系統(tǒng)的完整的描述稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)空間表達式，建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)空間表達式要根據(jù)系統(tǒng)的物理機理建立相應(yīng)的方程組，并選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)向量，從而得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)空間表達式，并最終完成對系統(tǒng)的分析工作。

基于以上有關(guān)系統(tǒng)論的介紹，接下來對機械原理中的機構(gòu)和概念進行解析。

以四桿機構(gòu)為例，如圖2的四桿機構(gòu)。

圖2 四桿機構(gòu)ABCD

該機構(gòu)中的基本運動元素為3個固定桿件。這三個基本運動元素的狀態(tài)我們用SAB，SBC，SCD來表示，根據(jù)上面的公式1.2，我們可以得到如下方程組：

上式中的XAB，XBC，XCD表示各桿件中點的橫坐標(biāo)，YAB，YBC，YCD表示各桿件點的縱坐標(biāo)，θAB，θBC，θCD表示各桿件與x軸的夾角。

下面我們要根據(jù)系統(tǒng)的物理機理建立結(jié)構(gòu)空間表達式，也就是各個約束的物理意義映射到數(shù)學(xué)域上的情況。以B點的轉(zhuǎn)動副為例，轉(zhuǎn)動副的要求是AB桿上的上端與BC桿上的左端處于同一位置，即

顯然XAB上，YAB上是AB桿運動狀態(tài)的一部分，即

同理

根據(jù)式1.6式1.9有

合并式（1.9），（1.10）可以得到

等價于

等價于

這樣我們就得到了兩個結(jié)構(gòu)方程，再將其他三個約束寫為同樣的形式，有：

這樣即得到了8個結(jié)構(gòu)方程，但由于共有9個參變量，根據(jù)線性代數(shù)和系統(tǒng)論，要完全確定每一個未知參數(shù)的值，我們就要引入與其相對應(yīng)的信息，每一個方程描述的是一個信息。上述情況中方程數(shù)小于參變量數(shù)，也就是說引入的信息量小于未知的信息量，系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且小于未知量數(shù)n，方程組存在無窮多解，無法得到參變量的確定值。這也就說明該四桿機構(gòu)的狀態(tài)S并不是確定的，而若使其得到一個確定值，需要再引入一個信息，這就使得方程組系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相等且等于未知量數(shù)n，方程組有唯一解，也就是確定的機構(gòu)狀態(tài)。該方程的引入即為原動件的外部輸入，比如將桿AB視為原動件，在其運動的某一狀態(tài)桿AB與x軸垂直，即α=90°。α=90°作為新引入的方程，使整個四桿機構(gòu)的狀態(tài)實現(xiàn)確定。而若使機構(gòu)的原動件按照給定的運動規(guī)律運動時，如α為隨時間改變的量（比如α=3t°），機構(gòu)的其他構(gòu)件也會按照一定的規(guī)律運動，整個機構(gòu)的運動便確定下來。