郝勝利，馬國遠，許樹學

（北京工業(yè)大學環(huán)境與能源工程學院，北京 100124）

1 引言

目前定基圓半徑圓漸開線被廣泛應用于渦旋體、齒輪、刀具等零件上[1]。逆向工程[2，3]中經常會遇到對已知零件進行測繪反求，近而再對該零件進行優(yōu)化開發(fā)的情形。此過程中，根據(jù)測繪所得圖形確定漸開線的基圓圓心和基圓半徑進而求得整個型線的方程，具有重要意義。

對于一條定基圓半徑圓漸開線，若已知其基圓圓心，可通過構造牛頓迭代算法反求出其基圓半徑值[4]。但在實際工程中遇到的情況通常是，測繪所得零件圖形中的圓漸開線并不顯示基圓圓心，只根據(jù)圓漸開線圖形反求漸開線基圓圓心和基圓半徑。對于基圓漸開線齒輪或花鍵，陳麗萍等人提出了一種基于3次多項式擬合的簡易算法，迭代次數(shù)不超過9次即可快速擬合出滿足精確要求的基圓半徑[5]。對于小模數(shù)齒輪，在獲得齒廓測點數(shù)據(jù)后，張中波運用最小二乘原理建立了圓漸開線基圓半徑的反求模型，并給出了求解的詳細算法[6]。湯潔探討了一種基于最小二乘法原理的求解模型反求未知圓心位置的漸開線的基圓圓心和基圓半徑，但最終用GN法算出的基圓半徑值與理論值偏差為0.64 mm，誤差仍較大[7]。渦旋壓縮機作為第三代壓縮機產品，相比于第一代往復式壓縮機具有結構簡單、體積小和重量輕等優(yōu)點，相比于第二代回轉式壓縮機容積系數(shù)更高、氣流脈動更低[8]。尤其是在汽車空調上，渦旋壓縮機有其它類型壓縮機不可替代的優(yōu)勢[9]。渦旋盤是渦旋壓縮機的關鍵部件，渦旋盤的形狀直接影響壓縮機的性能[10-12]。對渦旋盤進行反求研究，然后在已知的渦旋盤基礎之上進行參數(shù)優(yōu)化設計，探索、創(chuàng)造出擁有自主知識產權的新的開發(fā)技術和新產品，具有重大的理論意義和實用價值[13]。

本文提出了一種基于CAD繪圖軟件的渦旋壓縮機型線方程反求方法，并結合實際工程詳細介紹其具體實施過程，最終反求獲得了滿足加工精度要求的渦旋型線方程，并驗證了所提出方法的可行性。

2 渦旋壓縮機型線方程

渦旋壓縮機由動、靜2個渦旋盤組成，動盤相對靜盤偏心并相差180°安裝。工作時動盤以靜盤為中心作無自轉的回轉平動，完成連續(xù)吸氣、壓縮及排氣的過程。常用的渦旋壓縮機渦旋盤內、外壁型線由圓漸開線生成。圖1所示為一對渦旋盤的嚙合及型線參數(shù)圖，其型線的一般表達式為[14]

外壁漸開線

內壁漸開線

其中 R0——基圓半徑，mm

?——型線漸開角，rad

α——漸開線起始角（又叫作漸開線初始角、漸開線發(fā)生角），rad

關鍵參數(shù)為R0和α，獲知這2個參數(shù)的值，便可唯一確定渦旋壓縮機的渦旋盤內、外壁型線方程。

3 基圓參數(shù)的確定

圖2所示為一條圓漸開線的一小段，A、B、C是其上的任意3點。利用AutoCAD繪圖軟件，在A點、B點和C點作漸開線的法線。在AutoCAD中作漸開線上某點的法線具體步驟為：命令行輸入：xline（構造線），點擊“Enter”；按住shift鍵點擊鼠標右鍵，點擊“垂直”；使鼠標靠近漸開線，出現(xiàn)“遞延垂足”字樣時，單擊鼠標，再選中漸開線上某一點，點擊“Enter”即得到漸開線該點處的法線。選擇點A、點B、點C處的3條法線作為切線，以“相切、相切、相切”繪圓法作圓，此圓即為該漸開線的基圓。

以“相切、相切、相切”繪圓法作圓具體步驟為：用鼠標點擊“繪圖——圓——相切、相切、相切”，而后依次把十字光標靠近點A、點B和點C處的3條法線，待出現(xiàn)“遞延切點”字樣時單擊鼠標，即得到該漸開線的基圓。利用AutoCAD的查詢功能，先選中基圓，再將鼠標放在基圓的象限點處，即可獲知基圓圓心坐標及基圓半徑值。

4 渦旋型線方程的反求

4.1 初步擬合

圖1 渦旋壓縮機渦旋盤的嚙合及型線參數(shù)圖

圖2 以“相切、相切、相切”方式畫圓

根據(jù)上述中的反求基圓的方法，可求得某一待求渦旋型線所對應的漸開線基圓圓心坐標為（1.009945071，0.505085219），基圓半徑R0=2.805106666 mm。

此時先將AutoCAD 的圖形精度調至最大（0.00000000 mm），然后利用AutoCAD的查詢距離命令，多次查詢并求平均值，可得出該渦旋壓縮機渦旋盤的壁厚t=3.998785998 mm。

根據(jù)渦旋盤壁厚t、基圓半徑R0和漸開線起始角α之間的關系

易知α=t/（2R0），將上述渦旋盤壁厚t和基圓半徑R0的值代入（3）式，計算可得

α=0.712768973541771 rad

至此可得反求的內外壁渦旋型線方程為

外壁漸開線

內壁漸開線

與實際的基圓半徑和發(fā)生角真實值進行對比，可獲得所得數(shù)據(jù)的誤差大小

實際值：

基圓半徑 R0=2.801127 mm

發(fā)生角 α=0.7139983 rad

所以誤差為：

基圓半徑誤差 eR0=0.00398 mm

發(fā)生角誤差 eα=-0.00123 rad

4.2 精確擬合

基圓半徑的誤差eR0=0.00398 mm、發(fā)生角的誤差eα=-0.00123 rad，誤差相比于實際精確加工的誤差限（一般在μm級別） 依然較大[8，15-17]，須在上述擬合結果的基礎上進行更加精確的擬合，以獲得滿足實際加工精度要求的渦旋壓縮機型線方程。

對于獲取的一張實際的渦旋壓縮機動盤（或靜盤） AutoCAD圖紙，雖然可以在CAD中查詢出渦旋型線各點的坐標值，但這些坐標值并不能直接用于渦旋型線方程的擬合，其原因在于：對渦旋壓縮機真實繪圖過程中，通常按照型線方程畫出內外型線后，先對型線平移一個坐標（x0，y0） （x0和y0的單位為：mm，x0為正值時代表向右平移，y0為正值時代表向上平移），然后繞基圓中心旋轉一個角度θ（θ單位為：°，θ為正值時代表逆時針旋轉）。故AutoCAD圖紙中的渦旋型線，其基圓圓心坐標通常不是（0，0），并且此刻的圖形還是繞基圓中心旋轉后的圖形。

結合實際加工經驗：繪圖時平移坐標（x0，y0）中的x0和y0至多有一位小數(shù)，旋轉度數(shù)θ為整數(shù)度。

按照初步擬合得到的方程（4） 和（5），在Excel中計算得出隨著漸開角變化時渦旋型線上各點的坐標，然后以排氣孔（此處的排氣孔為實際渦旋壓縮機CAD圖中的排氣孔） 為坐標原點，在CAD中畫出內外型線，如圖3中黑色線所示（紅色線為實際渦旋壓縮機CAD型線）。

根據(jù)實際加工經驗，參照前文4.1節(jié)對渦旋型線方程的初步擬合部分，可知平移坐標為（1，0.5）。

依次通過以下兩步則可使已知的原CAD內外型線與初步擬合得出的型線高度重合，進而利用型線上各點在CAD中的坐標值直接用于型線方程式的擬合：

（1）將原CAD內外型線（圖3中的紅色線） 平移（-1，-0.5）；

（2）將原CAD內外型線繞點（0，0） 旋轉一個角度-θ。

圖3 初步擬合得出的內外型線（黑色線） 和實際渦旋壓縮機CAD內外型線（紅色線）

在CAD中進行多次試探性旋轉平移，根據(jù)兩型線的重合度情況，可得旋轉度數(shù)θ為-15°。如圖5所示，擬合得出的內外型線和經過旋轉+15°、平移（-1，-0.5） 后的原CAD內外型線高度重合。

試探性旋轉平移求旋轉角度θ，采用“先觀察預估再二分法逐漸逼近”的原則進行：首先對于平移（-1，-0.5） 后的原CAD內外型線，選中內外型線執(zhí)行繞點（0，0） 旋轉的命令，在輸入旋轉角度前，拖動鼠標（拖動的效果即為改變旋轉角度），觀察原CAD內外型線與擬合得出的內外型線的重合情況，可知旋轉度數(shù)|θ|＜30°，如圖4所示，圖中的2條射線分別為0°構造線和30°構造線，用于輔助觀察預估旋轉度數(shù)θ；然后輸入旋轉度數(shù)15°，如圖5所示，原CAD內外型線與擬合得出的內外型線高度重合；同上再分別輸入旋轉度數(shù)14°和16°，對比發(fā)現(xiàn)原CAD內外型線與擬合得出的內外型線重合度均不及旋轉度數(shù)為15°時，至此可知旋轉度數(shù)θ為-15°。

圖4 利用觀察法預估可知旋轉度數(shù)|θ|＜30°

圖5 經過旋轉+15°、平移（-1，-0.5） 后的原CAD內外型線和擬合得出的內外型線高度重合

將原CAD 型線平移（-1，-0.5），再繞點（0，0） 旋轉+15°。圖中的渦旋型線在AutoCAD中呈現(xiàn)的各點的坐標值便可直接用于渦旋型線方程的擬合。

方程式擬合在1stOpt軟件中進行。

原CAD型線中內、外型線是由若干段樣條曲線組成的，選組成外線的三段樣條曲線，各取每段樣條曲線上的最后一個點的坐標（對于一段樣條曲線，其上的各點，首、末兩點原則上最準確。由于組成內、外型線樣條曲線上的起始處的點涉及到渦旋齒齒端修正，精確性未知，故不取樣條曲線上的起始處的點而取每段樣條曲線上的最后一個點），將得到的3 個點（-10.21294256，8.07578089）、（16.07632083，-14.65540116） 和（-22.06879417，21.09864371） 作為擬合點，在1stOpt擬合軟件的編程界面中編寫程序代碼，進行型線方程式擬合。

擬合代碼如下：

運算結果詳情：

計算用時（時：分：秒：毫秒）：00：00：01：408

優(yōu)化算法：麥夸特法（Levenberg-Marquardt）+通用全局優(yōu)化法

函數(shù)表達式：（（（-（（-10.21294256）） +r*（cos（t1）+（t1+b）*sin（t1）））^2）+（（-（16.07632083）+r*（cos （t2） +（t2 +b）*sin （t2）））^2） +（（-（（-22.06879417））+r*（cos（t3）+（t3+b）*sin（t3））） ^2））+（（（-（8.07578089）+r*（sin（t1）-（t1+b）*cos（t1）））^2）+（（-（（-14.65540116））+r*（sin（t2）-（t2+b） *cos（t2）））^2）+（（-（21.09864371）+r*（sin（t3）-（t3+b）*cos（t3）））^2））

目標函數(shù)值（最?。?.23197516436008E-5

R：2.80122550464214

B：0.713615130243984

t1：3.82647807724986

t2：6.98565893485534

t3：10.1407691453284

可知擬合結果為

基圓半徑 R0=2.80122550464214 mm

發(fā)生角 α=0.713615130243984 rad

與實際的基圓半徑和發(fā)生角的真實值進行對比，可獲得精確擬合所得數(shù)據(jù)的誤差：

實際值

基圓半徑 R0=2.801127 mm

發(fā)生角 α=0.7139983 rad

與實際值相比擬合誤差

基圓半徑誤差 e（R0）=9.85046×10-5mm

發(fā)生角誤差 eα=-0.00038317 rad

精確擬合所得數(shù)據(jù)與初步擬合數(shù)據(jù)相比，基圓半徑誤差能減小兩個數(shù)量級，發(fā)生角誤差減小一個數(shù)量級，精度可以滿足加工要求。

由上得到渦旋型線圓漸開線方程。

外壁漸開線方程

內壁漸開線方程

5 結論

本文提出了一種基于CAD繪圖軟件的渦旋壓縮機型線方程反求方法。該方法借助CAD繪圖軟件，根據(jù)基圓漸開線的生成原理和性質，由未知圓漸開線上的3個點，借助幾何法便可完成基圓圓心和基圓半徑的反求。將該方法應用于輔助反求渦旋壓縮機型線方程上，最終反求得出的型線方程，與實際型線方程對比，基圓半徑的誤差eR0=9.85046×10-5mm，發(fā)生角的誤差eα=-0.00038317 rad，精度能夠滿足加工要求。