武小鵬張 怡

基于TAP的數(shù)學概念教學論證過程量化研究設(shè)計

武小鵬1，2，張 怡1，2

（1．黔南民族師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，貴州 都勻 558000；2．華東師范大學 教師教育學院，上海 200062）

推理論證能力是數(shù)學學習過程中的關(guān)鍵能力，尤其在重要概念的學習中，更應(yīng)當強化概念的系統(tǒng)論證過程．圖爾敏論證模型可將概念的論證過程加以結(jié)構(gòu)化剖析，可以更明確深入地分析教師概念教學的論證過程，掌握教師課堂教學的論證水平．文章以圖爾敏論證模型為理論基礎(chǔ)，借鑒Erduran等人對論證水平的劃分，構(gòu)建了數(shù)學概念教學論證水平分析框架．再按照課堂教學的IRF結(jié)構(gòu)模式，將數(shù)學概念教學劃分成若干個小的話輪．從話語分析的角度，對課堂教學的論證過程進行編碼統(tǒng)計，進而做出量化分析．試圖借助圖爾敏論證模型和話語分析相關(guān)理論，構(gòu)建數(shù)學概念教學論證分析框架，為數(shù)學概念教學的準確論證分析提供參考．

圖爾敏論證模型；IRF；論證教學；概念論證

1 引言

推理論證能力作為數(shù)學的關(guān)鍵能力，受到數(shù)學教育界的廣泛關(guān)注[1]．美國《學校數(shù)學課程原則與標準》明確指出從學前至高中階段的數(shù)學教育，要使所有學生能夠“認識推理和證明是數(shù)學的基本方面，提出和調(diào)查數(shù)學猜想，發(fā)展和評價數(shù)學論點和證明，選擇和使用各種推理和證明方法”[2]．《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》提出了六大核心素養(yǎng)，在“邏輯推理”這一核心素養(yǎng)中指出“邏輯推理主要表現(xiàn)為：掌握推理的基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出命題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流．形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神”[3]．在數(shù)學概念的教學方面，要提高抽象概括、推理論證能力[4]．由此可見，數(shù)學概念的學習不應(yīng)只停留在記憶和理解上，掌握數(shù)學概念的論證過程，體會概念論證過程中所蘊含的數(shù)學思想方法，也是數(shù)學概念學習不可或缺的部分．

雖然，中國中學數(shù)學教師在“數(shù)學證明”素養(yǎng)上的基本功還是很扎實的[5]，但目前的課堂教學活動，對概念的論證探究多流于形式，大多數(shù)教師都會在概念教學中按照“提出問題—組織討論—形成概念”的模式進行程式化教學．這樣的教學往往過于注重探究的形式而忽視了探究實質(zhì)，造成物質(zhì)性目標和功能性目標的雙重缺失[6]．數(shù)學是一門邏輯極其嚴密的學科，現(xiàn)有的中學數(shù)學課堂缺乏實質(zhì)性的論證，即使課堂教學中形式化的討論也不能常態(tài)化．在這種情況下，將圖爾敏論證模型引入中學數(shù)學課堂，尤其是以圖爾敏論證模型為依據(jù)強化數(shù)學概念的教學，可以對概念進行結(jié)構(gòu)化的剖析，讓學生不但掌握概念論證的過程，而且體會其中所蘊含的數(shù)學思想方法[7]．

2 理論基礎(chǔ)

2.1 文獻綜述

數(shù)學是一門形式化極強的學科，數(shù)學教育的一個重要價值就在于其無法替代的形式訓(xùn)練作用，數(shù)學的美也體現(xiàn)在嚴密的邏輯推理當中，離開了推理論證就脫離了數(shù)學的本質(zhì)和核心．圖爾敏論證模型從邏輯學的角度分析了論證的內(nèi)部構(gòu)建，為數(shù)學概念的論證提供了可借鑒的新視角，讓學生對數(shù)學概念的理解更加全面．Aufschnaiter等認為，從建構(gòu)主義視角來看，進行論證必然有助于學科知識的建構(gòu)，提高學生概念理解水平．他們以初中學生為被試，發(fā)現(xiàn)論證教學能夠有效完善和鞏固學生認知結(jié)構(gòu)中的已有相關(guān)知識，使其更加精確化、精細化和抽象化[8]；Jimenez-Aleixandre等人對17至21歲學生論證環(huán)境問題的教學結(jié)果也表明，論證的主要作用在于能夠幫助學生將已有知識應(yīng)用到實際情境中，將生態(tài)化知識和綜合概念知識及價值判斷相結(jié)合[9]；Cross等人對中學生開展了為期2周的4個單元（20個活動）的教學干預(yù)，結(jié)果表明論證不僅有利于已有概念的進一步理解，而且可以幫助學生將新概念納入到已有知識體系中，同時消除錯誤概念．另外，Cross的研究結(jié)果還發(fā)現(xiàn)，論證對學生認知結(jié)構(gòu)的影響程度與知識理解程度有關(guān)，如論證對知識掌握好的學生的認知結(jié)構(gòu)影響更為明顯[10]．

Lewis和Leach對中學生進行短期的知識教學干預(yù)（提供知識儲備）后，證實了中學生開展論證學習的可行性[11]．類似的，Aufschnaiter等人的研究結(jié)果也認為，具體領(lǐng)域知識及已有知識是開展課堂論證活動的關(guān)鍵因素[8]．圖爾敏論證模型在科學教育中應(yīng)用較多，但在數(shù)學教育領(lǐng)域的研究還很少．如Krummheuer[12]與Knipping[13]等人分別利用圖爾敏論證模型對小學和初中學生數(shù)學教學過程中的推理論證交流進行分析，以考察學生的推理論證交流水平．Metaxas以圖爾敏論證模型作為分析工具，觀察分析了一位教師8周的的教學過程，考察了該教師對函數(shù)、微積分等核心概念的論證水平[14]．國內(nèi)還沒有將圖爾敏論證模型應(yīng)用于數(shù)學教育的研究．圖爾敏模型展現(xiàn)了一個由主張、根據(jù)、資料、支援、限定詞、反駁6要素構(gòu)成的論證模式，可以借此模型組織課堂教學，對數(shù)學概念進行論證，為數(shù)學概念的論證提供一個可參考的范式，學生對論證的充分性也有了明確的認識．同時，也可按照圖爾敏論證模型將概念的論證通過情境轉(zhuǎn)化，顯化為具體實例的論證，將抽象論證問題具體化，為學生深入理解概念提供可能．

2.2 研究框架——圖爾敏論證模型

圖爾敏論證模型是英國哲學家斯蒂芬·圖爾敏在20世紀50年代提出的，他在專著《論證的運用》中打破傳統(tǒng)的數(shù)字化的論證模式，在與法學類比的基礎(chǔ)上，提出了一個由主張、資料、根據(jù)、支援、限定詞和反駁等6個功能要素構(gòu)成的過程性模式，稱為圖爾敏論證模型（Toulmin’s Argument Pattern，TAP）[15]．其結(jié)構(gòu)如圖1所示．

圖1 圖爾敏論證模型

在圖爾敏論證模型中，主張、資料和根據(jù)是論證模型的核心成分，即圖中虛線部分，也將其稱為基本模式．基本模式連同周圍的支援、限定詞和反駁3個成分構(gòu)成了TAP完整模式，也叫拓展模式．表1說明了各要素的含義．

表1 圖爾敏論證模型各要素含義

TAP起源于法庭的辯護，近年來在科學教育領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛，但在數(shù)學教育中的應(yīng)用幾乎還沒有．因此需要對圖爾敏模型做出數(shù)學化的闡釋．在數(shù)學概念論證教學中，由于大部分教學內(nèi)容都是圍繞問題展開，因此對于TAP的各要素在數(shù)學概念教學中可以做表2的解釋．

在數(shù)學中，常用的論證方式是邏輯學當中亞里士多德的三段論，即為大前提、小前提和結(jié)論．結(jié)合表2可以發(fā)現(xiàn)，TAP中的基本模型和三段論是高度一致的，基本模型通過主張、資料和根據(jù)保證了的論證的基本要素構(gòu)件．然而，擴充模型是為了進一步的充實論證過程，強化論證的可信度已達到充分論證而做的補充．因此TAP是對傳統(tǒng)三段論的具體化和進一步補充，為分析課堂教學論證提供了有力的工具．

表2 圖爾敏論證模型各要素數(shù)學化解釋

3 研究方法

在對課堂教學論證分析時，考察教師的論證水平成為比較主流的研究方向．研究在TAP各要素的基礎(chǔ)上，結(jié)合Erduran等人提出的論證質(zhì)量分析框架和數(shù)學概念教學的特征[16]，劃分論證水平．為了進一步對課堂編碼，水平的劃分考慮到編碼過程中話輪的選擇，結(jié)合IRF結(jié)構(gòu)模型，構(gòu)建出如表3的數(shù)學概念教學論證水平分析框架．

表3 數(shù)學概念教學論證水平分析框架

研究將IRF結(jié)構(gòu)模型作為量化分析的基本依據(jù)．該模式先由“發(fā)起—回應(yīng)—評價”（initiation-response-evaluation，IRE）模式，即教師發(fā)起（I）一個問題，學生進行回應(yīng)（R），然后教師再進行評價（E）的互動方式發(fā)展而來．在此基礎(chǔ)上，Well從社會建構(gòu)主義的角度出發(fā)，認為，“反饋”（feedback）比“評價”（evaluation）更能精準地概括教師第三個階段的話語范圍，因此將其修改成為“發(fā)起—回應(yīng)—反饋”（IRF）模式，這一模式獲得到了較為廣泛的認可[17]．為了將論證水平進行量化統(tǒng)計，研究依據(jù)IRF結(jié)構(gòu)模式將話輪作為話語分析的基本單元進行統(tǒng)計．

4 研究過程與結(jié)果

研究分別選取5位專家型教師和5位新手型教師的函數(shù)概念課作為研究對象，專家型教師的課來自名師公開課，新手型教師一般為入職不到3年的教師．分別對兩類課程按照IRF結(jié)構(gòu)模型劃分成若干個話輪，在對每一個話輪按照TAP統(tǒng)計其各要素出現(xiàn)的頻次[18]．按照表3的數(shù)學概念教學論證水平分析框架對話輪的水平進行界定，并統(tǒng)計各水平出現(xiàn)的頻次，最后將5位教師各要素和各水平求均值與方差，得到論證要素和論證水平統(tǒng)計表，如表4所示．

表4 論證要素和論證水平統(tǒng)計

4.1 論證要素分析

從主張要素上看，專家型教師提出的主張明顯要高于新手型教師，基本都為新手型教師的2倍左右．教師能在課堂上提出較多的論斷，讓學生在此論斷下進行科學合理地論證，這充分說明教師能在整體上把握課堂，對課堂內(nèi)容的研究更加深入透徹．再從教學效果的預(yù)測來看，專家型教師的課堂中，學生通過論證大量的主張，對函數(shù)概念的感悟更深，記憶更牢固，理解更全面．可見，專家型教師通過挖掘教學內(nèi)容，提出更多關(guān)于函數(shù)概念的主張，或者讓學生通過查閱資料提出更多的主張，以待驗證．這樣學生才能看到函數(shù)的全貌，才能提供給學生更廣闊的視角認識函數(shù)，這是專家型教師提高函數(shù)概念教學論證水平的一項措施．

資料是教師對自己提出主張的事實依據(jù)，是為主張?zhí)峁┝艘欢ǖ馁Y料支持，資料越多說明自己提出主張的合理性越高．根據(jù)是用于說明主張和資料之間的聯(lián)系，可以進一步說明自己的資料可信程度，如果資料很多，但根據(jù)較少，說明資料的可信度差，論證效果不足．

從總體數(shù)量而言，在這兩個要素上，都表現(xiàn)出專家型教師的頻次要高于新手型教師．再從資料和根據(jù)的比例來看，專家型教師都提供了更多的依據(jù)來解釋主張和資料之間的聯(lián)系，而新手型教師提出幾乎和資料相等的根據(jù)．資料和根據(jù)的數(shù)量在一定的程度上說明了論證的充分程度，據(jù)此分析，專家型教師增加論證資料和根據(jù)，是提高論證水平的一個重要方面．

支援是根據(jù)的附加性材料，從這一要素看，無論是專家型教師還是新手型教師，支援的數(shù)量相對根據(jù)和資料的數(shù)量都有所減少，但是專家型教師在支援數(shù)量上明顯要高于新手型教師．說明專家型教師對自己的論證補充較多，補充性材料更豐富，專家型教師對自己給出的根據(jù)提供了更充分的理由，對根據(jù)的可靠性給予了較多支援，增加了根據(jù)的說服力和可靠性．專家型教師為自己的主張?zhí)峁┍M可能多的理由，使學生能在較多材料的支援下真正理解函數(shù)概念的本質(zhì)．

專家型教師在課堂上使用的反駁數(shù)量明顯高于新手型教師，說明專家型教師在對函數(shù)概念的論證上思考更深入，提出了較多的疑問來引發(fā)學生思考，調(diào)動學生對概念深入理解．研究表明，反駁的數(shù)量一定程度上表明了論證質(zhì)量，反駁的數(shù)量越多，結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，論證水平越高[19]．表4的統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，專家型教師的論證質(zhì)量明顯高于新手型教師．

從表4中可以得到，在關(guān)鍵詞的使用上，兩類教師都比較少地使用了限定詞，新手型教師甚至沒有使用限定詞，這說明兩類教師都選擇了說服力較好的資料．但是新手型教師沒有使用限定詞，這在一定程度上說明新手型教師的論證過于絕對，很有可能對特殊情況考慮不周．

4.2 論證水平分析

為了更直觀地對論證水平進行對比分析，按照表4論證各水平數(shù)據(jù)，得到如圖2所示的論證水平對比圖．

圖2 專家型和新手型教師論證水平對比

Aufschnaiter等人認為，從建構(gòu)主義視角來看，進行論證必然利于學科知識的建構(gòu)，提高學生概念理解水平[8]．依據(jù)圖2所示，專家型教師在各個水平的論證上都要明顯高于新手型教師．對于數(shù)學教師而言，嚴密的論證能力是一位優(yōu)秀教師必備的素養(yǎng)．因此，新手型教師在對重要概念的論證方面還需要進一步加強．對學生而言，論證教學不僅作為一種行動，而且作為一種離散的系統(tǒng)活動而存在，“論證”是這個活動系統(tǒng)的主要動機[20]．論證成為激發(fā)學生學習興趣，提高學生學習效率的有效手段．

通過圖2還可以看出，專家型教師不但各水平的論證頻次要高于新手型教師，并且在水平三、水平四、水平五等較高水平的論證方面，出現(xiàn)了較大的優(yōu)勢．可以進一步說明不斷提高教學的論證水平是新手型教師成長的關(guān)鍵．數(shù)學概念的充分論證，不但要有充分的觀點分享，足夠的依據(jù)支撐，還需要有嚴密的數(shù)學用語，敏銳的批判性思考．高水平的論證可以較好促進學生抽象概括能力和推理論證能力的培養(yǎng)．因此，數(shù)學概念課的教學，教師要引導(dǎo)學生向高水平的論證發(fā)展，充分地展現(xiàn)論證的豐富性和多元化，促進學生復(fù)雜思維的訓(xùn)練．在教師論證水平的統(tǒng)計中可以看到，高水平的論證是教師教學素質(zhì)的直接體現(xiàn)．增加論證的復(fù)雜性和全面性，有助于學生更加深刻地理解概念和運用概念解決實際問題．高水平的教學可以更進一步增強學生的探索意識、強化學生的創(chuàng)新精神、提升學生的創(chuàng)造力．

5 結(jié)論與討論

利用TAP來考察數(shù)學概念教學論證過程，目的在于將數(shù)學概念的論證過程更加明確化，讓概念的論證過程更加可操作、可測量，以至于為教師提高論證能力提供參考．然而話語分析為圖爾敏論證模的量化分析提供了可行的途徑．最后通過專家型教師和新手型教師函數(shù)概念對比研究，進一步說明了量化分析的可行性．研究可以得到以下結(jié)論．

5.1 圖爾敏論證模型豐富和充實了傳統(tǒng)的“三段論”

從表1中TAP各要素含義的界定可以發(fā)現(xiàn)，基本模型和三段論是高度一致的．基本模型通過主張、資料和根據(jù)滿足了“三段論”的大小前提，保證了論證過程基本的要素構(gòu)件；亞里士多德“三段論”的主要假設(shè)是“在某些論證框架下，若前提為真，則應(yīng)用前提所產(chǎn)生的結(jié)論一定也為真”．這種基于大前提（尋找證據(jù)）、小前提（找尋支持理由），而得到結(jié)論（產(chǎn)生知識）的方式是現(xiàn)代邏輯的主要參考[21]．數(shù)學中的邏輯推理也往往采用該模式．然而，TAP將該論證過程進行了分解，將“三段論”的論證過程劃分成了主張、資料、根據(jù)、支援、限定詞和反駁這6個要素．這樣劃分不但使論證過程更加明確，而且可以依據(jù)不同元素對論證的質(zhì)量進行分析．TAP可以通過看這些不同結(jié)構(gòu)元素是否呈現(xiàn)，來判斷這一論證的強弱[16]．有研究表明在強調(diào)論證的社會性方面時，TAP確實是一個有用的框架[22]．因此將這一模型引入到數(shù)學概念教學的論證過程中，可以使得教師更容易改進論證過程，提升自己的論證能力．但是TAP也存在著局限，因為它僅重視論證形式的完整性，但并未對內(nèi)容的科學性做出檢查，也就是說TAP只考慮到了邏輯結(jié)構(gòu)，而未考慮使用者的知識內(nèi)容是否正確[23]．因此在數(shù)學概念的論證過程中，需要將TAP中的各要素和“三段論”的嚴密邏輯推理結(jié)合起來，既要使論證過程更加充實豐富，又要嚴格保持數(shù)學概念的科學性．

5.2 多樣化的論證要素是充分論證的基本條件

依據(jù)表4論證要素的分析可以看出，專家型教師的論證要素無論是在總量上，還是在各論證要素的比例上都明顯高于新手型教師．可見論證能力是在不斷發(fā)展的，教師由新手型教師成長為專家型教師的過程，其概念教學中的論證要素增多，論證能力增強．究其原因可以追溯到蘇格拉底的反詰法，該方法認為：“真理可以由反復(fù)深入的對話而得到，對自然世界的理解是共同對話建構(gòu)出來的．”[24]只有豐富的論證要素和論證要素的多元化，才能保證論證過程的充實，才能理解問題．Newton等人指出限制教師進行論證教學的因素有兩種：外在因素和內(nèi)在因素．外在因素主要指教學時間的不足，教學內(nèi)容過多以及評價方式的限制；內(nèi)在因素主要指教師本身對此教學方法的適應(yīng)，包括在開展論證方面所面臨的困難（如論證教學過程中的角色定位與師生關(guān)系，論證所使用的教材與教學自信等）以及教師的數(shù)學教育觀等都會影響論證教學效果[25]．TAP將數(shù)學概念的論證進一步精細化和系統(tǒng)化，讓教師在概念教學論證方面有法可依，有據(jù)可循．然而，TAP也存在不少弊端，有研究表明它不能足夠解釋認識動力學和論證的社會學標準[26]，簡單利用TAP對學生的論證行為進行編碼，會使理解主張的接受和拒絕標準、隱含的前提條件和社會內(nèi)部的動態(tài)存在困難[27]．

5.3 高水平的論證不僅強調(diào)論證元素的量，更應(yīng)該檢驗論證元素的質(zhì)

研究對教師教學論證能力的考量主要基于兩點，其一是論證要素的數(shù)量，尤其是擴張模型中論證要素的比例．圖2的分析結(jié)果表明：新手型教師在論證要素數(shù)量上和論證水平上都相對低于專家型教師．新手型教師不能提供充分的觀點供學生辨別論證，對于提出的主張也沒有充分的素材、依據(jù)加以佐證．在擴展性論證方面，論證的反駁、支援和限定詞使用明顯較少，整體論證水平相對較低．Osborne等人認為，反駁的出現(xiàn)更能提升論證的品質(zhì)，提高論證空間質(zhì)量[16]．但相比反駁要素使用頻次的多少，反駁的品質(zhì)更為重要．有研究表明論證中包含越多的高品質(zhì)反例，則論證的整體品質(zhì)越高[28]．因此，在概念教學中，能夠有效地引起學生對概念的不同爭鳴，對于深層次的理解概念起到很大的作用．圖爾敏模型的論證結(jié)構(gòu)及論證內(nèi)容品質(zhì)，認為一個強論證應(yīng)包括許多辯護來支持一個結(jié)論，且此結(jié)論需整合相關(guān)、特定、精確的科學概念或事實．而此研究并沒有檢驗這個主張的概念內(nèi)容是否精確[29]．再一次充分說明論證過程是一個量和質(zhì)雙提升的過程．在TAP顯然是依據(jù)論證過程中各元素的量在衡量論證水平和論證的質(zhì)量，但在論證的科學性和邏輯性方面強調(diào)不夠，數(shù)學概念教學更應(yīng)該強調(diào)這方面的因素．

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Quantitative Research Design of Mathematical Concept Teaching Demonstration Based on TAP

WU Xiao-peng1, 2, ZHANG Yi1, 2

(1. School of Mathematics and Statistics, Qiannan Normal University for Nationalities, Guizhou Duyun 558000, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Argument reasoning ability was a key ability in the process of mathematical learning, especially in the study of important concepts, the process of systematic argumentation of concepts should be strengthened. TAP was able to structurally dissect the argument process of concept. It could be more specific and in-depth analysis of the teaching process of the teacher’s concept teaching, and master the level of teaching of the teacher’s classroom teaching. Based on the TAP and the division of argumentation level of Erduran et al, the article constructed the analytical framework of argumentation level in mathematics concept teaching. Then, according to the IRF structure pattern of classroom teaching, the mathematics concept teaching was divided into several small talk turns. From the perspective of discourse analysis, the demonstration process of classroom teaching was coded and statistically analyzed, and then the quantitative analysis was made. This paper attempted to build an argumentation and analysis framework for mathematical concept teaching with the help of TAP and related theories of discourse analysis, to provide references for accurate argumentation and analysis of mathematical concept teaching.

TAP; IRF; demonstration teaching; concept demonstration

2019-09-27

2018年貴州省教育科學規(guī)劃青年課題——話語分析視角下課堂教學體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的測評研究（2018C002）

武小鵬（1986—），男，甘肅天水人，黔南民族師范學院副教授，華東師范大學博士生，主要從事數(shù)學課程與教學及課堂教學評價研究．

G633.6

A

1004-9894（2019）06-0076-05

武小鵬，張怡．基于TAP的數(shù)學概念教學論證過程量化研究設(shè)計[J]．數(shù)學教育學報，2019，28（6）：76-80．

[責任編校：張楠、陳漢君]