王龍飛，鄧 亮，劉 萍

上海電力大學(xué) 自動化工程學(xué)院，上海200090

1 引言

近年來，隨著航天、納米生物工程、微電子、精密制造等領(lǐng)域的快速發(fā)展，壓電執(zhí)行器在微納米定位受到越來越廣泛的關(guān)注[1-2]。然而，輸出位移與驅(qū)動電壓之間的遲滯非線性限制了其在快速高精度定位系統(tǒng)中的推廣[3-4]。為此，研究人員采用各種數(shù)學(xué)模型描述遲滯非線性，如Preisach模型[5]、Prandtl-Ishlinskii模型[6]，Bouc-Wen模型[7]和Jiles-Atherton模型[8]等。Bouc-Wen模型可描述各種遲滯非線性和遲滯動態(tài)行為，在壓電精密定位平臺、磁流變阻尼器、音圈電機等遲滯系統(tǒng)建模中得到廣泛應(yīng)用[9-10]。然而，由于模型復(fù)雜的非線性特性和辨識參數(shù)較多，其參數(shù)辨識已成為具有挑戰(zhàn)的問題[11]。

利用Bouc-Wen模型對壓電精密定位平臺實施建模需辨識五個參數(shù)，其參數(shù)對滯環(huán)形狀的影響呈現(xiàn)強非線性，很難根據(jù)大量的數(shù)據(jù)總結(jié)具體模型的參數(shù)范圍。據(jù)此，Bouc-Wen 模型在磁性材料領(lǐng)域的應(yīng)用相對較少。隨著有效數(shù)值算法的發(fā)展，Bouc-Wen 模型參數(shù)辨識已更為準(zhǔn)確，模型的動態(tài)性能有望得到改善[12-13]。文獻(xiàn)中討論了幾種實現(xiàn)這一目標(biāo)的方法，包括解析法、高斯-牛頓法、單純形法、簡化梯度法和擴展卡爾曼濾波[14-15]。由于遲滯非線性辨識的復(fù)雜性，隨機優(yōu)化被認(rèn)為是一種很好的解決策略。近年來，已有學(xué)者采用遺傳算法[16]、粒子群優(yōu)化[17-18]、差分進(jìn)化[19-20]等算法辨識遲滯非線性模型。此外，Laudani等人運用度量-拓?fù)溥M(jìn)化優(yōu)化算法獲得了Bouc-Wen模型參數(shù)[21]。盡管前述方法已產(chǎn)生準(zhǔn)確的辨識結(jié)果，但依然可開發(fā)新穎的群智能優(yōu)化算法以獲得更快的收斂速度和更高的辨識精度。為此，本文提出一種改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法（IFOA）對壓電精密定位平臺遲滯Bouc-Wen模型參數(shù)進(jìn)行辨識。

果蠅優(yōu)化算法（Fruit fly Optimization Algorithm，F(xiàn)OA）是由中國臺灣學(xué)者潘文超于2011年6月提出的一種全局優(yōu)化智能算法[22]。該算法已成功應(yīng)用于科學(xué)和工程領(lǐng)域，并在求取函數(shù)極值、微調(diào)Z-SCORE 模型系數(shù)、優(yōu)化廣義遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)和支持向量機回歸參數(shù)等方面有著廣泛應(yīng)用。與其他智能優(yōu)化算法相比，F(xiàn)OA具有簡單易懂、調(diào)節(jié)參數(shù)較少、計算量小、尋優(yōu)能力較強且尋優(yōu)精度較高等優(yōu)點。因此，設(shè)計改進(jìn)的FOA 并將其應(yīng)用于Bouc-Wen模型的參數(shù)辨識具有重要的研究意義。迄今為止，尚未有基于改進(jìn)果蠅優(yōu)化的壓電精密定位平臺遲滯Bouc-Wen模型的辨識報道。為了提高算法的優(yōu)化性能，本文從種群多樣性保持、迭代搜索步長設(shè)置和后期精確尋優(yōu)三個方面對FOA 進(jìn)行改進(jìn)，提出改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法（Improved Fruit fly Optimization Algorithm，IFOA），使算法尋優(yōu)性能得到提升并將其成功應(yīng)用于壓電精密定位平臺Bouc-Wen模型的參數(shù)辨識。

2 果蠅優(yōu)化算法

FOA 是基于果蠅覓食行為而推演出的一種尋找全局最優(yōu)解的群智能優(yōu)化算法。果蠅本身具有敏銳的視覺和嗅覺系統(tǒng)，對漂浮在空氣中的氣味顆粒具有超強的感知能力。果蠅個體利用其嗅覺系統(tǒng)能迅速地向接近食物源的方向飛去，同時其利用敏銳的視覺系統(tǒng)發(fā)現(xiàn)同伴聚集的位置，并向該位置飛去。果蠅尋找食物的過程是不斷地從食物味道濃度低的地方飛向濃度高的地方，直至發(fā)現(xiàn)食物源為止。

果蠅群體迭代搜索食物的過程如圖1 所示，F(xiàn)ly group 表示果蠅群體的初始位置；Fly1,Fly2,Fly3為果蠅個體的搜索方向；Dist 為果蠅個體與原點之間的距離；S 表示果蠅個體的味道濃度判定值，其為距離的倒數(shù)；Smell 為果蠅個體對應(yīng)的味道濃度值，其是味道濃度判定值的函數(shù)。

根據(jù)果蠅的覓食特征，果蠅優(yōu)化算法的具體步驟如下：

步驟1 初始化果蠅群體位置(xp,yp)，并給出種群規(guī)模SizePop 和最大迭代次數(shù)MaxIter。

圖1 果蠅群體迭代搜索食物示意圖

步驟2 賦予果蠅個體隨機方向和距離，利用嗅覺尋找食物。

式中，i=1,2,…,SizePop,xi,yi為第i 個果蠅種群的初始位置；randx,i,randy,i為[0，1]內(nèi)的兩個任意隨機數(shù)。

步驟3 估算果蠅個體距原點的距離Di并計算味道濃度判定值Si：

步驟4 將Si代入味道濃度判定函數(shù)（即適應(yīng)度函數(shù)f）得到果蠅個體的味道濃度值Smelli：

步驟5 找出味道濃度最佳的果蠅個體（這里取最小值）并記錄該果蠅的最佳氣味濃度值bestSmell 和在此種群對應(yīng)的標(biāo)號bestIndex：

步驟6 將最佳氣味濃度值bestSmell 記為Smellbest，并記錄相應(yīng)的位置坐標(biāo)和最佳氣味濃度判斷值bestS。果蠅群體將利用視覺飛向該位置：

步驟7 算法完成初始化，開始進(jìn)入迭代尋優(yōu)過程。

對步驟2～5重復(fù)執(zhí)行，判斷當(dāng)前最佳味道濃度值與上一代最佳味道濃度值的大小，若當(dāng)前最佳味道濃度值小于上一代最佳味道濃度值（此時目標(biāo)函數(shù)是求最小值），則執(zhí)行步驟6，否則繼續(xù)進(jìn)行迭代，直至達(dá)到最大迭代次數(shù)為止。

3 改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法

原始的FOA結(jié)構(gòu)簡單，代碼易于實現(xiàn)，相比于其他智能算法，具有調(diào)節(jié)參數(shù)少，計算速度快，尋優(yōu)精度高等優(yōu)點。然而，原始的FOA依然存在以下缺陷：

（1）在算法尋優(yōu)時，每次迭代果蠅都飛向適應(yīng)度值最高的果蠅個體，這在一定程度上降低了果蠅群體的多樣性。一旦該果蠅個體位于局部最優(yōu)值附近，算法極易陷入局部最優(yōu)解。

（2）算法每次迭代都取固定步長。搜索步長若取值較大，在迭代前期會加快算法的尋優(yōu)速度，但迭代后期，過大的搜索步長會使算法在最優(yōu)解附近徘徊，始終達(dá)不到精度要求；若取值較小，則大大降低算法尋優(yōu)速度，使得算法的整體尋優(yōu)性能下降。

（3）在后期的精確搜索中，果蠅個體位置通過x、y坐標(biāo)的微小變化進(jìn)行更新。當(dāng)算法的優(yōu)化函數(shù)為多維函數(shù)，且多維的目標(biāo)解彼此不在同一數(shù)量級，則此更新方法不會使目標(biāo)解進(jìn)一步向精確解靠近，使得算法只能保持當(dāng)前精度而不會進(jìn)一步提高精度。

因此，本文重點從群體多樣性、迭代搜索步長和后期精確搜索三個方面對FOA進(jìn)行改進(jìn)。

3.1 群體多樣性改進(jìn)

遺傳算法利用交叉因子產(chǎn)生代表新解集的種群，這一過程將使該種群所產(chǎn)生的后代種群比前代種群更能適應(yīng)當(dāng)前環(huán)境，從而逐漸搜索到問題的全局最優(yōu)解。同時，后代種群與前代種群相結(jié)合，在很大程度上增加了種群多樣性，使得算法不易陷入局部最優(yōu)值。

在改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法中，將上次迭代隨機產(chǎn)生的果蠅群體兩兩交叉組合，得到的新群體代入味道濃度判定函數(shù)，并與交叉前的最優(yōu)個體進(jìn)行比較，選出交叉前后的最優(yōu)個體作為下次迭代的初始位置。通過交叉操作不僅能增加迭代過程中果蠅群體的多樣性，跳出局部最優(yōu)，同時還能加快收斂速度。交叉操作的公式如下：

式中，j=1,2,…,d；x,y 為d 維位置向量；childk(x),childk(y)和parentk(x),parentk(y)分別表示子代群體和父代群體位置；k=1,2 分別為群體中前半部分和后半部分成員；P 表示d 維隨機分布的任意數(shù)向量，其中的每一個分向量都在[0，1]中取值。

3.2 迭代搜索步長改進(jìn)

根據(jù)果蠅優(yōu)化算法的基本原理，果蠅群體的隨機搜索方式為：

式中，h 為搜索步長，randx,i,randy,i為（0，1）內(nèi)的兩個任意隨機數(shù)（當(dāng)x,y 為多維時，rand 為多維向量）。

3.3 算法后期尋優(yōu)策略改進(jìn)

在此，加入對味道濃度判定因子S(i)的尋優(yōu)機制，即果蠅在以后的迭代過程中，不再對其位置x,y 進(jìn)行每一次更新，而是直接對味道濃度判定因子bestS 更新。這樣，合理設(shè)置對判定因子的尋優(yōu)步長，即能向最優(yōu)解進(jìn)一步靠近。

假設(shè)上一次迭代尋優(yōu)后得到的最佳味道濃度判定因子為bestS，且bestS 已在最優(yōu)解附近。設(shè)置判定因子的尋優(yōu)步長時，根據(jù)bestS 的數(shù)量級進(jìn)行針對性的步長調(diào)整。此搜索方法的搜索機制為：

式中，v 為慣性權(quán)重函數(shù)；g 為當(dāng)前迭代次數(shù)；k1,k2為設(shè)定常數(shù)；r 為根據(jù)前一步迭代得出的尋優(yōu)步長；A 為bestS 的數(shù)量級，可在Matlab 中通過指令floor(lg(bestS))求得；w(i)為當(dāng)前迭代次數(shù)下的搜索方向；S(i)為味道濃度判定因子。

3.4 具體步驟

結(jié)合3.1～3.3 節(jié)中對果蠅優(yōu)化算法進(jìn)行的改進(jìn)，改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法具體步驟如下：

步驟1 初始化果蠅群體位置(xp,yp)，并給出種群規(guī)模SizePop 和最大迭代次數(shù)MaxIter。

步驟2 賦予果蠅個體隨機方向和距離，利用嗅覺尋找食物。

式中，i=1,2,…,SizePop,xp,yp為第i 個果蠅種群的初始位置；randx,i,randy,i為[0，1]內(nèi)的兩個任意隨機數(shù)。

步驟3 估算果蠅個體距原點的距離Di并計算味道濃度判定值Si：

步驟4 將Si代入味道濃度判定函數(shù)（即適應(yīng)度函數(shù)f）得到果蠅個體的味道濃度值Smelli：

步驟5 找出味道濃度最佳的果蠅個體（這里取最小值）并記錄該果蠅的最佳氣味濃度值bestSmell 和在此種群對應(yīng)的標(biāo)號bestIndex：

步驟6 對此果蠅群體進(jìn)行交叉操作，得到新的種群位置x1i,y1i，重復(fù)執(zhí)行步驟3～5，找出味道濃度最佳的新果蠅個體：

步驟7 若Smellbest1＜Smellbest ，則更新原來的最佳位置：

步驟8 若Smellbest1＞Smellbest ，則保持下一次迭代的初始位置xp和yp不變。

步驟9 引入自適應(yīng)搜索步長hi，并將其代入果蠅個體利用嗅覺覓食的公式中：

步驟10 進(jìn)入迭代尋優(yōu)，重復(fù)執(zhí)行步驟2～8，直至達(dá)到最大迭代次數(shù)為止，輸出尋優(yōu)結(jié)果bestS。

步驟11 啟動算法后期精確搜索機制，設(shè)置新的最大迭代次數(shù)，并將得出的尋優(yōu)結(jié)果bestS 作為精確搜索的初始值。將步驟2～3更改為式（18）所示S(i)后，繼續(xù)執(zhí)行步驟4～8，直至達(dá)到設(shè)置的最大迭代數(shù)為止并輸出bestS 新的值。

4 壓電精密定位平臺Bouc-Wen模型參數(shù)辨識

壓電精密定位平臺的遲滯非線性是指執(zhí)行器升壓和降壓曲線之間存在位移差，其在很大程度上會影響壓電執(zhí)行器的控制精度。Bouc-Wen模型既包含了非線性阻尼，又包含了非線性剛度，能對各種光滑的遲滯曲線進(jìn)行描述。本章將改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法應(yīng)用于壓電精密定位平臺Bouc-Wen模型的參數(shù)辨識，通過建模比較，驗證辨識結(jié)果的準(zhǔn)確性。

4.1 Bouc-Wen模型建立

壓電精密定位平臺的遲滯曲線如圖2所示，圖中虛線為曲線上最大和最小位移之間的連線。壓電精密定位平臺的遲滯曲線可看成是該虛線與曲線上的遲滯分量之和：

式中，x(t)為平臺輸出位移，u(t)為系統(tǒng)輸入電壓，kv為輸入電壓與輸出位移之間的比例常量，h(t)為遲滯分量，x0為初始位移（一般默認(rèn)為0）。其一階導(dǎo)數(shù)為：

式中，kv、α、β、γ 和n 為待求參數(shù)。

圖2 壓電精密定位平臺輸入電壓與輸出位移的遲滯曲線

4.2 模型參數(shù)辨識

取均方根誤差作為改進(jìn)果蠅優(yōu)化算法中味道濃度判定函數(shù)，即：

式中，y1i和y0i為第i 個采樣時刻的模型輸出位移和實測位移，N 為采樣個數(shù)。將最大迭代次數(shù)設(shè)置為100，種群規(guī)模設(shè)置為20，具體辨識步驟如3.4節(jié)所示。

4.3 實驗驗證

壓電精密定位實驗平臺如圖3所示，包括RHAC系列精密定位控制器和壓電精密定位平臺。RHAC 系列控制器具有過流、過熱、短路保護(hù)，高頻率響應(yīng)、極低的靜態(tài)電壓紋波，其內(nèi)置標(biāo)準(zhǔn)模擬PID 閉環(huán)控制，可加快閉環(huán)調(diào)整速度，保證閉環(huán)壓電精密定位平臺的最佳控制精度，并具有開、閉環(huán)切換功能，可以開環(huán)或閉環(huán)方式對壓電精密定位平臺控制。RHAC 系列控制器輸出電壓穩(wěn)定性＜0.1%FS/8 h，電壓分辨率35 PPmFS±10%，電壓監(jiān)控分辨率0.1%FS，輸出電壓范圍0～140 V，輸出電壓紋波≤10 mV ，平臺輸出的非線性為0.1%FS（標(biāo)定行程）。計算機通過RS232 串口與控制器相連，通過控制器上位機軟件獲取輸出位移。輸入電壓設(shè)計為V=60-60e-0.35tcos(2πe-0.06tt),采樣頻率100 Hz，仿真時間5 s。

為了直觀地反映改進(jìn)果蠅優(yōu)化算法步驟的合理性，將其分為三部分加以比較。IFOA1、IFOA2、IFOA 分別為引入交叉因子、引入交叉因子和自適應(yīng)搜索步長和提出的改進(jìn)果蠅優(yōu)化算法。將輸入和輸出數(shù)據(jù)保存為原始數(shù)據(jù)，選取前2 s和后3 s數(shù)據(jù)集分別作為訓(xùn)練和泛化數(shù)據(jù)，采用FOA、IFOA1、IFOA2和IFOA對Bouc-Wen模型參數(shù)辨識，具體步驟同3.4節(jié)。種群規(guī)模設(shè)置為30，迭代次數(shù)為100 次。表1 給出了FOA、IFOA1、IFOA2 和IFOA 辨識出的壓電精密定位平臺Bouc-Wen 模型參數(shù)和適應(yīng)度值。

表1 四種優(yōu)化算法辨識的Bouc-Wen模型參數(shù)和適應(yīng)度函數(shù)值

辨識結(jié)果如圖4～7所示，圖4為算法收斂特性比較，圖5 給出了輸出位移跟蹤曲線，相應(yīng)的遲滯環(huán)如圖6 所示，辨識出的模型的輸出位移與實驗數(shù)據(jù)之間的誤差如圖7。從辨識結(jié)果可見，IFOA 建模效果明顯優(yōu)于IFOA1、IFOA2 和FOA，充分證明了改進(jìn)方法的有效性和辨識優(yōu)勢。

圖4 算法收斂特性比較

圖5 不同算法對應(yīng)的位移跟蹤曲線

圖6 不同算法下辨識出的遲滯環(huán)與實驗數(shù)據(jù)的對比

圖7 不同算法對應(yīng)的位移跟蹤誤差曲線

5 結(jié)束語

本文采用廣泛應(yīng)用于遲滯系統(tǒng)的Bouc-Wen模型描述壓電精密定位平臺遲滯非線性特性，提出一種改進(jìn)的果蠅優(yōu)化算法對其參數(shù)實施辨識。為了驗證所采用模型和相應(yīng)參數(shù)辨識方法的有效性，對壓電精密定位實驗平臺遲滯非線性特性進(jìn)行了實驗建模。研究結(jié)果表明，所提出的改進(jìn)果蠅優(yōu)化算法能將建模平均絕對值誤差控制在0.1 μm以內(nèi)。