孟 鑫, 呂 鑫

(1.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 四平 136000；2.四平市特種設(shè)備檢驗中心, 吉林 四平 136000)

1 引言與預(yù)備知識

時標理論[1]統(tǒng)一了離散與連續(xù)微積分, 使人們能更好地理解離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)之間的細微差別.近年來, 關(guān)于時標動力學(xué)方程解定性性質(zhì)的研究得到廣泛關(guān)注[2-5].反周期解是一類特殊的周期解, 關(guān)于微分方程和差分方程反周期解的研究已取得了許多結(jié)果[6-9].指數(shù)型二分性理論是研究微分方程和差分方程周期解的有力工具, 利用指數(shù)二分性理論可給出方程存在周期解的條件[10-11].本文主要研究非齊次線性時標動力學(xué)方程和半線性時標動力學(xué)方程反周期解的存在性.

|[h(σ(t))-h(s)]-hΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,

xΔ(t)=F(t,x(t)),

(1)

xΔ(t)=A(t)x(t),

(2)

|Φ(t)PΦ-1(s)|≤K1e?α1(t,s),t≥s,

|Φ(t)(I-P)Φ-1(s)|≤K2e?α2(s,t),s≥t,

則稱線性方程(2)具有指數(shù)型二分性.

Φ(t+ω)PΦ-1(s+ω)=Φ(t)PΦ-1(s),

Φ(t+ω)(I-P)Φ-1(s+ω)=Φ(t)(I-P)Φ-1(s).

2 主要結(jié)果

假設(shè)條件：

(H1)線性方程(2)關(guān)于投影P以及常數(shù)K1,K2,α1,α2>0滿足指數(shù)型二分性；

|g(t,x)-g(t,y)|≤L|x-y|,

定理1假設(shè)條件(H1)～(H3)成立, 則非齊次線性方程

xΔ(t)=A(t)x(t)+f(t),

(3)

存在ω-反周期解x(t), 且

證明: 根據(jù)條件(H1), 可直接驗證x(t)為方程(3)的解.根據(jù)條件(H3)及命題2, 有

故x(t)是方程(3)的ω-反周期解.

定理2假設(shè)條件(H1),(H2),(H4)成立, 則半線性方程

xΔ(t)=A(t)x(t)+g(t,x(t))

(4)

存在唯一的ω-反周期解.

考慮ω-反周期方程

xΔ(t)=A(t)x(t)+g(t,y(t)).

(5)

根據(jù)條件(H1)方程(5), 存在解

由于

故Ty∈X, 即T:X→X.

因為T:X→X, 所以T的不動點即為方程(4)的ω-反周期解.對任意的y1,y2∈X, 根據(jù)命題1, 有

因此,

從而T是X上的壓縮映射, 根據(jù)Banach不動點定理, 映射T有唯一不動點, 即方程(4)存在唯一的ω-反周期解.

3 應(yīng)用實例

例1考慮線性方程

(6)

當(dāng)s≥t時, 有

因此, 若取K1=K2=4,α1=4,α2=2, 則線性方程(6)具有指數(shù)型二分性.

例2考慮非齊次線性方程

(7)

例3考慮半線性方程

(8)

根據(jù)定理2, 方程(8)有唯一的ω-反周期解.