凌征球, 何 冰

(1.玉林師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 廣西 玉林 537000; 2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

在混合邊界條件下考慮下列帶有耗散梯度函數(shù)的拋物方程解的爆破問題:

(1)

其中：Ω是3維空間3中具有凸性和光滑邊界?Ω的一個有界區(qū)域;p,m,a>0,q>2; Δ和分別表示Laplace算子和梯度算子;T表示可能的爆破時間; (?u/?ν)表示在邊界?Ω向外的法向單位導(dǎo)數(shù);u0(x)為平凡有界、 適當(dāng)光滑的非負(fù)函數(shù).形如問題(1)的非線性拋物方程在熱傳導(dǎo)與種群動力系統(tǒng)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-2].目前, 關(guān)于非線性拋物方程解的爆破分析已得到廣泛關(guān)注, 多種拋物方程解的爆破時間下界已被確定[3-7].Li等[8]在齊次Dirichlet邊界條件下研究了問題(1)的爆破現(xiàn)象, 借助Sobolev與一階微分不等式得到了爆破時間的下界估計.本文在混合邊界條件下擴(kuò)展文獻(xiàn)[8]的工作, 由于邊界條件不同, Sobolev不等式將不再可用, 當(dāng)方程的解發(fā)生爆破時, 通過建立一些合適的Sobolev型不等式, 給出爆破時間的下界估計, 進(jìn)而給出下界估計的有效性分析.

1 主要結(jié)果

假設(shè)問題(1)的每個正解除了在某些時刻可能發(fā)生爆破外都是古典解, 本文考慮當(dāng)m,p>1時如果問題(1)的解在有限時刻T發(fā)生爆破, 建立T的下界估計.為此, 定義輔助函數(shù)

(2)

其中k>max{8m-9,16m-8q-9,8p-q,3q-4}.利用Green公式, 可得

(3)

為討論方便, 令v=u(k+q)/q, 則根據(jù)H?der和Poincare不等式, 得

(4)

(5)

這里λ1是下列彈性膜問題的第一正特征值:

于是, 從混合邊界條件, 式(5)可變成

(6)

(7)

(8)

這里θ是任意正的常數(shù).由式(6),(8), 有

(9)

(10)

(11)

從而式(3)變?yōu)?/p>

(12)

由于式(12)的右邊有兩項含有梯度函數(shù), 下面用兩種方法計算當(dāng)爆破發(fā)生時爆破時間的下界估計.

1.1 方法1

下面通過計算第一項抵消第三項.類似于式(7),(8), 得

因此,

(13)

其中μ1是一個正的常數(shù).把式(13)代入式(12), 并選擇μ1滿足d(k+m)μ1-2kl0=0, 得

(14)

下面分別估算J1,J2,J3.

1)估算J1.根據(jù)H?lder不等式與arbs≤ra+sb,r+s=1,a,b>0, 可得

(15)

從而

(16)

類似地, 有

(17)

將式(16),(17)相乘并在Dz上積分, 得

(18)

將式(18)代入式(15)得

(19)

其中

(20)

為了計算式(19)中ω3在Dz上的積分, 把區(qū)域Ω在截面Dz上面的部分與邊界分別記為Ω+和?Ω+, 下面的部分相應(yīng)記成Ω-和?Ω-.于是由散度定理得

從而

(21)

再利用Schwarz不等式, 有

由式(21)得

(22)

類似式(7),(8), 有

(23)

再由Young不等式(a+b)3/2≤21/2(a3/2+b3/2),a,b>0, 則式(22)可變?yōu)?/p>

(24)

這里ε1是一個任意的正常數(shù).再根據(jù)H?lder不等式, 有

(25)

因此, 根據(jù)J1的定義, 并結(jié)合式(24),(25), 且選擇ε1滿足

可得

(26)

(27)

采用上述分析方法計算函數(shù)u9(k+q)/8的積分, 可得類似式(24)的不等式:

(28)

其中ε2是一個任意正的常數(shù).將式(28)代入式(27)并選擇ε2滿足

可得

(29)

(30)

(31)

其中：

(32)

定理1如果p,m>1,τ1>0, 則對于每個按測度式(2)在時刻T爆破的非負(fù)古典解u,T有下界估計式(32).

1.2 方法2

下面通過計算式(12)的第一項抵消第四項.類似于式(13), 可得

(33)

(34)

類似前面估算J1,J2,J3的方法, 可得

其中:

將式(35)～(37)代入式(34), 即可得關(guān)于函數(shù)φ的一階微分不等式:

φ′(t)≤K4φ(t)+K5φ(t)9/8+K6φ(t)3/2,

(38)

其中:

于是可得爆破時間T的下界估計:

(39)

綜上, 有:

定理2如果p>1,m>(q+1)/2,τ1>0, 則對于每個按測度式(2)在時刻T爆破的非負(fù)古典解u,T有下界估計式(39).

2 有效性分析

下面分析定理1和定理2的有效性, 即討論下界估計式T1和T2哪個更趨向于爆破時間T.根據(jù)定理1和定理2的條件, 當(dāng)p>1, 11,m>(q+1)/2.

顯然l0=1,d=1, |Ω|=1,k>6.7.此外, 為了簡化計算, 假設(shè)第一特征值λ1和常數(shù)θ滿足：

λ1-3a(k+q)/(2l0)=1,C1=[λ1-3a(k+q)/(2l0)]-ad(k+q)θ/(2l0)=1/2.

根據(jù)上述分析得到的計算公式, 經(jīng)過計算可得定理1和定理2的相關(guān)數(shù)據(jù)，分別列于表1和表2.

表1 定理1的相關(guān)數(shù)據(jù)

表2 定理2的相關(guān)數(shù)據(jù)

首先, 對于固定的參數(shù)k, 由表1和表2可見, 爆破時間的下界T1和T2滿足T1