黃秋林
在解數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí),同學(xué)們要抓住幾個(gè)解題要點(diǎn),否則,在解題時(shí)便會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.現(xiàn)舉例說(shuō)明.
一、在解題過(guò)程中要明晰數(shù)學(xué)問(wèn)題
解題的第一步,在于要明確數(shù)學(xué)問(wèn)題的概念、公式、定理、性質(zhì)、符號(hào),這是解題的基礎(chǔ).高中數(shù)學(xué)題目中涉及的概念、公式、定理、性質(zhì)、符號(hào)是平時(shí)在學(xué)習(xí)時(shí)就要去理解、記憶的,做習(xí)題的水平,能夠直接反映出平時(shí)的理解、記憶水平.
例1如果雙曲線x2a2-y2b2=-1的離心率為54,那么兩條漸近線的方程為().
A.x9±y16=0
B.x16±y9=0
C.x3±y4=0
D.x4±y3=0
該題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤為選擇答案D,選擇的依據(jù)為e=ca=54c2a2=2516=a2+b2a2=1+b2a2b2a2=916ba=±34y=±34xx4±y3=0.該題的錯(cuò)誤在于沒(méi)有正確地理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、漸進(jìn)線方程的概念.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),它的漸進(jìn)線方程有兩種形式y(tǒng)=±bax或y=±abx,現(xiàn)在不能僅僅憑雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)確定它的漸進(jìn)線方程為兩種形式中的哪一種,此時(shí)要通過(guò)離心率e=ca>1來(lái)推知a、b的關(guān).現(xiàn)已知離心率為54,那么可知x2a2-y2b2=-1y2b2-x2a2=1,于是e=cb=b2+a2b=54,于是可得ab=34.因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上,所以雙曲線的漸進(jìn)線方程為y=±bax,那么可得y=±43x,從而可得x4±y3=0.審題的第一步就是要明晰數(shù)學(xué)概念,即要明確該題要解決的是什么數(shù)學(xué)問(wèn)題,它涉及的概念是什么,概念和概念之間的關(guān)系是什么.
二、在解題過(guò)程中要應(yīng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S邏輯分析問(wèn)題
解題的第二步,要應(yīng)用嚴(yán)密的思維邏輯分析問(wèn)題.在做習(xí)題時(shí),要用抽象思維來(lái)分析問(wèn)題,然后應(yīng)用分類思想將問(wèn)題分類,把數(shù)學(xué)問(wèn)題變成一個(gè)問(wèn)題的集合.現(xiàn)在,要探討的問(wèn)題,可以成為這個(gè)集合中的非空子集,然后,要理順?lè)强兆蛹g的邏輯關(guān)系,解子集和子集的聯(lián)系,直至完成問(wèn)題的求解.
例2編號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)人,分別坐在編號(hào)為1,2,3,4,5的座位上,則至多有兩個(gè)號(hào)碼一致的坐法種數(shù)為多少?
這一題較為常見(jiàn)的錯(cuò)解為“至多有兩個(gè)號(hào)碼一致”的對(duì)立事件是“三個(gè)或四個(gè)(即五個(gè))號(hào)碼一致”,那么可知三個(gè)號(hào)碼一致有C35A22種,四個(gè)號(hào)碼一致僅1個(gè),于是所求的坐法種數(shù)為A55-C35A22-1=99.該題錯(cuò)誤的原因?yàn)樵趯忣}時(shí),沒(méi)有理解文本內(nèi)容的內(nèi)在邏輯,如果存在3個(gè)號(hào)碼一致的情形時(shí),則另兩個(gè)號(hào)碼就不能一致.于是“至多有兩個(gè)號(hào)碼一致”的對(duì)立事件是“三個(gè)和四個(gè)(即五個(gè))號(hào)碼一致”,于是所求的坐法種數(shù)為A55-C35-1=109.在高中時(shí)期,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),不能僅僅只憑著感覺(jué)、直覺(jué)來(lái)審題,而要應(yīng)用嚴(yán)密的邏輯思維來(lái)分析問(wèn)題,避免在審題時(shí)出現(xiàn)邏輯思維漏洞.
三、在解題過(guò)程中要挖掘文本的隱含條件
解題的第三步,就是要在分析問(wèn)題時(shí),發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中有沒(méi)有隱含的條件.在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),如果沒(méi)有發(fā)現(xiàn)隱含的條件,便意味著沒(méi)有正確的理解問(wèn)題,即不能正確的解答習(xí)題.
例3已知(x+2)2+y24=1,求x2+y2的取值范圍.
該題最常見(jiàn)的錯(cuò)誤為:由已知得y2=-4x2-16x-12,于是可知x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+83)2+283,那么當(dāng)x=-83時(shí),x2+y2有最大值283,于是x2+y2的取值范圍是(-∞,283].該題出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有發(fā)現(xiàn)已知條件中包含一個(gè)隱含條件,即x的取值范圍已經(jīng)受到了限制.該題的正確答案為根據(jù)已知條件得y2=-4x2-16x-12,那么x2+y2=-3x2-16x-12=-3(x+83)2+283,因?yàn)椋▁+2)2+y24=1(x+2)2=1-y24≤1-3≤x≤-1,所以當(dāng)x=-1時(shí)x2+y2有最小值1,從而可得x2+y2的取值范圍是[1,283].在分析題目時(shí),要挖掘出問(wèn)題的隱含條件,把它當(dāng)作數(shù)學(xué)問(wèn)題探討對(duì)象中非空子集的一部分.如果在解題時(shí),沒(méi)有挖掘出隱含條件,那么意味著邏輯分析會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.