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（湖南工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)，是將機(jī)器人末端執(zhí)行器在笛卡爾坐標(biāo)系中的位姿轉(zhuǎn)換成關(guān)節(jié)空間中各關(guān)節(jié)角變量的過(guò)程，它在機(jī)器人控制中有非常重要的地位，是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析、離線(xiàn)編程、軌跡規(guī)劃等的基礎(chǔ)，是機(jī)器人學(xué)中十分重要的問(wèn)題[1]，特別是在機(jī)器人的軌跡規(guī)劃過(guò)程中，逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解的準(zhǔn)確性會(huì)直接影響末端執(zhí)行器軌跡的平滑性[2]。因此，對(duì)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解，是國(guó)內(nèi)外很多研究者研究、分析的熱點(diǎn)問(wèn)題。

機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型是一個(gè)多輸入-多輸出的系統(tǒng)，它通常是非線(xiàn)性方程組的求解。與線(xiàn)性方程組的求解不同，非線(xiàn)性方程組沒(méi)有通用的求解算法。傳統(tǒng)的求機(jī)器人逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)多解的方法有解析法[3]、數(shù)值迭代法[4]、幾何法[5]等。解析法的計(jì)算量較大，在消元過(guò)程中很難得到正確的一元高次方程。幾何法和迭代法在逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解過(guò)程中，需要在特定的條件下才能實(shí)現(xiàn)。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的突飛猛進(jìn)和機(jī)器人結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，應(yīng)用現(xiàn)代智能算法求逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解方面的研究越來(lái)越廣泛。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因具有對(duì)任意連續(xù)函數(shù)的逼近能力和泛化能力，被不少學(xué)者應(yīng)用在機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解中。通常，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解采用以下方式：首先，關(guān)節(jié)空間Q通過(guò)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)得到位姿T；然后將位姿T作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入、Q作為輸出以訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；最后，用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求目標(biāo)位姿對(duì)應(yīng)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解[6-7]。關(guān)節(jié)空間由正向運(yùn)動(dòng)學(xué)得到的位姿是唯一的，但從位姿向關(guān)節(jié)空間作逆映射是存在一對(duì)多解的。因此，輸入和輸出之間若沒(méi)有建立唯一的映射關(guān)系，一個(gè)單獨(dú)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)將無(wú)法求得機(jī)器人整個(gè)工作空間中的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)多解。

B.Daya等[8]提出了一種由6個(gè)子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組成的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)體系結(jié)構(gòu)，并利用該結(jié)構(gòu)很好地求出了平面2自由度機(jī)械手的兩組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。A.V.Duka等[9]通過(guò)增加方位角作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入的特征參數(shù)，在輸入與輸出之間建立了唯一映射關(guān)系，從而用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)平面3R機(jī)械手工作空間中規(guī)劃好的軌跡點(diǎn)求得了一組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]的方法都很好地克服了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在求多解時(shí)存在的不足，但是各自也存在著不足之處：文獻(xiàn)[8]需要的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)目較多；文獻(xiàn)[9]對(duì)平面3R機(jī)械手的多解缺乏理論分析，從而在增加方位角作為特征參數(shù)的條件下，只求出了一組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。事實(shí)上，在平面3R機(jī)械手中，當(dāng)給定一個(gè)方位角后，一個(gè)位置點(diǎn)仍然有兩組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。

本研究通過(guò)將連桿分離-重新結(jié)合的方式，對(duì)平面3R機(jī)械手的工作空間進(jìn)行幾何分析，判斷其多解的規(guī)律，利用該規(guī)律將其關(guān)節(jié)空間劃分為兩個(gè)子空間，并分別用兩個(gè)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，同時(shí)輸入中增加方位角作為特征參數(shù)，以消除每個(gè)空間中存在的無(wú)窮解帶來(lái)的錯(cuò)誤映射關(guān)系。仿真結(jié)果表明，該方法不僅可以很好地劃分平面3R機(jī)械手的多解區(qū)域，同時(shí)用多模塊BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)還可以獲得高精度的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)多解。

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題

2.1 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)多解的幾何分析

圖1是平面3R機(jī)械手，其連桿的長(zhǎng)度分別為OA=L1，AB=L2，BC=L3，關(guān)節(jié)角的取值范圍分別為θ1∈(-π,π)，θ2∈(-π,π)，θ3∈(-π,π)，末端執(zhí)行器中心C點(diǎn)坐標(biāo)為(px,py)，OC的距離為L(zhǎng)，。

圖1 平面3R機(jī)械手Fig.1 Planar 3R manipulator

假設(shè)L1=L2，L3

圖2 Part I和Part II的B 點(diǎn)軌跡Fig.2 Point B trajectory of Part I and II

現(xiàn)考慮圓平面與圓的位置關(guān)系：在平面二連桿工作空間內(nèi)部的點(diǎn)有如下兩組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解[8]：

Q1和Q2映射得到的工作空間是兩個(gè)相等的同心圓平面。Q1、Q2分別與θ3的組合記為Zone1、Zone2，取Zone1進(jìn)行分析。

由平面幾何知識(shí)，可得：

Case 1當(dāng)L=L1+L2+L3時(shí)，圓平面O與圓C外切，此時(shí)B點(diǎn)可以重新結(jié)合的位置在半徑為L(zhǎng)1+L2的圓O上；

Case 2當(dāng)L=L1+L2-L3時(shí)，圓平面O與圓C內(nèi)切，此時(shí)B點(diǎn)可以在圓C上任意一點(diǎn)重新結(jié)合；

Case 3當(dāng)L1+L2-L3

圓平面O與圓C的3種位置關(guān)系如圖3所示。

圖3 圓平面O與圓C的位置關(guān)系Fig.3 Position relationship between circular plane O and circle C

圖3c中，圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角α可由下式求得：

式（1）（2）分別為圓O和圓C的方程，在圓C上點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)可以分別表示如下：

將式（3）代入式（1）中，得到

式（4）中：u=arctan 2(px,py)，

令k=φ+u，則有

令由式（5）得到的φ1和φ2均在[0,2π]之間，且φ2>φ1，則有

在Zone1中，通過(guò)上述分析可以得知：

1）當(dāng)L=L1+L2+L3時(shí)，關(guān)節(jié)角對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解為；

2）當(dāng)0≤L≤L1+L2-L3時(shí)，關(guān)節(jié)角對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓C上有無(wú)窮組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解；

3）當(dāng)L1+L2-L3

在1）、2）、3）中，滿(mǎn)足上述條件的關(guān)節(jié)角對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，均存在無(wú)窮組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。當(dāng)對(duì)末端執(zhí)行器的方位角進(jìn)行規(guī)劃時(shí)，若給定方位角，則逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解也將唯一確定，方位角公式[9]為

在1）中，因?yàn)棣?=θ3=0，故滿(mǎn)足式（7）的θ1唯一；在2）中，方位角的范圍為[-π，π]，有無(wú)窮多種組合，可以任意設(shè)定方位角；在3）中，方位角雖然也有無(wú)窮多種組合，但是其取值范圍有限。

在圖4中，對(duì)3）中方位角的取值范圍進(jìn)行分析。分別延長(zhǎng)MC、NC，其延長(zhǎng)線(xiàn)與過(guò)圓心C的水平虛線(xiàn)PQ之間的夾角分別為δ1、δ2，δ1、δ2便是 3）中方位角的臨界值，根據(jù)已經(jīng)求得的φ1和φ2，可以求出δ1和δ2：

方位角的取值范圍為

圖4 圓C中的方位角Fig.4 Azimuth in circle C

至此，在Zone1中全面分析了平面3R機(jī)械手的多解情況，并確定了圓平面O與圓C相交時(shí)方位角的取值范圍。

同理，在Zone2中也可以得出相同的結(jié)論。

2.2 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

采用標(biāo)準(zhǔn)Diffie-Hellman法[10]給圖1所示平面3R機(jī)械手建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并確定各參數(shù)，所得結(jié)果見(jiàn)圖5和表1，其中L1=L2=L3=200 mm。為分析計(jì)算方便，將θ1的變化范圍設(shè)定為(0，π)。

圖5 機(jī)械手D-H模型Fig.5 D-H parameters of manipulator

表1 機(jī)械手D-H參數(shù)Table1 D-H parameters of manipulator

C點(diǎn)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可由下式確定：

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及其Matlab實(shí)現(xiàn)

3.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有多層結(jié)構(gòu)，分別是輸入層、一層或多層隱含層、輸出層。各層神經(jīng)元之間是全連接的，而層內(nèi)無(wú)連接。隱含層各神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)采用Sigmoid[11]作為激勵(lì)函數(shù)。圖6是一個(gè)3層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其中閾值未畫(huà)出。

圖6 3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Sketch map of three-layer BP neural network

如圖6所示的3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，輸入層有M個(gè)神經(jīng)元，輸入向量X=[x1,x2,…,xM]T；隱含層有I個(gè)神經(jīng)元；輸出層有J個(gè)神經(jīng)元，輸出向量Y=[y1,y2,…,yJ]T；ωmi是輸入層與隱含層之間的權(quán)值，ωij是隱含層與輸出層之間的權(quán)值，隱含層各神經(jīng)元的閾值為ai（i=1,2,…,I），輸出層各神經(jīng)元的閾值為bj（j=1,2,…,J）。

根據(jù)圖6，可以得到網(wǎng)絡(luò)的輸出：

式中f(*)為隱含層的激勵(lì)函數(shù)。

3.2 Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱

Matlab是一款功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，該軟件將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、可視化、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模仿真等功能集成在一個(gè)開(kāi)發(fā)環(huán)境中，為科研和工作提供了強(qiáng)大支持[12]。

在Matlab中，可以通過(guò)如下步驟訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[12]。

1）創(chuàng)建前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

創(chuàng)建前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)命令如下：

其中，hiddenSizes表示隱含層的規(guī)模，列數(shù)表示隱含層數(shù)，每列的數(shù)值表示各隱含層的神經(jīng)元個(gè)數(shù)；trainFcn是訓(xùn)練權(quán)值的算法，默認(rèn)為“trainlm”，lm是levenberg-marquadt算法的縮寫(xiě)。lm算法將梯度下降法與高斯-牛頓法相結(jié)合，既有高斯-牛頓法的局部收斂特性，又有梯度下降法的全局收斂特性[13]，具有收斂速度快、誤差小的優(yōu)點(diǎn)。

2）設(shè)定參數(shù)

設(shè)定參數(shù)如下：

net.trainParam.epochs，代表迭代最大次數(shù)；net.trainParam.lr，代表學(xué)習(xí)率；

net.trainParam.goal，代表目標(biāo)誤差；

net.trainParam.max_fail，代表訓(xùn)練最大的失敗次數(shù)，默認(rèn)為6；

net.divideParam.trainRatio，代表訓(xùn)練樣本占總樣本的百分?jǐn)?shù)，默認(rèn)為70%；

net.divideParam.valRatio，代表校驗(yàn)樣本占總樣本的百分?jǐn)?shù)，默認(rèn)為15%；

net.divideParam.testRatio，代表測(cè)試樣本占總樣本的百分?jǐn)?shù)，默認(rèn)為15%。

3）訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的公式為

式中：Ptrain為訓(xùn)練樣本的輸入矩陣；Ttrain為訓(xùn)練樣本的輸出矩陣；TR為記錄訓(xùn)練的結(jié)果。

4）預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)

根據(jù)下式預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)果數(shù)據(jù)：

式中：t為網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果；Ptest為需要預(yù)測(cè)的輸入。

3.3 樣本選取

根據(jù)前文結(jié)論將關(guān)節(jié)空間分為以下兩個(gè)子空間：本文采用以下方式得到訓(xùn)練樣本，在Zonei（i=1,2）中，先將θj（j=1,2,3）平均分成M、I、J份，然后將θj進(jìn)行組合，如圖7所示。

圖7 關(guān)節(jié)角組合方式Fig.7 Joint angle compound methods

Zone1、Zone2中的關(guān)節(jié)角組合分別有M×I×J組，記為Q1、Q2，然后將Q1、Q2分別代入式（7）和式（10）中，即可以得到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本輸入，Qi作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練樣本輸出。

3.4 樣本歸一化

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在預(yù)測(cè)前通常會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)樣本進(jìn)行歸一化處理，其目的是取消輸入輸出間的數(shù)量級(jí)差別，從而減小預(yù)測(cè)誤差。歸一化的方法有最大最小法和平均數(shù)方差法，本研究采用最大最小法：

式中：x表示歸一化后的數(shù)；xk表示需歸一化的數(shù)；

xmax、xmin分別表示序列中的最大值、最小值。

3.5 預(yù)測(cè)效果評(píng)定

用θPim（i=1,2,3；m=1,2,…,N）表示預(yù)測(cè)得到的關(guān)節(jié)角，θTim（i=1,2,3；m=1,2,…,N）表示實(shí)際的關(guān)節(jié)角，其中i是關(guān)節(jié)角序號(hào)，N是測(cè)試樣本序號(hào)。評(píng)價(jià)指標(biāo)公式如下：

式中em為預(yù)測(cè)的關(guān)節(jié)角與實(shí)際關(guān)節(jié)角之間的誤差。

4 仿真實(shí)例

4.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練及其測(cè)試結(jié)果

記用于Zonei（i=1,2）中樣本訓(xùn)練的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為neti，令M=12，I=12，J=24，分別得到 3 456組樣本，根據(jù)3.2節(jié)的步驟，在Matlab中訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，參數(shù)設(shè)置如下：

net1中，net.trainParam.epochs=400，hiddenSizes=[26 23]，net.trainParam.goal=10-6；

net2中，hiddenSizes=[21 18]，net.trainParam.epochs= 425，net.trainParam.goal=10-6。

兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)隱含層的激活函數(shù)設(shè)為tansig函數(shù)，輸出層的激活函數(shù)設(shè)為線(xiàn)性函數(shù)purelin，其余均設(shè)為默認(rèn)值。

圖8是net1和net2的訓(xùn)練結(jié)果及測(cè)試結(jié)果，實(shí)線(xiàn)、虛線(xiàn)、中心線(xiàn)分別是訓(xùn)練樣本的均方差、校驗(yàn)樣本的均方差和測(cè)試樣本的均方差。

圖8 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練結(jié)果Fig.8 Training results of two networks

圖9和10是兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)測(cè)試樣本中預(yù)測(cè)得到的關(guān)節(jié)角與實(shí)際關(guān)節(jié)角之間的誤差，由圖可以看到，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)誤差均在-0.1～0.1 rad之間。

圖9 net1網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)各關(guān)節(jié)角誤差Fig.9 Prediction errors of network 1

圖10 net2網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)各關(guān)節(jié)角誤差Fig.10 Prediction errors of network 2

4.2 運(yùn)動(dòng)軌跡

圖11是Zonei（i=1,2）對(duì)應(yīng)的工作空間。

圖11 兩個(gè)子空間對(duì)應(yīng)的工作空間Fig.11 Workspace corresponding to the two sub-spaces

為進(jìn)一步驗(yàn)證用該方法訓(xùn)練好的兩個(gè)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以求3R機(jī)械手的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)多解，在兩個(gè)工作空間公共部分規(guī)劃一段圓形軌跡，其方程為

根據(jù)前文中的結(jié)論，在兩個(gè)工作空間的位置增加一個(gè)方位角，就可以在關(guān)節(jié)子空間中得到對(duì)應(yīng)的唯一逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解，給所取的43個(gè)點(diǎn)分別加上以下方位角：

式中方位角Θd表示末端執(zhí)行器和坐標(biāo)原點(diǎn)的連線(xiàn)與X軸間的夾角，其滿(mǎn)足式（9）的邊界約束。

圖12是兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)分別預(yù)測(cè)得到的棍軌跡圖，圖中3種不同線(xiàn)型的線(xiàn)段分別表示3根連桿在各組解時(shí)的位形，“*”是預(yù)測(cè)得到的點(diǎn)位置。從圖中可以看出，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)得到的兩段軌跡都很平滑，基本在原軌跡附近。

圖12 兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)得到的軌跡Fig.12 Trajectories predicted by two networks

5 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)連桿分離-重新結(jié)合的方式進(jìn)行幾何分析，將3R機(jī)械手劃分為兩個(gè)子空間，并將子空間中的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何中圓與圓平面之間的位置關(guān)系：當(dāng)圓平面與圓相離時(shí)，機(jī)械手無(wú)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解；當(dāng)圓平面與圓外切時(shí)，機(jī)械手存在唯一逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解；當(dāng)圓平面與圓相交或內(nèi)切時(shí)，機(jī)械手存在無(wú)窮組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解。兩個(gè)子空間分別用一個(gè)含2層隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，并在每個(gè)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中添加方位角作為樣本輸入的特征參數(shù)，消除了各子空間中存在無(wú)窮組逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解時(shí)的映射錯(cuò)誤。最終用訓(xùn)練好的兩個(gè)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別預(yù)測(cè)同一段規(guī)劃好的圓形軌跡，都得到了平滑的預(yù)測(cè)軌跡。另外，使用LM學(xué)習(xí)算法的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有收斂速度快、誤差小等優(yōu)點(diǎn)。