孟 鑫, 呂 鑫

(1.吉林師范大學 數學學院, 吉林 四平 136000；2.四平市特種設備檢驗中心, 吉林 四平 136000)

1 引言與預備知識

時標理論[1]統一了離散與連續(xù)微積分, 使人們能更好地理解離散系統與連續(xù)系統之間的細微差別.近年來, 關于時標動力學方程解定性性質的研究得到廣泛關注[2-5].反周期解是一類特殊的周期解, 關于微分方程和差分方程反周期解的研究已取得了許多結果[6-9].指數型二分性理論是研究微分方程和差分方程周期解的有力工具, 利用指數二分性理論可給出方程存在周期解的條件[10-11].本文主要研究非齊次線性時標動力學方程和半線性時標動力學方程反周期解的存在性.

|[h(σ(t))-h(s)]-hΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|,

xΔ(t)=F(t,x(t)),

(1)

xΔ(t)=A(t)x(t),

(2)

|Φ(t)PΦ-1(s)|≤K1e?α1(t,s),t≥s,

|Φ(t)(I-P)Φ-1(s)|≤K2e?α2(s,t),s≥t,

則稱線性方程(2)具有指數型二分性.

Φ(t+ω)PΦ-1(s+ω)=Φ(t)PΦ-1(s),

Φ(t+ω)(I-P)Φ-1(s+ω)=Φ(t)(I-P)Φ-1(s).

2 主要結果

假設條件：

(H1)線性方程(2)關于投影P以及常數K1,K2,α1,α2>0滿足指數型二分性；

|g(t,x)-g(t,y)|≤L|x-y|,

定理1假設條件(H1)～(H3)成立, 則非齊次線性方程

xΔ(t)=A(t)x(t)+f(t),

(3)

存在ω-反周期解x(t), 且

證明: 根據條件(H1), 可直接驗證x(t)為方程(3)的解.根據條件(H3)及命題2, 有

故x(t)是方程(3)的ω-反周期解.

定理2假設條件(H1),(H2),(H4)成立, 則半線性方程

xΔ(t)=A(t)x(t)+g(t,x(t))

(4)

存在唯一的ω-反周期解.

考慮ω-反周期方程

xΔ(t)=A(t)x(t)+g(t,y(t)).

(5)

根據條件(H1)方程(5), 存在解

由于

故Ty∈X, 即T:X→X.

因為T:X→X, 所以T的不動點即為方程(4)的ω-反周期解.對任意的y1,y2∈X, 根據命題1, 有

因此,

從而T是X上的壓縮映射, 根據Banach不動點定理, 映射T有唯一不動點, 即方程(4)存在唯一的ω-反周期解.

3 應用實例

例1考慮線性方程

(6)

當s≥t時, 有

因此, 若取K1=K2=4,α1=4,α2=2, 則線性方程(6)具有指數型二分性.

例2考慮非齊次線性方程

(7)

例3考慮半線性方程

(8)

根據定理2, 方程(8)有唯一的ω-反周期解.