趙惠妍，李伯權(quán)，張 慧，李永義

1.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 蕪湖241003

2.南京工業(yè)大學(xué) 交通學(xué)院，南京210009

1 引言

決策信息以語言變量形式給出的決策問題廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活之中，如人事考核[1]、信息檢索[2-3]、醫(yī)療診斷[4-5]等。在決策過程中，由于人類思維的模糊性、不確定性以及決策問題本身的復(fù)雜性，往往會(huì)直接給出定性的評(píng)估信息，因此，對(duì)該類問題的研究引起了學(xué)者的高度關(guān)注，目前，許多學(xué)者提出了不同的語言信息的集成方式，如基于擴(kuò)展原理的近似計(jì)算模型[6-7]：該模型首先將語言信息轉(zhuǎn)化為模糊數(shù)，再利用模糊數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行近似計(jì)算、基于符號(hào)的語言集成算子[8]、二元組語言模型[9-11]等等。其中，擴(kuò)展原理和符號(hào)的兩類語言信息集成會(huì)不同程度地造成決策信息的丟失，而二元組語言模型不易丟失決策信息，但計(jì)算頗為繁瑣。如何使決策結(jié)果既精確又好算呢？

基于上述問題及研究基礎(chǔ)，同時(shí)考慮到三角模糊數(shù)是將模糊的不確定語言轉(zhuǎn)化為確定數(shù)值的一種方法，并且在信息集成過程中可以簡(jiǎn)化計(jì)算，通過借鑒擴(kuò)展原理和二元組語言信息集成的決策方法，本文首先給出了三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均算子的概念，其次，在文獻(xiàn)[12]的語言術(shù)語的數(shù)值表示（NR）的基礎(chǔ)下，提出了將三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)算子替代語言術(shù)語的數(shù)值表示（NR）的方法，它比文獻(xiàn)[12]中語言術(shù)語的NR更加精確，同時(shí)使語言決策計(jì)算過程更加好算，然后，考慮到語言比例二元組在集成過程中信息不易丟失，而Bonferroni平均算子能夠很好地捕獲輸入變量之間的相互關(guān)聯(lián)情況，可以將多個(gè)輸入變量集結(jié)為一個(gè)輸入變量，提出了語言比例二元組的Bonferroni平均算子的群決策方法，最后，通過球員擇優(yōu)的問題說明該方法的可行性。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1[13]基本單位區(qū)間單調(diào)（BUM）函數(shù)g：[0,1]→[0,1]滿足以下條件：

（1）g(0)=0；

（2）g(1)=1；

（3）若x ＞y，則有g(shù)(x)≥g(y)。

定義2 設(shè)A=(a,b,c)是三角模糊數(shù)[14]，由模糊集A的α -截集[15]定義可知，Aα可以寫成Aα=[a+(ba)α,c-(c-b)α]，那么Aα的中心G(α)可表示為：G(α)=

3 三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均算子

定義3 對(duì)任意的三角模糊數(shù)(a,b,c)，且x ∈[0,1]，有Ax的中心，設(shè)g(x)是任意的BUM 函數(shù)，f(x)是g(x)的導(dǎo)數(shù)，即f(x)=g′(x)，則三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均（TFNCOWA）算子定義為：

注1 下面來解釋一下上述定義中三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均（TFNCOWA）算子的合理性。

（1）離散情形，假設(shè)d1,d2,…,dn為區(qū)間按大小順序任取的一列點(diǎn)，即b ≤dn≤…≤d1≤則令權(quán)重ωi由BUM 函數(shù)g 來表示，即ωi=，由BUM函數(shù)的定義，顯然有)，且[0,1]，故ωi∈[0,1]，ωi=ω1+…+ωn=-g(0)]+…+[g(1)-g=g(1)-g(0)=1-0=0。

此時(shí)利用有序加權(quán)平均OWAg算子來集成n 個(gè)數(shù)據(jù)d1,d2,…,dn得：

令n →∞,x=iΔx,i=0,1,…,n,x ∈[0,1]，對(duì)上式取極限，即得：

定理1 當(dāng)取g(x)=xk(k ＞0)時(shí)，三角模糊數(shù)(a,b,c)的中心有序加權(quán)平均算子為：

證明對(duì)任意的x ∈[0,1],有Ax=[a+x(b-a),c-x(c-，取g(x)=xk(k ＞0)，得：

注2 當(dāng)g(x)=-x2+2x 時(shí)，滿足BUM 函數(shù)的三個(gè)條件，可以得到三角模糊數(shù)(a,b,c)的中心有序加權(quán)平均算子為：

注3 當(dāng)g(x)=時(shí)，滿足BUM 函數(shù)的三個(gè)條件，可以得到三角模糊數(shù)(a,b,c)的中心有序加權(quán)平均算子為：

4 基于三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均算子的語言術(shù)語的數(shù)值表示（NR）

在這一部分提出用三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均算子代替語言術(shù)語的數(shù)值表示（NR）的方法。

本文用區(qū)間[0,1]上的三角隸屬函數(shù)來定義語言術(shù)語的語義。

語言術(shù)語集S={s0,s1,…,sg} 可以是等距的，也可以是不等距的。如圖1和圖2分別展示了等距語言術(shù)語集和不等距語言術(shù)語集的例子，當(dāng)語言術(shù)語集是等距的時(shí)候，可以用三角隸屬函數(shù)的核bi來表示一個(gè)語言術(shù)語si，如果語言術(shù)語集不是等距的，特別是語言術(shù)語集是不平衡的，在這種情況下，語言術(shù)語集的語言術(shù)語si主要是由核bi決定的，但是左寬li和右寬ri也會(huì)有一些影響，要解決這個(gè)問題，引入了文獻(xiàn)[12]中的語言術(shù)語的數(shù)值表示（NR）。

圖1 等距語言術(shù)語集S={ }s0,s1,…,s8

圖2 不等距語言術(shù)語集S={ }s0,s1,…,s4

定義4[12]設(shè)三角模糊數(shù)為Ai=(ai,bi,ci)，語言術(shù)語si∈S={s0,s1,…,sg} ，其中i=0,1,…,g,Ai是si的語義，li=bi-ai和ri=ci-bi分別稱Ai或si的左寬度和右寬度，k1=-(θ-η)≤0，k2=η ≥0，其中θ-η 和η 分別表示li和ri的重要性，0 ≤η ≤θ ≤1，那么語言術(shù)語的數(shù)值表示（NR）定義為，NR：S →[0,1]，NR(si)=bi+k1li+k2ri。

由上可知，在等距語言術(shù)語集的情況下NR(si)=bi，在不等距語言術(shù)語集的情況下，特別是語言術(shù)語集是不平衡的情況下，NR(si)=bi+k1li+k2ri。

考慮到語言術(shù)語的數(shù)值表示與三角模糊數(shù)有關(guān)，并且三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)算子的幾何意義和語言術(shù)語的數(shù)值表示的幾何意義非常接近，那么語言術(shù)語的數(shù)值表示能否用三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)算子來計(jì)算呢?下面考慮幾種情況：

（1）若g(x)=xk,則TFNCOWA((a,b,c))=·a+，假若可以得到

（2）若g(x)=-x2+2x,則：

通過這幾種情況可以知道語言術(shù)語NR是可以通過三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)算子代替的。

為了方便計(jì)算，此處僅討論g(x)=xk(k ≥0)的情形，可以發(fā)現(xiàn)利用三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均算子比文獻(xiàn)[12]中求語言術(shù)語的NR更加接近語言術(shù)語的NR。

例1 設(shè)S={s0,s1,s2,s3,s4} 是語言術(shù)語集，如圖2，語言術(shù)語集中的語言術(shù)語利用三角模糊數(shù)表示為：

s0=(0,0,0.5)，s1=(0,0.5,0.75)

s2=(0.5,0.75,0.875)，s3=(0.75,0.875,1)

s4=(0.875,1,1)

方法1 利用文獻(xiàn)[12]中的模型(M-1)求解，得到θ*=1,η*=0.185，因此，語言術(shù)語的NR是：

NR(s0)=0.093 8，NR(s1)=0.058 2，NR(s2)=0.570 3

NR(s3)=0.796 9，NR(s4)=0.898 4

方法2 若s=(a,b,c)，則可以利用本文所得到的語言術(shù)語的數(shù)值表示（NR）的計(jì)算公式：

利用方法1得到NR(s1)=0.058 2，方法2得到NR(s1)=0.458 和NR(s1)=0.498，圖2 中可以看出s1的數(shù)值表示是0.5，顯然方法2中的結(jié)果更接近0.5，并且由圖3可以發(fā)現(xiàn)，利用方法2（k 越大）算出的語言術(shù)語的數(shù)值表示更貼近例中的語言術(shù)語的數(shù)值表示。在此可以得到方法2比方法1好。

圖3 語言術(shù)語的數(shù)值表示的比較

5 語言比例二元組Bonferroni平均算子的群決策方法

近年來，許多學(xué)者對(duì)語言比例二元組信息集成方式進(jìn)行了研究，提出了不同的語言比例二元組信息集成算子，如比例二元組加權(quán)平均算子、比例二元組幾何算子、比例二元組混合幾何平均算子等等，這些算子在聚合過程中都是通過下標(biāo)進(jìn)行計(jì)算的，而語言項(xiàng)的語義（隸屬函數(shù)）沒有考慮，從文獻(xiàn)[16]的結(jié)果中可知，上述集成方式適合等距的語言術(shù)語的聚合，如果語言術(shù)語是不等距的，特別是語言術(shù)語是不平衡的，這些算子的應(yīng)用可能會(huì)導(dǎo)致不合理的結(jié)果，為了克服語言信息以LT2T 給出的形式的局限性，提出了語言比例二元組Bonferroni 平均算子。

定義5[17]設(shè)ai是非負(fù)實(shí)數(shù)，假設(shè)p,q ≥0，則Bonferroni平均算子被定義為：

定義6[16]設(shè)是語言術(shù)語集，對(duì)α ∈[0,1]，si,si+1∈S，稱(αsi,(1-α)si+1)為語言比例二元組，記作LP2T，所有語言比例二元組構(gòu)成的集合記為，即：

定義7 設(shè)S={s0,s1,…,sg} 是語言術(shù)語集，是所有語言比例二元組的集合，語言比例二元組的數(shù)值表示NR(αsi,(1-α)si+1)定義為，NR:Sˉ→[0,1]，NR(αsi,(1-α)si+1)=αNR(si)+(1-α)NR(si+1)。

因?yàn)镹R(si),NR(si+1)∈[0,1]，可知：

NR(αsi,(1-α)si+1)∈[0,1]

定義8 NR的逆定義為，NR-1:[0,1]→Sˉ，NR-1(x)=(αsi,(1-α)si+1)，其中i 是由條件x ∈[NR(si),NR(si+1)]確定

定理2 LP2T的NR是單調(diào)的。

證明用LP2T 的比較規(guī)則[16]可證LP2T 的NR 是單調(diào)的。

定義9 設(shè)S={s0,s1,…,sg} 是語言術(shù)語集，Sˉ是所有語言比例二元組的集合，y1,y2,…,yn∈，語言比例二元組Bonferroni平均（LP2TBM）算子定義為：

LP2TBM(y1,y2,…,

它具有下列優(yōu)良性質(zhì)：

（1）（冪等性）設(shè)yi∈Sˉ是語言比例二元組，若yi=y，i=1,2,…,n，則有：

LP2TBM(y1,y2,…,=y

（2）（單調(diào)性）設(shè)xi，yi(i,=1,2,…,n)是語言比例二元組，若對(duì)任意的i，xi≥yi，則有：

LP2TBM(x1,x2,…,xn)p,q≥LP2TBM(y1,y2,…,yn)p,q

（3）（有界性）設(shè)xi(i=1,2,…,n)是語言比例二元組，若x-=min{xi}，x+=max{xi}，則：

下面介紹一種語言比例二元組Bonferroni平均算子的群決策方法，具體步驟如下：

步驟1 對(duì)于某一語言多屬性決策問題，假設(shè)A 和U 分別為方案集和屬性集，決策者給出方案集是A={A1,A2,…,Am}，屬性集是U={u1,u2,…,un}，專家集D={d1,d2,…,dt}，語言術(shù)語集S={s0,s1,…,sg}，是第k 位專家對(duì)方案ai∈A 在屬性u(píng)j∈U 下的語言比例二元組，是決策矩陣，其中i=1,2,…,m ，j=1,2,…,n,k=1,2,…,t,計(jì)算方案ai∈A 在屬性u(píng)j∈U下的語言比例二元組的NR。

步驟2 利用語言比例二元組Bonferroni 算子算出第k 位專家對(duì)方案評(píng)估的綜合屬性值其中i=

步驟3 再次利用LP2TBM 算子計(jì)算出t 位專家對(duì)方案Ai的綜合評(píng)估值z(mì)i(i=1,2,…,m)：

步驟4 計(jì)算NR(zi)，并對(duì)NR(zi)進(jìn)行排序，根據(jù)排序結(jié)果對(duì)方案進(jìn)行擇優(yōu)。

6 案例分析

設(shè)某足球隊(duì)有4 名后備球員，由于主力球員受傷，現(xiàn)在想從4 名球員中選擇1 名球員參加比賽，用A={A1,A2,A3,A4}來表示4名球員，在對(duì)4名球員進(jìn)行評(píng)估時(shí)，所要考慮的屬性有u1（技術(shù)），u2（經(jīng)驗(yàn)），u3（心理），用U={u1,u2,u3}表示，現(xiàn)請(qǐng)3位專家D={d1,d2,d3}對(duì)4位球員進(jìn)行評(píng)估表示第k 位專家對(duì)方案Ai在屬性u(píng)j∈U 下的語言比例二元2組，專家對(duì)球員的評(píng)價(jià)用下面的決策矩陣Rk=表示，設(shè)語言術(shù)語集S={s0,s1,…,s8}如圖4所示。

圖4 語言術(shù)語集S={ }s0,s1,…,s8

語言術(shù)語s=(a,b,c)，語言術(shù)語的NR的計(jì)算選用公式

計(jì)算出3個(gè)決策矩陣中語言比例二元組的NR：

利用LP2TBM 算子算出三位專家對(duì)4 名球員的綜合屬性值z(mì)ki(i=1,2,3,4,k=1,2,3)，結(jié)果如表1所示。

表1 三位專家對(duì)4名球員的綜合屬性值

表1 三位專家對(duì)4名球員的綜合屬性值

再次利用LP2TBM 算子計(jì)算出各方案的綜合評(píng)估值z(mì)i(i=1,2,3,4)：

因此，z1=NR-1(0.425),z2=NR-1(0.415),z3=NR-1(0.458),z2=NR-1(0.426)。

因?yàn)镹R(z1)=0.425,NR(z2)=0.415,NR(z3)=0.458,NR(z4)=0.426，可以得到：

NR(z3)＞NR(z4)＞NR(z1)＞NR(z2)

從而，相對(duì)于其他三名球員，第三位球員綜合素質(zhì)相對(duì)較好，應(yīng)該選第三位球員A3參加比賽。

因?yàn)長(zhǎng)P2T可以轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)2T，而二元組OWA算子也是語言信息集成的一種算子，所以下面用二元組OWA算術(shù)平均算子的群決策方法來解決上面的案例問題。

步驟1 利用轉(zhuǎn)換函數(shù)[12]：

將LP2T 決策矩陣R1,R2,R3轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)2T 決策矩陣

步驟2 二元組OWA算術(shù)平均算子[9]：

其中β*j是βi中第j 大的，βi=Δ-1(si,α)=i+α，通過二元組OWA算術(shù)平均算子算出三位專家對(duì)4名球員的綜合屬性值z(mì)ki(i=1,2,3,4,k=1,2,3)，結(jié)果如表2所示，設(shè)屬性權(quán)重w=(0.6,0.2,0.2)。

表2 三位專家對(duì)4名球員的綜合屬性值

表2 三位專家對(duì)4名球員的綜合屬性值

步驟3 設(shè)專家的權(quán)重ω=(0.6,0.3,0.1)，再次利用二元組OWA 算術(shù)平均算子算出各方案的綜合評(píng)估值Fi(i=1,2,3,4)：

由二元組的比較規(guī)則[9]可知，F(xiàn)2＜F4＜F1＜F3，應(yīng)該選第三位球員A3參加比賽。

由上可知最優(yōu)方案是一樣的，但排名不同，這是因?yàn)槎MOWA算術(shù)平均算子利用了L2T的下標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，它沒有考慮語言術(shù)語的語義。因此，它適用于等距的語言術(shù)語集，如果語言項(xiàng)不是等距的，特別是不平衡的，使用二元組OWA 算術(shù)平均算子會(huì)造成信息丟失。LP2TBM 算子利用了語言術(shù)語的NR，由于語言術(shù)語的NR 既適用于平衡的語言術(shù)語，也適用于不平衡的語言術(shù)語集，因此LP2TBM 算子既適用于平衡的語言術(shù)語，也適用于不平衡的語言術(shù)語集，另外，Bonferroni平均算子具有使聚合值之間相互增強(qiáng)的作用。故LP2TBM 算子將二元組的應(yīng)用推廣到更一般的語言術(shù)語集上。

7 結(jié)束語

在決策問題中，關(guān)于信息的集成問題，有時(shí)需要使用聚合算子來聚合信息，即聚合值在聚合過程中相互影響。本文將類似的思想應(yīng)用到語言比例二元組環(huán)境中，首先定義了三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均算子。其次，利用三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均算子，對(duì)文獻(xiàn)[12]中的語言術(shù)語的NR 進(jìn)行了改進(jìn)，并且用實(shí)例說明基于三角模糊數(shù)的中心有序加權(quán)平均算子得到的語言術(shù)語的NR更貼近語言術(shù)語的核的圖像，驗(yàn)證了所提方法的可行性和合理性。為了克服語言信息以LT2T給出的形式的局限性，提出了語言比例二元組Bonferroni平均算子，并探討了它的一些優(yōu)良性質(zhì)，進(jìn)而提出了語言比例二元組Bonferroni 平均算子的群決策方法，最后通過實(shí)例驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性。